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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.3 直线的交点坐标与距离公式课时作业，共24页。试卷主要包含了点到直线距离的最大值为，点到直线的距离是，若点到直线的距离是4，则的值是，点在函数的图象上等内容，欢迎下载使用。
点到直线的距离公式同步练习
一．选择题（共12小题）
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
2．点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
3．点到直线的距离是
A． B． C． D．
4．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是
A． B．
C．或 D．或
5．已知点和，，直线，若直线与线段有公共点，则的最小值为
A．24 B． C．25 D．
6．过点且与原点距离最大的直线方程为
A． B． C． D．
7．已知点到直线的距离等于1，则等于
A． B． C． D．或
8．若点到直线的距离是4，则的值是
A．1 B． C．1或 D．或
9．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
10．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为
A． B． C．3 D．4
11．点到直线距离的最大值为
A． B． C．1 D．
12．设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为
A． B．4 C． D．
二．填空题（共15小题）
13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 ．
14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．
15．若不全为零的实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点在直线上，则线段长度的最小值是 ．
16．点到直线的距离的最大值为 ．
17．圆心为且与直线相切的圆的方程为 ．
18．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为 ．
19．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为 ．
20．已知和两点到直线的距离相等，则的值为 ．
21．已知点到直线的距离等于，则的值为 ．
22．已知点，到直线的距离为1，则的值为 ．
23．圆上的点到直线的最大距离是 ．
24．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 ．
25．过点且与原点的距离最大的直线方程是 ．
26．过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为 ．
27．已知点在直线上，则的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线经过点，且斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程．
29．已知直线经过直线与的交点．
（1）点到直线的距离为3，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
30．已知直线经过点．
（1）且原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
31．已知直线恒过定点．
（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．
32．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点到直线的距离；
（2）求的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
【分析】由于函数与函数互为反函数，图象关于对称，要求的最小值，只要求出函数上的点到直线的距离为的最小值，
设，利用导数可求函数的单调性，进而可求的最小值，即可求．
【解答】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称，
函数上的点到直线的距离为，
设，则，
由可得，
由可得，
函数在单调递减，在，单调递增，
当时，函数，
，
由图象关于对称得：最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点距离转化为点线距离，构造很好
2．点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离．
故选：．
【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
3．点到直线的距离是
A． B． C． D．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点到直线的距离．
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
4．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是
A． B．
C．或 D．或
【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，易得所求的直线方程．
【解答】解：设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
（1）的斜率为，当直线时，直线的方程是，即，
（2）当直线经过线段的中点时，的斜率为，直线的方程是，即，
故所求直线的方程为，或．
故选：．
【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
5．已知点和，，直线，若直线与线段有公共点，则的最小值为
A．24 B． C．25 D．
【分析】直线与线段有公共点，，可得：，；或，，画出可行域．表示点到原点的距离的平方．原点到直线的距离．原点到直线的距离，比较与，即可得出．
【解答】解：直线与线段有公共点，
，
，；或，，
画出可行域．
表示点到原点的距离的平方．原点到直线的距离．原点到直线的距离，又，的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了直线方程、线性规划问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．过点且与原点距离最大的直线方程为
A． B． C． D．
【分析】过点且与原点距离最大的直线与垂直，再用点斜式方程求解．
【解答】解：根据题意得，当与直线垂直时距离最大，
因直线的斜率为2，所以所求直线斜率为，
所以由点斜式方程得：，
化简得：，
故选：．
【点评】本题考查直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题．
7．已知点到直线的距离等于1，则等于
A． B． C． D．或
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点到直线的距离等于1，
，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
8．若点到直线的距离是4，则的值是
A．1 B． C．1或 D．或
【分析】由题意可得，解方程可得．
【解答】解：点到直线的距离是4，
，解得或，
