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河南省南阳市第十三中学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷
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这是一份河南省南阳市第十三中学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年河南省南阳十三中八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．的立方根是（ ）
A．8 B．2 C．±8 D．±4
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
5．下列各式：①（a﹣b）（b+a） ②（a﹣b）（﹣a﹣b） ③（﹣a﹣b）（a+b） ④（a﹣b）（﹣a+b），能用于平方
差公式计算的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．若|a|＝﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
7．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9 B．39 C．12 D．108
8．如果4x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
9．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣2
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．写出一个比3大且比4小的无理数： ．
12．若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
13．若2×4n×8n＝221，则n的值为 ．
14．已知a2+b2＝13，（a﹣b）2＝1，则（a+b）2＝ ．
15．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
16．计算：
（1）
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2+
17．先化简，再求值：（2x﹣1）（x+2）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中x＝﹣．
四、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
19．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（3﹣i）+（5+3i）＝（3+5）+（﹣1+3）i＝8+2i；
（1+i）×（3﹣i）＝1×3﹣i+3×i﹣i2＝3+（﹣1+3）i+1＝4+2i．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（2+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2022．
20．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式： ．
21．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
因为19＞16，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请利用上述方法比较实数与的大小．
22．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
23．如图①，一个宽为a，长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： ；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：
若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
解：、、﹣1.010010001…是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．的立方根是（ ）
A．8 B．2 C．±8 D．±4
【分析】先求出＝8，再求出8的立方根即可．
解：∵＝8，
∴的立方根是＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（a≥0）的平方根是，a的立方根是．
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5．下列各式：①（a﹣b）（b+a） ②（a﹣b）（﹣a﹣b） ③（﹣a﹣b）（a+b） ④（a﹣b）（﹣a+b），能用于平方
差公式计算的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：①（a﹣b）（b+a）＝a2﹣b2，符合题意；
②（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，符合题意；
③（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，不符合题意；
④（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．若|a|＝﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
【分析】根据|a|＝﹣a，求出a的取值范围，再根据数轴的特点进行解答即可求出答案．
解：∵|a|＝﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与数轴，根据|a|≥0，然后利用数轴的知识即可解答，是一道基础题．
7．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9 B．39 C．12 D．108
【分析】先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解即可．
解：∵xm＝6，xn＝3，
∴x2m﹣n
＝（xm）2÷xn
＝62÷3
＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键在于先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解．
8．如果4x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k＝±20，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣2
【分析】首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．
解：∵表示2，的对应点分别为C，B，
∴CB＝﹣2，
∵点C是AB的中点，则设点A的坐标是x，
则x＝4﹣，
∴点A表示的数是4﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间x1，x2的中点的计算方法．
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．写出一个比3大且比4小的无理数： π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数的定义即可．
解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【分析】由+|b+1|＝0得a＝2，b＝﹣1，代入求解．
解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
13．若2×4n×8n＝221，则n的值为 4 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
解：∵2×4n×8n＝221，
∴2×22n×23n＝221，
∴1+2n+3n＝21，
