江苏省南通市启东中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题及答案

2021-2022学年度江苏省启东中学高二第一学期期中考试

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1. 等差数列为递增数列，为其前项和，已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.

【详解】设数列的公差为，由，，得：，解得：，又因为数列递增，所以，，所以．

故选：A．

2. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为(    )

A. 1 B.  C. 2 D. 3

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线方程知，结合椭圆方程及共焦点有且，即可求值.

【详解】由双曲线知：且，

而其与椭圆有相同焦点，

∴且，解得，

故选：A

3. 已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是

A. 1 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．

【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，

∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，

则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8

∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．

当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，

此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，

解得b，

故选D．

【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．

4. 已知数列前项和为且 为非零常数则下列结论中正确的是(    )

A. 数列不是等比数列 B. 时

C. 当时， D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据，利用数列通项和前n项和的关系求解，再逐项判断.

【详解】解：因为，

所以，当时，，

两式相减得，又，

所以数列是以p为首项，以为公比的等比数列，故A错误；

当时，，故B错误；

当时，，所以，故C正确；

由得，故D错误，

故选：C

5. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为(　  　)

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为，得到，进而可求出结果.

【详解】由双曲线的方程可得：右顶点为：，

设所求抛物线方程为：，

因为其以为焦点，所以，因此；

故抛物线方程为：.

故选：A

【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.

6. 给出下列说法：

①方程表示一个圆；

②若，则方程表示焦点在轴上的椭圆；

③已知点、，若，则动点的轨迹是双曲线的右支；

④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.

其中正确说法的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；

对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；

对于③，根据双曲线的定义，可得答案；

对于④，根据抛物线定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.

【详解】方程即不表示圆，故①错；

若m>n>0，则方程，即，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；

已知点、，若，所以动点P的轨迹是一条射线，故③错；

设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M,由抛物线的定义可得即为AB两点到准线的距离和，即为M点到准线距离的两倍，所以以AB为直径的圆与准线相切，故④对；

故选：B.

7. 以下四个命题表述错误的是(    )

A. 圆上有且仅有个点到直线的距离都等于

B. 曲线与曲线，恰有四条公切线，则实数的取值范围为

C. 已知圆，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为

D. 已知圆，点为直线 上一动点，过点向圆引两条切线，，为切点，则直线经过点

【答案】B

【解析】

【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 为直线上一点，求出切线的方程即可判断．

【详解】解：选项A：圆的圆心为 ，半径 ，

所以圆心到直线的距离，

所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，

故选项A正确；

选项B：方程可化为，故曲线 表示圆心为，半径 的圆，

方程可化为，

因为圆 与曲线 有四条公切线，

所以曲线也为圆，且圆心为 ，半径  ，

同时两圆的位置关系为外离，有 ，即 ，

解得，故B错误；

选项C：圆的圆心 ，半径 ，

圆心到直线的距离，

所以直线与圆相离，由切线的性质知， 为直角三角形， ，当且仅当 与直线垂直时等号成立，所以 的最小值为，故选项C正确；

选项D：设点为直线上一点，则以，为直径的圆的方程为，即：，两圆的方程相减得到直线方程为，即，

所以直线过定点，D正确．

故选：B．

8. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若，且，则解下个环所需的最少移动次数为(    )

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据数列的递推公式逐项计算可得出，即为所求.

【详解】数列满足．且，

所以，，，，.

所以解下个环所需的最少移动次数为．

故选：C．

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)

9. 下列四个命题中，假命题的是(    )

A. 要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点

B. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点

C. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点

D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率

【答案】CD

【解析】

【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．

【详解】A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；

B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；

C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；

D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确．

故选：CD．

10. 已知抛物线的焦点为，过点任作一直线交抛物线于，两点，点关于轴的对称点为，直线为抛物线的准线，则(    )