故选：．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
9．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】设点关于直线的对称点为，列方程组求出，从而，当，，共线时，的最小值为．
【解答】解：，，点为直线上的动点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，，，
，
当，，共线时，的最小值为：．
故选：．
【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查对称、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为
A． B． C．3 D．4
【分析】要满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【解答】解：过函数的图象上点，作切线，使得此切线与直线平行，
又，于是，则，；
，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点有且仅有3个，
，解得或
又当时，函数的图象与直线没有交点，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；
故．
故选：．
【点评】本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的数形结合思想和转化能力，属于中档题．
11．点到直线距离的最大值为
A． B． C．1 D．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，求得点到直线距离的最大值．
【解答】解：点到直线距离
为，
即点到直线距离的最大值为，其中，，为锐角，
故选：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，属于中档题．
12．设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为
A． B．4 C． D．
【分析】联立，解得交点．直线化为：，因此直线经过定点．即可得出到直线的距离最大值为．
【解答】解：联立，解得，．可得．
直线化为：，因此直线经过定点．
到直线的距离最大值为．
故选：．
【点评】本题考查了对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共15小题）
13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 5 ．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【解答】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，．
故（当且仅当时取“”
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 2 ．
【分析】设出抛物线上一点的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出到直线和直线的距离和，求出，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点的坐标为，，则到直线的距离；
到直线的距离，
则，
当时，到直线和直线的距离之和的最小值为2
故答案为2
【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
15．若不全为零的实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点在直线上，则线段长度的最小值是 1 ．
【分析】由已知得点在以为圆心，2为半径的圆上，线段长度的最小值等于圆心到直线的距离减去圆半径2．
【解答】解：不全为零的实数，，成等差数列，
，代入动直线，
得，化为，
，不全为0，，解得，，
动直线过定点，
设点，．
，，，
整理，得，
点在以为圆心，2为半径的圆上，
点在直线上，
线段长度的最小值等于圆心到直线的距离减去圆半径2，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
16．点到直线的距离的最大值为 ．
【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【解答】解：化直线为，
联立，解得．
直线过定点，
点到直线的距离的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．
17．圆心为且与直线相切的圆的方程为 ．
【分析】因为所求的圆与直线相切时圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式求出半径，然后根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：，所求圆的半径就是圆心到直线的距离：，
所以圆的方程：．
故答案为：
【点评】此题要求学生掌握直线与圆相切时的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．根据圆心坐标和半径会写出圆的标准方程．
18．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为 ．
【分析】根据题意，由中点坐标公式可得，变形可得，进而可得，结合圆的方程可得，即点的轨迹方程为圆；又由，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，，、，，且，为弦的中点，
则，则有，
变形可得：，
又由，、，为圆上的两点，则，；
则有，
即点的轨迹方程为圆，
则，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又由圆的圆心到直线的距离，
则圆上一点到直线的距离的最小值为，即的最小值为，
故，即的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的分析计算，属于中档题．
19．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为 或 ．
【分析】直线过点且与点、等距离，则有两种情形：①，②过中点；然后分别求解即可．
【解答】解：直线过点且与点、等距离，则有两种情形：①，②过中点；
①当时，，又直线过点，则，化简可得，；
②当过中点时，设中点为，则，方程为：．
故答案为：或．
【点评】本题考查了求直线方程，考查了学生的直观想象能力和分类讨论思想，属于基础题．
20．已知和两点到直线的距离相等，则的值为 或 ．
【分析】和两点到直线的距离相等，可得，化简解出即可得出．
【解答】解：和两点到直线的距离相等，
，
化为：，
解得或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知点到直线的距离等于，则的值为 或3 ．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得：，化为：，
解得或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．已知点，到直线的距离为1，则的值为 ．
【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可知，点，到直线的距离为，解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
23．圆上的点到直线的最大距离是 ．
