2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江苏省南京市建邺区金陵中学河西分校九年级（上）第一次月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程为一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.以锐角的边为直径作，则顶点与的位置关系是(    )

A. 在内 B. 在上 C. 在外 D. 不能确定

3.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

4.若将组数据中的每个数都加，那么所得的这组新数据(    )

A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 众数不变 D. 方差不变

5.如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

6.如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点是上一点，的半径为，将绕点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.方程的解为______．

8.一个不透明的袋中装有个红球和个白球，除颜色外均相同，则任意从中摸出一个球是红球的概率是______ ．

9.九班同学为灾区小朋友捐款全班的同学捐了元，的同学捐了元则这次全班平均每位同学捐款______ 元

10.某班级在一次测试的成绩整理得到的频数分布表如下：

甲同学说该次测试成绩的众数出现在组，而乙同学则认为根据此表众数不能确定，聪明的你请判断正确的是______ 选填甲、乙

11.某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由万辆提升至万辆，设平均每次增产的百分率是，可列方程为______．

12.如图，是的外接圆，点在内，若，则______

13.如图，四边形内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，若，则______

14.如图，点在矩形的内部，与，都相切，且经过点，与相交于点若的半径为，则的长是______ ．

15.如图，为直径，点为圆上一点，将沿弦翻折交于点，连结若，则 ______ ．

16.如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，连接并延长交于，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分
已知关于的方程总有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若它的两个实数根满足，求的值．

19.本小题分

如图，点、、、都在上若，求证：．

20.本小题分

点、、都在上，且，连接．
如图，当为钝角时，求证：；
若，的半径为，则的长为______ ．

21.本小题分
某校七年级一班和二班各派出名学生参加一分钟跳绳比赛，成绩如下表：

两个班级跳绳比赛成绩的众数、中位数、平均数、方差如下表：

表中数据______，______；
请用所学的统计知识，从两个不同角度比较两个班跳绳比赛的成绩．

22.本小题分
将，，，四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
在甲组的概率是多少？
，都在甲组的概率是多少？

23.本小题分

某单位要兴建一个长方形的活动区图中阴影部分，根据规划活动区的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路已知活动区和小路的总面积为．
求小路的宽度；
某公司希望用万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以万元达成一致若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．

24.本小题分

如图，是的直径，与交于点，的平分线交于点，，垂足为．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

25.本小题分
如图，已知线段和直线，在直线上求作点，使得分别为，，都用尺规作图，并保留作图痕迹．
 

26.本小题分
如图，等腰内接于，的垂直平分线交边于点，交于，垂足为，连接并延长交的延长线于点．
求证：；
若，求的度数．

27.本小题分
在和中，，，，固定，将绕点旋转一周，连接、相交于，经过、、三点作．

如图，求证：是的直径；
若，，在旋转过程中，连接．
点恰好是的内心，如图，求的长；
当最大时，直接写出的面积为______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B.该方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
C.分母中含有未知数，属于分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
D.符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故此选项符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：如图，作，交于，连接、，
为直径，
点在圆上，
，
，
顶点在外．
故选：．
作，交于，根据圆周角定理，点在上，由于，得出，即可证得顶点在外．
本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有点在圆外；点在圆上；点在圆内．

3.【答案】 

【解析】解：把一元二次方程化为一般形式为：，
，，，

     
     
     ，
方程有两个相等的实数根．
故选：．
先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
将组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变，据此可得答案．
【解答】
解：将组数据中的每个数都加，那么所得的新数据的众数、中位数、平均数都增加，方差不变，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：
连接，
从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，即，
为直径，即，扇形的半径相等，
，
，
阴影部分的面积是，
故选：．
连接，根据圆周角定理得出为圆的直径，解直角三角形求出，根据扇形面积公式求出即可．
本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，则，
则，，

将绕点顺时针方向旋转得，
，，
，
即，
≌，
，即点在以为圆心，为半径作上，
以为圆心，为半径作，连接，
当且仅当点在线段上时，为最小值，
，
，
由旋转得：，，
，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转得到，则，以为圆心，为半径作，连接交于点，此时为最小值，利用旋转的性质和勾股定理即可求得答案．
本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到圆上各点的距离最小值等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．

7.【答案】， 

【解析】解：，
，
或，
解得或．
故答案为，．
把方程的左边分解因式得，得到或，求出方程的解即可．
本题主要考查解一元二次方程因式分解法．

8.【答案】 

【解析】解：一个不透明的袋中装有个红球、个白球，每个球除颜色外均相同，
从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是：．
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

9.【答案】 

【解析】解：

元．
故这次全班平均每位同学捐款元．
故答案为：．
利用加权平均数公式即可求解．
本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．

10.【答案】乙 

【解析】解：判断正确的是：乙．
比如当组的个成绩都是同一个分数，组的个成绩每个相同，那么众数就在组．
故答案为：乙．
根据众数的定义判断即可．
本题考查众数，理解众数的意义是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：设平均每次增产的百分率是，根据题意可得：
．
故答案为：．
设平均每次增产的百分率是，那么第一次增产后的产量是原来的倍，那么第二次增产后的产量是原来的倍，根据题意列方程解答即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量平均增长率增长后的量．

12.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
，
，
故答案为：．
判断出是等腰三角形，根据判断出的度数，然后求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数．
本题考查了圆周角定理，要知道，同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是的切线，
，
，
四边形内接于，且，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据切线的性质求出，然后由圆内接四边形对角互补求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，再由直角三角形的两个锐角互余求出的度数．
此题考查圆的切线的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．