A. 以线段为直径的圆与直线相离

B. 的最小值为

C. 为定值

D. 当，不重合时，直线，轴，直线三线交于同一点

【答案】ABCD

【解析】

【分析】设出点的坐标和、的方程，方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．

【详解】解：设为线段的中点，则点到准线的距离为，

于是以线段为直径的圆与直线一定相切，进而与直线一定相离，A正确；

设，，直线方程为，

联立直线与抛物线方程可得，，则，．

于是，

当时，有最小值为，B正确；

由，，

得为定值，故C对；

，则直线的方程为，

令，得

即与轴的交点为，恰为准线与轴的交点，故D正确．

故选：ABCD．

11. 已知等差数列的首项为1，公差，前n项和为，则下列结论成立的有

A. 数列的前10项和为100

B. 若成等比数列，则

C. 若，则n的最小值为6

D. 若，则的最小值为

【答案】AB

【解析】

【分析】

由已知可得:,,,则数列为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 ,通过裂项求和可求得;由等差的性质可知利用基本不等式可验证选项D错误.

【详解】由已知可得:,,

,则数列为等差数列,则前10项和为.所以A正确;

成等比数列,则,即,解得故B正确;

因为所以,解得,故的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知,所以,当且仅当时,即时取等号,因为,所以不成立,故选项D错误.

故选:AB

【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.

12. 已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则(    )

A. 双曲线的实轴长为

B. 双曲线的离心率

C. 点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则

D. 直线与交于、两点，点为弦的中点，若(为坐标原点)的斜率为，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用双曲线的渐近线与圆相切求出的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点，则，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.

【详解】解：由题意知的渐近线方程为，所以，因为，则，

所以双曲线的实轴长为，故A错误；

，所以，故B正确；

设，则，，故C正确；

设、，则，两式作差得，

所以，，D对.

故选：BCD.

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13. 已知数列的前项和为，且满足，，则 ____．

【答案】.

【解析】

【分析】利用求解即可.

【详解】当时可得，

当时，由，得，

两式做差可得，

因为，

所以数列是从第二项开始，以3为公比的等比数列，

所以

故答案为：

14. 过点与圆相切的直线方程为______.

【答案】或

【解析】

【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案．

【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；

②、所求直线的斜率存在，设其方程为，即，

要求直线与圆相切，则有，解可得，

此时要求直线的方程为：，

综上可得：所求直线的方程为：或

故答案为或

【点睛】本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．

15. 过抛物线C：的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____．

【答案】32

【解析】

【分析】设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出，同理得出，由面积公式结合基本不等式可得出四边形面积的最小值．

【详解】如下图所示，显然焦点的坐标为，所以，可设直线的方程为，

将直线的方程代入抛物线的方程并整理得

，

所以，，所以，，

同理可得，

由基本不等式可知，四边形的面积为

．

当且仅当时，等号成立，因此，四边形的面积的最小值为32．

【点睛】

本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．

16. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则______；周长的取值范围为______．

【答案】    ①. 2    ②.

【解析】

【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.

【详解】如图所示：

由，解得，

∴

由，解得，

所以

由，解得，

所以，

由抛物线的定义得：

∴，

∴周长，

，

.

，

故答案为：2，．

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17. 已知各项均为正数的等比数列满足，，数列的前n项和为Sn，且，，N．

(1)求数列的通项公式；

(2)证明数列是等差数列，并求数列的前n项和Tn．

【答案】(1)；(2)证明见解析，

【解析】

【分析】

(1)由和分别表示出等式中的、、和，解方程组求出和，再由等比数列的通项公式表示出即可；

(2)时，求出，时，由和的关系得到，进而求出，用定义证明数列是等差数列即可，分别求出数列和的前项和，从而求出.

【详解】(1)由题意，设等比数列的公比为，

，

所以.

(2)由题意，当时，，又，所以，

当时，，

所以，

所以，

又，所以，，所以，

所以，，

所以数列是以首项为，公差为的等差数列，

数列的前项和为，

数列的前项和为，

所以数列的前项和.

【点睛】本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题.

18. 如图，圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B.

(1)若，求切线所在直线方程；

(2)求的最小值；

【答案】(1)切线方程为，(2)

【解析】

【分析】(1)设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；

(2)将弦长构造成角度的函数，求函数的最小值即可.