【分析】把圆的方程化为标准方程后找出圆心的坐标，求出已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．
【解答】解：把圆的方程化为：，所以圆心坐标为，而直线的斜率为，
则过与直线垂直的直线斜率为1，直线方程为：即，
与圆方程联立得：解得或，则到直线的距离，
所以到直线的距离最大，最大距离
故答案为：
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的一些基本性质，会求直线与圆的交点坐标．
24．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 ， ．
【分析】先求出直线经过定点，当点在直线上，点到直线的距离最小为0；和直线垂直时，点到直线的距离最大为，检验最大值取不到，由此求出点到直线的距离的取值范围．
【解答】解：直线，即，
该直线经过 和的交点 2，，
当点在直线上，点到直线的距离最小为0；
当和直线垂直时，点到直线的距离最大为，
此时，直线的方程为：，不存在值，满足此条件，
故点到直线的距离最大取不到，
故点到直线的距离的取值范围为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查直线系方程的应用，直线经过定点问题，属于中档题．
25．过点且与原点的距离最大的直线方程是 ．
【分析】过点且与原点的距离最大的直线满足：．则，即可得出．
【解答】解：过点且与原点的距离最大的直线满足：．
，
．
直线的方程 为：，化为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为 或 ．
【分析】首先求出直线间的交点坐标，进一步利用分类讨论思想求出直线的方程．
【解答】解：根据题意得解得，故交点的坐标为，．
①当经过点的直线的斜率不存在时，其方程为，原点到直线的距离为；
②当直线斜率存在时，设经过点的直线的方程为，即，
由于原点到方程为的直线的距离，
解得，故所求直线的方程为．
故答案为：或．
【点评】本题考查的知识要点：直线的交点的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
27．已知点在直线上，则的最小值为 5 ．
【分析】利用的几何意义与点线距离公式求得结果即可．
【解答】解：的几何意义是点到点的距离，又点在直线上，
的最小值为点到直线的距离，
又，
，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查点线距离公式的应用，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线经过点，且斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程．
【分析】（1）由点斜式写出直线的方程为，化为一般式．
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式求得待定系数 值，即得所求直线方程．
【解答】解：（1）由点斜式写出直线的方程为，化简为．
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式，得，即，
解得或，故所求直线方程，或．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键．
29．已知直线经过直线与的交点．
（1）点到直线的距离为3，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
【分析】（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为：，即，所以，解，解得即可得出．
（2）由，解得交点，如图，过作任一直线，设为点到直线的距离，可得（当时等号成立）即可得出．
【解答】解：（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为：，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
（2）由解得交点，
如图，过作任一直线，设为点到直线的距离，
则（当时等号成立）
所以，此时直线的方程为：．
【点评】本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30．已知直线经过点．
（1）且原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得值，则直线方程可求；
（2）设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上），求出点的坐标（用的坐标表示），根据在上，在上，求得的坐标，用两点式求得直线的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
由，解得；
直线的方程为．
综上，所求直线方程为或；
（2）设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上），，的坐标分别设为，，，，
被点平分，
，，于是，；
由于在上，在上，
，解得，，
即的坐标是，，
直线的方程的斜率为：；
直线的方程，即．
【点评】本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．
31．已知直线恒过定点．
（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．
【分析】（Ⅰ）求出直线恒过定点，设与直线垂直的直线方程为，把代入，能求出直线的方程．
（Ⅱ）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，当直线的斜率不存在时，直线的方程为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由原点到直线的距离，能求出直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）直线恒过定点．
，
由，得，
设与直线垂直的直线方程为，
把代入，得：，解得，
直线的方程为．
（Ⅱ）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
原点到直线的距离，
解得，
直线的方程为：，即．
综上，直线的方程为或．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
32．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点到直线的距离；
（2）求的面积．
【分析】（1）由题意求得所在直线的斜率再由直线方程点斜式求的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；
（2）设的坐标，由题意列式求得的坐标，再求出，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）由题意，，直线的方程为，即．
点到直线的距离；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，
．的面积．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题．
点到直线的距离公式同步练习
一．选择题（共12小题）
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
2．点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
3．点到直线的距离是
A． B． C． D．
4．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是