解得：n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14．已知a2+b2＝13，（a﹣b）2＝1，则（a+b）2＝ 25 ．
【分析】利用完全平方公式求出所求即可．
解：∵a2+b2＝13，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
∴ab＝6，
则原式＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
故答案为：25．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 6x2+5x﹣6 ．
【分析】根据小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，根据等于号的性质可得2b﹣3a＝﹣13①；再根据小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，可得2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，进而可求一次项系数．
解：根据题意可知
小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a＝﹣13①，
小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，
即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
可得2b+a＝﹣1②，
解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2，
∴2b+3a＝5．
故答案为：6x2+5x﹣6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则、解方程组，解题的关键是理解题目表达的意思．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
16．计算：
（1）
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2+
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
解：（1）原式＝2﹣2﹣
＝﹣；
（2）原式＝﹣1﹣2×9+（﹣3）×（﹣3）
＝﹣1﹣18+9
＝﹣10．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．先化简，再求值：（2x﹣1）（x+2）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中x＝﹣．
【分析】运用乘法公式、多项式乘以多项式的法则，将式子展开，合并，再代值计算．
解：原式＝2x2+3x﹣2﹣（x2﹣4x+4）﹣（x2+4x+4），
＝3x﹣10，
当x＝﹣时，原式＝3×（﹣）﹣10＝﹣11．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值．关键是运用乘法公式、多项式乘以多项式的法则，将式子展开，合并．
四、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
19．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（3﹣i）+（5+3i）＝（3+5）+（﹣1+3）i＝8+2i；
（1+i）×（3﹣i）＝1×3﹣i+3×i﹣i2＝3+（﹣1+3）i+1＝4+2i．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（2+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2022．
【分析】（1）将运算变形为含i2的运算即可；
（2）运用题目定义和类似与多项式乘以多项式的计算方法进行计算；
（3）根据i＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，…+i2022＝﹣1，的规律进行计算即可．
解：（1）i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（2+i）×（3﹣4i）；
＝6﹣8i+3i+4
＝10﹣5i；
（3）i+i2+i3+i4+…+i2022
＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1
＝i﹣1．
【点评】此题考查了实数新定义运算问题的解决能力，关键是能根据定义和实数的运算方法进行准确计算．
20．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ 9 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式： x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1） ．
【分析】（1）依据大正方形的面积＝（a+b+c）2，各部分面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．
解：（1）最外层正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
总体看的面积和分部分求和的面积相等．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴112＝a2+b2+c2+2×38
∴a2+b2+c2＝121﹣76＝45
∴a2+b2+c2的值为45．
（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab
∴x＝2，y＝2，z＝5
∴x+y+z＝9
故答案为：9．
（4）大立方体的体积等于x3，挖去的长方体的体积为x×1×1＝x，从而剩余部分的体积为x3﹣x；
重新拼成的新长方体体积为：x（x﹣1）（x+1）
两者体积相等．
故答案为：x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
21．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
因为19＞16，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请利用上述方法比较实数与的大小．
【分析】根据作差法即可比较大小．
解：，
因为94＞81，所以，
所以，
所以，
所以．
【点评】考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法．
22．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
【分析】（1）S1＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，S2＝长方形的长×长方形的宽，由S1＝S2得出乘法公式．
（2）公式直接应用，①中的﹣x是公式里的a，y是公式里的b，②102×98转化为（100+2）×（100﹣2）再利用公式计算．
（3）乘法算式先乘以（3﹣1），再除以（3﹣1），乘法算式的乘积不变，出现平方差公式的形式，找到规律，从而计算出结果．
解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．
（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+1，
＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）÷2+1，
＝[（31024）2﹣12]÷2+1，
＝（32048﹣1）÷2+1，
＝．
【点评】本题通过计算面积的“形”找到了a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的“数”的关系式，探索出平方差公式，然后应用这个公式解决问题．
23．如图①，一个宽为a，长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：