【详解】(1)由题意，切线斜率存在，

可设切线方程为，

即，

则圆心M到切线的距离，

解得或，

故所求切线方程为，；

(2)连接，交于点N，

设，

则，

在中，，

因为，

，

，

.

故的最小值为.

【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.

19. 在①离心率为，且经过点；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数，且焦距为这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线存在，求出的方程；若问题中的直线不存在，说明理由.

问题：已知曲线：的焦点在轴上，______，是否存在过点的直线，与曲线交于，两点，且为线段的中点？

注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】答案见解析

【解析】

【分析】选条件：可得曲线为焦点在轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；

选条件：可得曲线为焦点在轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.

【详解】选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的双曲线，

设，，所以的方程为，

由题设得，解得，，

所以的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，与曲线有且仅有一个交点，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即，

代入得，

若，即时，方程有且仅有一解，不符合题意；

若，即时，其判别式，则，

所以方程有两个不同实数解时，，

于是，解得，与且矛盾，

所以，不存在直线，与曲线交于，两点，且为线段中点．

选条件：由题设得曲线为焦点在轴上的椭圆，

设，，所以的方程为，

由题设得，解得，，

所以的方程为，

当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得，不是线段的中点，不符合题意；

当直线的斜率存在时，设，，直线的方程为，即，

代入得，

其判别式，

于，解得，

故，即，

所以存在直线：，与曲线交于，两点，且为线段的中点．

【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

20. 已知数列的前项和是，数列的前项和是，若，，．再从三个条件：①；②，；③，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．

(1)求数列的通项公式；

(2)定义：．记，求数列的前项的和．

【答案】选择见解析；(1)；(2)．

【解析】

【分析】(1)根据已知条件可知数列是公比为的等比数列，根据求出的值，可求得等比数列的通项公式.

选①，由可求得数列的通项公式；

选②，推导出数列是公差为的等差数列，结合可求得数列的通项公式；

选③，由的通项公式结合对数运算可得出数列的通项公式；

(2)求出数列的表达式，进而可求得的值.

【详解】(1)由已知得，为等比数列，公比为，则，

，所以，.

选择①，当时，，

当时，.

满足，所以，；

选择②，，即，

所以是首项为，公差为的等差数列，；

选择③，；

(2)，，，，

当且时，令，

则数列为单调递增数列，且，即.

所以，，

所以，

．

【点睛】方法点睛：已知求：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项，可用公式求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.

21. 已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大.

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)过点的直线与相交于，两点，在轴上是否存在点使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)   

(2)存在，

【解析】

【分析】(1)由动点到点的距离比到轴的距离大，可得点到的距离等于到直线的距离，从而可得点的轨迹为以为焦点的抛物线，即可求得轨迹的方程；(2)设，，，直线，代入可得，由根与系数的关系可得，，由，可得，计算可求得的值，即可得结论．

【小问1详解】

动点到定点的距离比到轴的距离大，

又，到的距离等于到直线的距离，

动点的轨迹为以为焦点的抛物线，

轨迹的方程；

【小问2详解】

设，，，

直线过点，

设直线方程：，

代入，  可得，显然，

则，，

得

又，

得

，即 

故在轴上存在点使得

22. 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点，直线、的倾斜角互补．直线与轴正半轴相交，分别记交点为．

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若的面积为，求直线的方程；

(3)若与双曲线的左、右两支分别交于，求的范围．

【答案】(1)；(2)；(3)．

【解析】

【分析】(1)解方程即得椭圆方程和双曲线的方程；

(2)联立直线和椭圆方程求出点坐标，即得，设，根据的面积为求出的值即得解；

(3)先求出，再根据的范围求解.

【详解】【解】(1)由题得，所以椭圆的方程为

等轴双曲线的方程为.

(2)

消去得：

因为，所以，并求出

将换成，得：，则可得

设

，消去得：

，所以得：

则，，

，解得：

即

(3)，消去得：

，则

，

则的取值范围为．