A． B．
C．或 D．或
5．已知点和，，直线，若直线与线段有公共点，则的最小值为
A．24 B． C．25 D．
6．过点且与原点距离最大的直线方程为
A． B． C． D．
7．已知点到直线的距离等于1，则等于
A． B． C． D．或
8．若点到直线的距离是4，则的值是
A．1 B． C．1或 D．或
9．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
10．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为
A． B． C．3 D．4
11．点到直线距离的最大值为
A． B． C．1 D．
12．设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为
A． B．4 C． D．
二．填空题（共15小题）
13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 ．
14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．
15．若不全为零的实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点在直线上，则线段长度的最小值是 ．
16．点到直线的距离的最大值为 ．
17．圆心为且与直线相切的圆的方程为 ．
18．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为 ．
19．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为 ．
20．已知和两点到直线的距离相等，则的值为 ．
21．已知点到直线的距离等于，则的值为 ．
22．已知点，到直线的距离为1，则的值为 ．
23．圆上的点到直线的最大距离是 ．
24．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 ．
25．过点且与原点的距离最大的直线方程是 ．
26．过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为 ．
27．已知点在直线上，则的最小值为 ．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线经过点，且斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程．
29．已知直线经过直线与的交点．
（1）点到直线的距离为3，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
30．已知直线经过点．
（1）且原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
31．已知直线恒过定点．
（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．
32．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点到直线的距离；
（2）求的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为
A． B． C． D．
【分析】由于函数与函数互为反函数，图象关于对称，要求的最小值，只要求出函数上的点到直线的距离为的最小值，
设，利用导数可求函数的单调性，进而可求的最小值，即可求．
【解答】解：函数与函数互为反函数，图象关于对称，
函数上的点到直线的距离为，
设，则，
由可得，
由可得，
函数在单调递减，在，单调递增，
当时，函数，
，
由图象关于对称得：最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点距离转化为点线距离，构造很好
2．点到直线距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【分析】直接代入点到直线的距离公式，结合基本不等式即可求解结论．
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离．
故选：．
【点评】本题考查的知识点是点到直线的距离公式，属于基础题．
3．点到直线的距离是
A． B． C． D．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点到直线的距离．
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
4．直线过，且，到的距离相等，则直线的方程是
A． B．
C．或 D．或
【分析】由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，当直线时，利用点斜式求出直线方程；当直线经过线段的中点时，易得所求的直线方程．
【解答】解：设所求直线为，由条件可知直线平行于直线或过线段的中点，
（1）的斜率为，当直线时，直线的方程是，即，
（2）当直线经过线段的中点时，的斜率为，直线的方程是，即，
故所求直线的方程为，或．
故选：．
【点评】本题考查求直线的方程的方法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
5．已知点和，，直线，若直线与线段有公共点，则的最小值为
A．24 B． C．25 D．
【分析】直线与线段有公共点，，可得：，；或，，画出可行域．表示点到原点的距离的平方．原点到直线的距离．原点到直线的距离，比较与，即可得出．
【解答】解：直线与线段有公共点，
，
，；或，，
画出可行域．
表示点到原点的距离的平方．原点到直线的距离．原点到直线的距离，又，的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了直线方程、线性规划问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．过点且与原点距离最大的直线方程为
A． B． C． D．
【分析】过点且与原点距离最大的直线与垂直，再用点斜式方程求解．
【解答】解：根据题意得，当与直线垂直时距离最大，
因直线的斜率为2，所以所求直线斜率为，
所以由点斜式方程得：，
化简得：，
故选：．
【点评】本题考查直线方程的求解，要数形结合先判断什么时候距离最大才能求直线方程，属基础题．
7．已知点到直线的距离等于1，则等于
A． B． C． D．或
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：点到直线的距离等于1，
，
解得或．
故选：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题．
8．若点到直线的距离是4，则的值是
A．1 B． C．1或 D．或
【分析】由题意可得，解方程可得．
【解答】解：点到直线的距离是4，
，解得或，
故选：．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，属基础题．
9．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
【分析】设点关于直线的对称点为，列方程组求出，从而，当，，共线时，的最小值为．
【解答】解：，，点为直线上的动点，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，，，
，
当，，共线时，的最小值为：．
故选：．
【点评】本题考查两线段和的最小值的求法，考查对称、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．点在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则实数的值为