14.【答案】 

【解析】解：设、与分别相切于点、，连接，连接并延长交于点，

则，
的半径为，
，
四边形为矩形，
，，，
，
四边形为正方形，四边形均为矩形，
，，，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
设、与分别相切于点、，连接，连接并延长交于点，易得四边形为正方形，四边形均为矩形，则，，，于是求出，再根据勾股定理求得，则，代入计算即可求解．
本题考查切线的性质、正方形与矩形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

15.【答案】 

【解析】解：连接，
为直径，
，
，
，
由翻折性质得，所对的圆周角为，所对圆周角为，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角得，根据直角三角形两锐角互余，得出，根据翻折的性质得到，所对的圆周角为，而所对圆周角为，得，最后根据三角形内角和定理可以求出的度数．
本题考查了翻折变换对称，圆周角定理，圆内接四边形的性质，添辅助线构造直角三角形，根据翻折对称得到与是圆内接四边形的内对角是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
在以线段的中点为圆心，为直径的圆上运动，
当与圆相切时最大．
由切线长定理得，，
在中，，，，由勾股定理得，
．
故答案为：．

由得在以线段的中点为圆心，为直径的圆上运动，当与圆相切时最大，然后放在中利用勾股定理建立方程求解．
本题考查了隐圆，切线长定理，勾股定理等知识点，确定隐圆后得出与圆相切时最大是关键．

17.【答案】解：，，，
，
，
，；
，
，
，
或，
所以，． 

【解析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．

18.【答案】解：根据题意得，
解得；
，，
，
，
，
解得． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．

19.【答案】证明：
，
，
． 

【解析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，所以．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

20.【答案】 

【解析】证明：连接，，
，
到、的距离相等，
，
到、的距离相等，
；
解：，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题；
由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，得到的长，由勾股定理即可求出的长．
本题考查线段垂直平分线性质定理的逆定理，垂径定理，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键．

21.【答案】   

【解析】解：把二班的数据从小到大排列，中位数是第、第个数的平均数，
则中位数；
方差；
故答案为：、；

从众数或中位数来看，一班成绩比二班要高，所以一班的成绩好于二班；
一班成绩的方差大于二班，说明二班成绩比一班稳定．
根据中位数和方差的定义求解即可；
从众数、中位数、平均数及方差的意义求解可得．
此题主要考查了方差以及众数、中位数、平均分，正确把握相关定义是解题关键．

22.【答案】解：所有可能出现的结果如下：

总共有种结果，每种结果出现的可能性相同．
所有的结果中，满足在甲组的结果有种，所以在甲组的概率是．
所有的结果中，满足，都在甲组的结果有种，所以，都在甲组的概率是． 

【解析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：设小路的宽度是 ，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，舍去．
答：小路的宽度是；
设每次降价的百分率为，
依题意得：，
解得：，舍去，
答：每次降价的百分率为． 

【解析】设小路的宽度是，那么加上小路后的长方形的长是，宽是，以面积作为等量关系可列方程求解；
可先列出第一次降价后承包金额的代数式，再根据第一次的承包金额列出第二次降价的承包金额的代数式，根据“以万元达成一致”即可列出方程求解即可．
本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确寻找等量关系，构建方程解决问题．

24.【答案】证明：如图，连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
经过半径的端点，
是的切线；
解：如图，连接、，

，，
，
是的直径，
，
，
∽，
，，
，
∽，
，
，，
，
解得或不符合题意，舍去，
，
，，
，
，
解得，
，
的半径为． 

【解析】连接，证明，则，根据切线的判定定理可证明是的切线；
连接、，证明∽，∽，根据相似三角形的对应边成比例和勾股定理可求出的长，进而求出的半径长．
此题重点考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线．

25.【答案】解：作的垂直平分线交于，以为圆心作交直线于，如图：

则；
以为边在的上方作等边三角形，再以为圆心，以为半径作交直线于，如图：

则；
以为边在的下方作等边三角形，再以为圆心，以为半径作交直线于，如图：

则． 

【解析】以为直径作圆，利用圆周角定理解决问题；
以为边在的上方作等边三角形，再以为圆心，以为半径作，利用圆周角定理解决问题；
以为边在的下方作等边三角形，再以为圆心，以为半径作，利用圆周角定理解决问题．
本题考查作图--复杂作图，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

26.【答案】证明：是的垂直平分线，
，
；
解：如图，连接，
是的垂直平分线，
，
，
由，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据垂径定理可得，然后利用圆周角定理即可解决问题；
连接，根据垂直平分线的性质得，结合证明，设，根据三角形内角和定理求出，进而可以解决问题．
本题考查了三角形外接圆与外心，线段垂直平分线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是得到．

27.【答案】 

【解析】证明：如图，

，
，
即：，
，，
≌，
，
点、、、共圆，
，
，
是的直径；
如图，

由知：，
，
点是的内心，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
作于，
，
，
；
如图，

以为圆心，为半径作，
当与相切时，
最大，
，
，
作于，
，
，
，
，
故答案是．
先证明≌，从而，进而命题得证；
在基础上，点是的内心时，推出，从而得出，解斜三角形即可；
作，为半径，当与相切时，最大，此时求得的长，根据，得出，进而解直角三角形，求得上的高，从而求出的面积．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定性质，圆的切线性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作出辅助圆，找出角最大的条件．