若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据阴影部分、大正方形和4个长方形的面积大小关系列式即可；
（2）将各代数式的值对应代入（1）中的代数式求解即可；
（3）在图③中标出各部分的面积，列出各面积大小关系的代数式，再进行求解．
解：（1）图中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）根据（1）中的结论，得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝52﹣4×＝16．
（3）各部分的面积如图中所示．
根据图中的面积，得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），
即62＝14+2（ab+bc+ac），解得ab+bc+ac＝11．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积法探究完全平方公式是本题的关键．
2023-2024学年河南省南阳十三中八年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．的立方根是（ ）
A．8 B．2 C．±8 D．±4
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
5．下列各式：①（a﹣b）（b+a） ②（a﹣b）（﹣a﹣b） ③（﹣a﹣b）（a+b） ④（a﹣b）（﹣a+b），能用于平方
差公式计算的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．若|a|＝﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
7．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9 B．39 C．12 D．108
8．如果4x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
9．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣2
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．写出一个比3大且比4小的无理数： ．
12．若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
13．若2×4n×8n＝221，则n的值为 ．
14．已知a2+b2＝13，（a﹣b）2＝1，则（a+b）2＝ ．
15．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 ．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
16．计算：
（1）
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2+
17．先化简，再求值：（2x﹣1）（x+2）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中x＝﹣．
四、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
19．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（3﹣i）+（5+3i）＝（3+5）+（﹣1+3）i＝8+2i；
（1+i）×（3﹣i）＝1×3﹣i+3×i﹣i2＝3+（﹣1+3）i+1＝4+2i．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ，i4＝ ；
（2）计算：（2+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2022．
20．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式： ．
21．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
因为19＞16，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请利用上述方法比较实数与的大小．
22．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ ，S2＝ ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
23．如图①，一个宽为a，长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： ；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：
若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在下列实数：、、、、﹣1.010010001…中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的定义，可得答案．
解：、、﹣1.010010001…是无理数，
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．的立方根是（ ）
A．8 B．2 C．±8 D．±4
【分析】先求出＝8，再求出8的立方根即可．
解：∵＝8，
∴的立方根是＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根、立方根的定义，能熟记算术平方根和立方根定义是解此题的关键，注意：a（a≥0）的平方根是，a的立方根是．
3．下列说法错误的是（ ）
A．3的平方根是
B．﹣1的立方根是﹣1
C．0.1是0.01的一个平方根
D．算术平方根是本身的数只有0和1
【分析】根据立方根的定义和求法，平方根的定义和求法，以及算术平方根的定义和求法，逐项判定即可．
解：A、3的平方根是±，原说法错误，故此选项符合题意；
B、﹣1的立方根是﹣1，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0.1是0.01的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、算术平方根是本身的数只有0和1，原说法正确，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了立方根、平方根、算术平方根．解题的关键是熟练掌握立方根的定义，平方根的定义，以及算术平方根的定义．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6 B．（﹣a2）3＝﹣a5
C．a10÷a9＝a（a≠0） D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2
【分析】根据同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方进行计算即可．
解：A、a2•a3＝a5，故A错误；
B、（﹣a2）3＝﹣a6，故B错误；
C、a10÷a9＝a（a≠0），故C正确；
D、（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝b2c2，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法、除法、积的乘方和幂的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
5．下列各式：①（a﹣b）（b+a） ②（a﹣b）（﹣a﹣b） ③（﹣a﹣b）（a+b） ④（a﹣b）（﹣a+b），能用于平方
差公式计算的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
解：①（a﹣b）（b+a）＝a2﹣b2，符合题意；
②（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，符合题意；
③（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，不符合题意；
