浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题及答案

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2022学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题命题：桐庐中学  王燕萍、方婷华  审校：严州中学  刘景红  审核：临安中学  邵肖华考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，，则(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】由已知可得，因为.故选：C.2. 命题“，”的否定是(    )A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“，”是存在量词命题，所以其否定是全称量词命题，即，，故选：A.3. 下列函数与是同一个函数的是(    )A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】判断函数的定义域、对应关系是否完全相同即可得答案【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数；对于B，，两个函数定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于C，函数的定义域为，定义域不同，与不是同一函数；对于D，，对应关系不相同，不是同一函数.故选：B4. 若a，，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对于充分性，利用基本不等式，可得证；对于必要性，可举反例，可得答案.【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，即；当时，，但，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(    )A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，故选：B.6. 已知函数对任意两个不相等的实数，都有不等式成立，则实数a的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意知f(x)在上是增函数，令，则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，据此列出不等式组即可求解．【详解】由题意可知在上为单调增函数，令，则函数t为二次函数，且在时为增函数，且在时恒成立，∴，解得故选：C．7. 设函数，若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由得出的关系式，计算后代入上面得出的关系式即可．【详解】由题意，则，所以故选：B.8. 已知奇函数在上单调递增，对，关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为(    )A. 或 B. 或C.  D. 或【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调和奇偶性，将不等式转化为当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围，同样当时，在成立，上有解，结合主元变更求实数的取值范围即可.【详解】解：①当时，可以转换为，因为奇函数在上单调递增，，则，∴在成立，则，由于，∴在递减，则，又在上有解，则，∴；②当时，由单调性和奇偶性可转换为：，∴，在成立，则，当时，在，递增，则，又在有解，则，∴，当时，在，递减，则，又在有解，则，∴，综合得.综上，或.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 若幂函数的图象过，下列说法正确的有(    )A. 且 B. 是偶函数C. 在定义域上是减函数 D. 的值域为【答案】AB【解析】【分析】根据幂函数的定义可得，由经过可得，进而得，结合选项即可根据幂函数的性质逐一求解.【详解】对于A;由幂函数定义知，将代入解析式得，A项正确；对于B;函数的定义域为，且对定义域内的任意x满足，故是偶函数，B项正确；对于C;在上单调递增，在上单调递减，C错误；对于D;的值域不可能取到0，D项错误.故选：AB10. 已知，，，则下列结论正确的是(    )A.  B.  C.  D. 【答案】ACD【解析】【分析】将c改写成，利用和的单调性，分别与a，b比较大小.【详解】因为，，又，是减函数，所以，即，故A正确；因为，又，是增函数，所以，即，故B不正确；由于，所以，故C正确；由前面的分析知，所以，而，所以，故D正确.故选：ACD.11. 设，且，则下列结论正确的是(    )A. 的最小值为 B. 的最大值为1C. 最小值为 D. 的最大值为6【答案】AC【解析】【分析】根据，且，结合基本不等式逐项求解最值即可判断正误.【详解】解：对于A选项：，当成立，故A正确；对于B选项：，由于，所以，当且仅当成立，故无最大值，故B错误；对于C选项，，当时，又能取等号，故C正确；对于D选项，，当成立，故最小值为6，故D错误.故选：AC.12. 一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“完美区间”.下列结论正确的是(    )A. 若为的“完美区间”，则B. 函数存在“完美区间”C. 二次函数存在“2倍美好区间”D. 函数存在“完美区间”，则实数m的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误.【详解】对于A，因为函数的对称轴为，故函数在上单增，所以其值域为，又因为为的完美区间，所以，解得或，因为，所以，A错误；对于B，函数在和都单调递减，假设函数存在完美区间，则，即a，b互倒数且，故函数存在完美区间，B正确；对于C，若存在“2倍美好区间”，则设定义域为，值域为当时，易得在区间上单调递减，，两式相减，得，代入方程组解得，，C正确.对于D，的定义域为，假设函数存在“完美区间”，若，由函数在内单调递减，则，解得；若，由函数在内单调递增，则，即在有两解a，b，得，故实数m的取值范围为，D正确.故选：BCD.【点睛】抓住“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，在已知单调性的前提下，即可通过分析函数在区间端点处a，b的取值，列出方程组.非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 计算：__________.【答案】【解析】【分析】根据指数运算法则，直接求解即可.【详解】故答案为：.14. 秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒.如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量()与时间()()成正比；药物释放完毕后，与t的函数关系式为(为常数，)，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到()以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前__________小时进行消毒工作.【答案】1【解析】【分析】根据题意求出参数a，当时,令，解不等式即可.【详解】由图中一次函数图象可得，图象中线段所在直线的方程为，又点在曲线上，所以，解得，因此含药量与时间 之间的函数关系式为，当时，令，即，即，解得故答案：1.15. 已知定义在R上的函数满足，若与的交点为，，则___________.【答案】10【解析】【分析】根据对称性可得图象的对称轴为直线，同样可得，则函数的图象也关于直线对称，故与的交点也满足对称性，即可得的值.【详解】解：由，得图象的对称轴为直线，又，即，所以函数的图象也关于直线对称，如图函数和函数的图象的5个交点的横坐标关于直线对称，根据对称性可得
 故答案为：1016. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】根据不等式对和分类讨论，分别满足不等式对任意的恒成立，列式求解即可.【详解】解：①当时，由得到在上恒成立，显然a不存在；②当时，由，可设，由的大致图象，可得的大致图象，如图所示，由题意可知则，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为综上，的最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知.(1)当时，求不等式的解集；(2)若命题，使得为假命题.求实数a的取值范围.【答案】(1)或    (2)【解析】【分析】(1)按不含参的一元二次不等式求解；(2)转化为对恒成立问题求解，要注意讨论二次项系数是否为0.【小问1详解】当时，原不等式为，令得，， 又因为开口向上，所以不等式解集为或【小问2详解】 命题，使得为假命题，，恒成立为真命题即：对恒成立①当即时，恒成立，符合题意；②当即时，应满足，，综上所述：.18. 已知全集U为全体实数，集合，(1)在①，②，③这三个条件中选择一个合适的条件，使得，并求和；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)选条件③，或，    (2)【解析】【分析】(1)求出集合，再得出三个条件下集合，由，确定选条件③，然后由集合的运算法则计算；(2)根据必要不充分条件的定义求解．【小问1详解】由题知：集合，，时，，时，，时，，，需选条件③，此时，或，，【小问2详解】∵ “”是“”的必要不充分条件是B的真子集，∴且等号不同时取得，解得．19. 已知定义在R的奇函数，当时，(1)求的值；(2)求在R上的解析式；(3)若方程有且只有一个实数根，求实数m的取值范围.【答案】(1)    (2)    (3)【解析】【分析】(1)根据奇函数的性质即可代入求解，(2)根据奇函数的性质即可求解的解析式，进而可求上的解析式，(3)根据函数图象即可得交点个数，进而列不等式求解即可.【小问1详解】由于是奇函数，所以小问2详解】当,则，，由于是奇函数，所以，故当时，，因此【小问3详解】画出的图象如图1，进而可得的图象如图2，由图知：，解得或，即实数m的取值范围是20. 截至2022年10月，杭州地铁运营线路共12条.杭州地铁经历了从无到有，从单线到多线，从点到面，从面到网，形成网格化运营，分担了公交客流，缓解了城市交通压力，激发出城市新活力.已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔(单位：分钟)满足，经市场调研测算，列车的载客量与发车时间间隔t相关，当时，列车为满载状态，载客量为600人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为502人，记列车载客量为(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时的载客量；(2)若该线路每分钟净收益为(单位：元)，则当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.【答案】(1)，发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人    (2)当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为116元【解析】【分析】(1)由已知函数模型求出解析式，然后计算时的发车量；(2)由(1)的函数式求出该线路每分钟净收益，然后分段求最大值，一段利用基本不等式，一段利用函数的单调性求解后比较可得．【小问1详解】当时，当时，设而，，∴，，即发车时间间隔为5分钟时的载客量为550人.【小问2详解】当时当且仅当，即时等号成立.当时，单调递减，当时，取到最大为当发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟净收益最大，最大值为116元．21. 已知函数.(1)若为偶函数，求k的值并证明函数在上的单调性；(2)在(1)的条件下，若函数在区间上的最小值为，求实数m的值；(3)若为奇函数，不等式在上有解，求实数m的取值范围.【答案】(1)，证明见解析    (2)    (3)【解析】【分析】(１)根据偶函数可得，由单调性的定义即可证明单调性，(2)换元得二次函数，分类讨论即可求解最值，(3)换元，结合函数的单调性求最值即可求解.【小问1详解】由于为偶函数，代入得：：故，对，，当时，，，，，函数在上单调递增；【小问2详解】令，①当时，在单调递增，所以，解得：无解；②当时，，解得：，，综上所述：【小问3详解】为奇函数，，，又不等式在上有解，，由平方差和立方差公式得：，令，而在上单调递增，所以，22. 已知.(1)若在区间上不单调，求实数a的取值范围；(2)若在区间上的最大值为M，最小值为N，且的最小值为1，求实数a的值；(3)若对恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)    (2)    (3)【解析】【分析】(1)根据二次函数的性质即可根据对称轴与区间的关系进行求解，(2)根据二次函数的性质即可知当t与关于对称轴对称时，最小，(3)根据式子特征构造函数，分离参数，根据单调性求最值即可.【小问1详解】因为在区间上不单调，，【小问2详解】的对称轴为，要使达到最小，t与必关于对称轴对称，，①，代入化简得：，②由①②解得：【小问3详解】方法一，，令，，而为偶函数，且在单调递增，对恒成立，参变量分离得：，令，，，当时，的最小值为同理：，的最大值为，综上所述：方法二：，，令，，而为偶函数，且在单调递增，对恒成立，，，且对恒成立，令，，解得：；令，当时，，；当时，，无解；当时，，，，综上所述：