A． B． C．3 D．4
【分析】要满足到直线的距离为的点有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．
【解答】解：过函数的图象上点，作切线，使得此切线与直线平行，
又，于是，则，；
，
于是当点到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点有且仅有3个，
，解得或
又当时，函数的图象与直线没有交点，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；
故．
故选：．
【点评】本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的数形结合思想和转化能力，属于中档题．
11．点到直线距离的最大值为
A． B． C．1 D．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，求得点到直线距离的最大值．
【解答】解：点到直线距离
为，
即点到直线距离的最大值为，其中，，为锐角，
故选：．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，属于中档题．
12．设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为
A． B．4 C． D．
【分析】联立，解得交点．直线化为：，因此直线经过定点．即可得出到直线的距离最大值为．
【解答】解：联立，解得，．可得．
直线化为：，因此直线经过定点．
到直线的距离最大值为．
故选：．
【点评】本题考查了对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．填空题（共15小题）
13．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点．则的最大值是 5 ．
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【解答】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，．
故（当且仅当时取“”
故答案为：5
【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
14．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 2 ．
【分析】设出抛物线上一点的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出到直线和直线的距离和，求出，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．
【解答】解：设抛物线上的一点的坐标为，，则到直线的距离；
到直线的距离，
则，
当时，到直线和直线的距离之和的最小值为2
故答案为2
【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．
15．若不全为零的实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点在直线上，则线段长度的最小值是 1 ．
【分析】由已知得点在以为圆心，2为半径的圆上，线段长度的最小值等于圆心到直线的距离减去圆半径2．
【解答】解：不全为零的实数，，成等差数列，
，代入动直线，
得，化为，
，不全为0，，解得，，
动直线过定点，
设点，．
，，，
整理，得，
点在以为圆心，2为半径的圆上，
点在直线上，
线段长度的最小值等于圆心到直线的距离减去圆半径2，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查线段长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
16．点到直线的距离的最大值为 ．
【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【解答】解：化直线为，
联立，解得．
直线过定点，
点到直线的距离的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线系方程的应用，考查两点间的距离公式，是基础题．
17．圆心为且与直线相切的圆的方程为 ．
【分析】因为所求的圆与直线相切时圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式求出半径，然后根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：，所求圆的半径就是圆心到直线的距离：，
所以圆的方程：．
故答案为：
【点评】此题要求学生掌握直线与圆相切时的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值．根据圆心坐标和半径会写出圆的标准方程．
18．已知，、，为圆上的两点，且，设，为弦的中点，则的最小值为 ．
【分析】根据题意，由中点坐标公式可得，变形可得，进而可得，结合圆的方程可得，即点的轨迹方程为圆；又由，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，结合直线与圆的位置关系分析可得的最小值，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，，、，，且，为弦的中点，
则，则有，
变形可得：，
又由，、，为圆上的两点，则，；
则有，
即点的轨迹方程为圆，
则，其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又由圆的圆心到直线的距离，
则圆上一点到直线的距离的最小值为，即的最小值为，
故，即的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及轨迹方程的分析计算，属于中档题．
19．已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为 或 ．
【分析】直线过点且与点、等距离，则有两种情形：①，②过中点；然后分别求解即可．
【解答】解：直线过点且与点、等距离，则有两种情形：①，②过中点；
①当时，，又直线过点，则，化简可得，；
②当过中点时，设中点为，则，方程为：．
故答案为：或．
【点评】本题考查了求直线方程，考查了学生的直观想象能力和分类讨论思想，属于基础题．
20．已知和两点到直线的距离相等，则的值为 或 ．
【分析】和两点到直线的距离相等，可得，化简解出即可得出．
【解答】解：和两点到直线的距离相等，
，
化为：，
解得或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21．已知点到直线的距离等于，则的值为 或3 ．
【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得：，化为：，
解得或3．
故答案为：或3．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．已知点，到直线的距离为1，则的值为 ．
【分析】利用点到直线距离公式，代入计算即可得到的值．
【解答】解：由题可知，点，到直线的距离为，解得：．
故答案为：．
【点评】本题考查了点到直线的距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．
23．圆上的点到直线的最大距离是 ．
【分析】把圆的方程化为标准方程后找出圆心的坐标，求出已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的关系求出过与已知直线垂直的直线的斜率，写出此直线的方程与圆的方程联立求出直线与圆的交点坐标，利用点到直线的距离公式找出最大距离即可．