④（a﹣b）（﹣a+b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，不符合题意，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
6．若|a|＝﹣a，则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点或原点左侧
C．原点右侧 D．原点或原点右侧
【分析】根据|a|＝﹣a，求出a的取值范围，再根据数轴的特点进行解答即可求出答案．
解：∵|a|＝﹣a，
∴a一定是非正数，
∴实数a在数轴上的对应点一定在原点或原点左侧．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与数轴，根据|a|≥0，然后利用数轴的知识即可解答，是一道基础题．
7．已知xm＝6，xn＝3，则x2m﹣n的值为（ ）
A．9 B．39 C．12 D．108
【分析】先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解即可．
解：∵xm＝6，xn＝3，
∴x2m﹣n
＝（xm）2÷xn
＝62÷3
＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，解答本题的关键在于先将x2m﹣n变形为（xm）2÷xn，然后将xm＝6，xn＝3代入求解．
8．如果4x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（ ）
A．10 B．±10 C．20 D．±20
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
解：∵4x2+kx+25是一个完全平方式，
∴k＝±20，
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（ ）
A．﹣ B．2﹣ C．4﹣ D．﹣2
【分析】首先可以求出线段BC的长度，然后利用中点的性质即可解答．
解：∵表示2，的对应点分别为C，B，
∴CB＝﹣2，
∵点C是AB的中点，则设点A的坐标是x，
则x＝4﹣，
∴点A表示的数是4﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了数轴上两点之间x1，x2的中点的计算方法．
10．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】利用正方形的面积公式和矩形的面积公式分别表示出阴影部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可．
解：第一个图形阴影部分的面积是a2﹣b2，
第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b）．
则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示阴影部分的面积是关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11．写出一个比3大且比4小的无理数： π（答案不唯一） ．
【分析】根据无理数的定义即可．
解：写出一个比3大且比4小的无理数：π（答案不唯一）．
故答案为：π（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
12．若+|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【分析】由+|b+1|＝0得a＝2，b＝﹣1，代入求解．
解：∵≥，|b+1|≥0，+|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0，a＝2，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二次根式及绝对值的非负性，解题关键是熟练掌握二次根式及绝对值的非负性．
13．若2×4n×8n＝221，则n的值为 4 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
解：∵2×4n×8n＝221，
∴2×22n×23n＝221，
∴1+2n+3n＝21，
解得：n＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
14．已知a2+b2＝13，（a﹣b）2＝1，则（a+b）2＝ 25 ．
【分析】利用完全平方公式求出所求即可．
解：∵a2+b2＝13，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
∴ab＝6，
则原式＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，
故答案为：25．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
15．小青和小红分别计算同一道整式乘法题：（2x+a）（3x+b），小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，则这道题的正确结果是 6x2+5x﹣6 ．
【分析】根据小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，可知（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，根据等于号的性质可得2b﹣3a＝﹣13①；再根据小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，可知常数项是﹣6，可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，可得2b+a＝﹣1②，解关于①②的方程组即可求a、b的值，进而可求一次项系数．
解：根据题意可知
小青由于抄错了一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2﹣13x+6，
那么（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2﹣13x+6，
可得2b﹣3a＝﹣13①，
小红由于抄错了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣x﹣6，
可知（2x+a）（x+b）＝2x2﹣x﹣6，
即2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣x﹣6，
可得2b+a＝﹣1②，
解关于①②的方程组，可得a＝3，b＝﹣2，
∴2b+3a＝5．
故答案为：6x2+5x﹣6．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式的法则、解方程组，解题的关键是理解题目表达的意思．
三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）
16．计算：
（1）
（2）﹣14﹣2×（﹣3）2+
【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；
（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
解：（1）原式＝2﹣2﹣
＝﹣；
（2）原式＝﹣1﹣2×9+（﹣3）×（﹣3）
＝﹣1﹣18+9
＝﹣10．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．先化简，再求值：（2x﹣1）（x+2）﹣（x﹣2）2﹣（x+2）2，其中x＝﹣．
【分析】运用乘法公式、多项式乘以多项式的法则，将式子展开，合并，再代值计算．
解：原式＝2x2+3x﹣2﹣（x2﹣4x+4）﹣（x2+4x+4），
＝3x﹣10，
当x＝﹣时，原式＝3×（﹣）﹣10＝﹣11．
【点评】本题考查了整式的混合运算及化简求值．关键是运用乘法公式、多项式乘以多项式的法则，将式子展开，合并．
四、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
【分析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；
（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3．
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
19．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（3﹣i）+（5+3i）＝（3+5）+（﹣1+3）i＝8+2i；
（1+i）×（3﹣i）＝1×3﹣i+3×i﹣i2＝3+（﹣1+3）i+1＝4+2i．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）填空：i3＝ ﹣i ，i4＝ 1 ；
（2）计算：（2+i）×（3﹣4i）；
（3）计算：i+i2+i3+i4+…+i2022．
【分析】（1）将运算变形为含i2的运算即可；
（2）运用题目定义和类似与多项式乘以多项式的计算方法进行计算；
（3）根据i＝i，i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，…+i2022＝﹣1，的规律进行计算即可．
解：（1）i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝i2•i2＝﹣1•（﹣1）＝1，
故答案为：﹣i，1；
（2）（2+i）×（3﹣4i）；
＝6﹣8i+3i+4
＝10﹣5i；
（3）i+i2+i3+i4+…+i2022
＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1
＝i﹣1．
【点评】此题考查了实数新定义运算问题的解决能力，关键是能根据定义和实数的运算方法进行准确计算．
20．【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝ 9 ；
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个数学等式： x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1） ．
【分析】（1）依据大正方形的面积＝（a+b+c）2，各部分面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab，比较系数可得答案．
（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．
解：（1）最外层正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
总体看的面积和分部分求和的面积相等．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴112＝a2+b2+c2+2×38
∴a2+b2+c2＝121﹣76＝45
∴a2+b2+c2的值为45．
（3）∵（2a+b）（a+2b）＝2a2+2b2+5ab
∴x＝2，y＝2，z＝5
∴x+y+z＝9
故答案为：9．
（4）大立方体的体积等于x3，挖去的长方体的体积为x×1×1＝x，从而剩余部分的体积为x3﹣x；
重新拼成的新长方体体积为：x（x﹣1）（x+1）
两者体积相等．
故答案为：x3﹣x＝x（x﹣1）（x+1）．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积或体积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
21．课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．
小明的解法如下：
解：．
因为19＞16，所以，所以，
所以，所以．
我们把这种比较大小的方法称为作差法．
请利用上述方法比较实数与的大小．
【分析】根据作差法即可比较大小．
解：，
因为94＞81，所以，
所以，
所以，
所以．
【点评】考查了实数大小比较，关键是熟练掌握比较大小的作差法．
22．如图，边长为a的正方形中有一个边长为b（b＜a）的小正方形，如图2是由图1中的阴影部分拼成的一个长方形．
（1）设图1阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1＝ a2﹣b2 ，S2＝ （a+b）（a﹣b） ，写出上述过程中所揭示的乘法公式 a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ；
（2）直接应用，利用这个公式计算：
①（﹣x﹣y）（y﹣x）；
②102×98．
（3）拓展应用，试利用这个公式求下面代数式的结果．
（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×…×（31024+1）+1．
【分析】（1）S1＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，S2＝长方形的长×长方形的宽，由S1＝S2得出乘法公式．
（2）公式直接应用，①中的﹣x是公式里的a，y是公式里的b，②102×98转化为（100+2）×（100﹣2）再利用公式计算．
（3）乘法算式先乘以（3﹣1），再除以（3﹣1），乘法算式的乘积不变，出现平方差公式的形式，找到规律，从而计算出结果．
解：（1）S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），
∵S1＝S2，
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
（2）①（﹣x﹣y）（y﹣x）＝（﹣x）2﹣y2＝x2﹣y2；
②102×98＝（100+2）×（100﹣2）＝9996．
（3）（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）+1，
＝（3﹣1）×[（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）]÷（3﹣1）+1，
＝（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）......×（31024+1）÷2+1，
＝[（31024）2﹣12]÷2+1，
＝（32048﹣1）÷2+1，
＝．
【点评】本题通过计算面积的“形”找到了a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）的“数”的关系式，探索出平方差公式，然后应用这个公式解决问题．
23．如图①，一个宽为a，长为4b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图②）．
（1）观察图②，请你用等式表示（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的数量关系： （a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ；
（2）根据（1）中的结论，如果，求代数式（x﹣y）2的值；
（3）观察图③，解决下面的问题：
若a+b+c＝6，a2+b2+c2＝14，求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据阴影部分、大正方形和4个长方形的面积大小关系列式即可；
（2）将各代数式的值对应代入（1）中的代数式求解即可；
（3）在图③中标出各部分的面积，列出各面积大小关系的代数式，再进行求解．
解：（1）图中阴影部分的面积为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
（2）根据（1）中的结论，得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∴（x﹣y）2＝52﹣4×＝16．
（3）各部分的面积如图中所示．
根据图中的面积，得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），
即62＝14+2（ab+bc+ac），解得ab+bc+ac＝11．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，利用面积法探究完全平方公式是本题的关键．
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