【解答】解：把圆的方程化为：，所以圆心坐标为，而直线的斜率为，
则过与直线垂直的直线斜率为1，直线方程为：即，
与圆方程联立得：解得或，则到直线的距离，
所以到直线的距离最大，最大距离
故答案为：
【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握圆的一些基本性质，会求直线与圆的交点坐标．
24．已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 ， ．
【分析】先求出直线经过定点，当点在直线上，点到直线的距离最小为0；和直线垂直时，点到直线的距离最大为，检验最大值取不到，由此求出点到直线的距离的取值范围．
【解答】解：直线，即，
该直线经过 和的交点 2，，
当点在直线上，点到直线的距离最小为0；
当和直线垂直时，点到直线的距离最大为，
此时，直线的方程为：，不存在值，满足此条件，
故点到直线的距离最大取不到，
故点到直线的距离的取值范围为，，
故答案为：，．
【点评】本题主要考查直线系方程的应用，直线经过定点问题，属于中档题．
25．过点且与原点的距离最大的直线方程是 ．
【分析】过点且与原点的距离最大的直线满足：．则，即可得出．
【解答】解：过点且与原点的距离最大的直线满足：．
，
．
直线的方程 为：，化为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
26．过两直线和的交点，并且与原点的最短距离为的直线的方程为 或 ．
【分析】首先求出直线间的交点坐标，进一步利用分类讨论思想求出直线的方程．
【解答】解：根据题意得解得，故交点的坐标为，．
①当经过点的直线的斜率不存在时，其方程为，原点到直线的距离为；
②当直线斜率存在时，设经过点的直线的方程为，即，
由于原点到方程为的直线的距离，
解得，故所求直线的方程为．
故答案为：或．
【点评】本题考查的知识要点：直线的交点的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
27．已知点在直线上，则的最小值为 5 ．
【分析】利用的几何意义与点线距离公式求得结果即可．
【解答】解：的几何意义是点到点的距离，又点在直线上，
的最小值为点到直线的距离，
又，
，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查点线距离公式的应用，属于基础题．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线经过点，且斜率为．
（1）求直线的方程；
（2）若直线与平行，且点到直线的距离为3，求直线的方程．
【分析】（1）由点斜式写出直线的方程为，化为一般式．
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，由点到直线的距离公式求得待定系数 值，即得所求直线方程．
【解答】解：（1）由点斜式写出直线的方程为，化简为．
（2）由直线与直线平行，可设直线的方程为，
由点到直线的距离公式，得，即，
解得或，故所求直线方程，或．
【点评】本题考查用点斜式求直线方程，用待定系数法求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，求出待定系数是解题的关键．
29．已知直线经过直线与的交点．
（1）点到直线的距离为3，求直线的方程；
（2）求点到直线的距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．
【分析】（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为：，即，所以，解，解得即可得出．
（2）由，解得交点，如图，过作任一直线，设为点到直线的距离，可得（当时等号成立）即可得出．
【解答】解：（1）因为经过两已知直线交点的直线系方程为：，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或．
（2）由解得交点，
如图，过作任一直线，设为点到直线的距离，
则（当时等号成立）
所以，此时直线的方程为：．
【点评】本题考查了直线的交点、点到直线的距离公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
30．已知直线经过点．
（1）且原点到直线的距离为2，求直线的方程；
（2）若直线被两条相交直线和所截得的线段恰被点平分，求直线的方程．
【分析】（1）当直线斜率不存在时，直线方程为；当直线斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式列式求得值，则直线方程可求；
（2）设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上），求出点的坐标（用的坐标表示），根据在上，在上，求得的坐标，用两点式求得直线的方程．
【解答】解：（1）当直线斜率不存在时，直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
即，
由，解得；
直线的方程为．
综上，所求直线方程为或；
（2）设直线夹在直线，之间的线段为在上，在上），，的坐标分别设为，，，，
被点平分，
，，于是，；
由于在上，在上，
，解得，，
即的坐标是，，
直线的方程的斜率为：；
直线的方程，即．
【点评】本题主要考查用待定系数法求直线方程，直线的两点式方程的应用，属于中档题．
31．已知直线恒过定点．
（Ⅰ）若直线经过点且与直线垂直，求直线的方程；
（Ⅱ）若直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，求直线的方程．
【分析】（Ⅰ）求出直线恒过定点，设与直线垂直的直线方程为，把代入，能求出直线的方程．
（Ⅱ）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，当直线的斜率不存在时，直线的方程为；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由原点到直线的距离，能求出直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）直线恒过定点．
，
由，得，
设与直线垂直的直线方程为，
把代入，得：，解得，
直线的方程为．
（Ⅱ）直线经过点且坐标原点到直线的距离等于3，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，成立；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
原点到直线的距离，
解得，
直线的方程为：，即．
综上，直线的方程为或．
【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
32．在平面直角坐标系中，的顶点、，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求点到直线的距离；
（2）求的面积．
【分析】（1）由题意求得所在直线的斜率再由直线方程点斜式求的方程，然后利用点到直线的距离公式求解；
（2）设的坐标，由题意列式求得的坐标，再求出，代入三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）由题意，，直线的方程为，即．
点到直线的距离；
（2）设，则的中点坐标为，
则，解得，即，
．的面积．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，考查点关于直线的对称点的求法，是基础题．
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