辽宁省实验中学2023-2024学年高一数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期第一次月考

高一数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 命题“”的否定是

A.  B.

C.  D.

3. 王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ）

A. 充分条件 B. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件 D. 必要条件

4. 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（    ）

A. 17 B. －1 C. 17或－1 D. －17或1

5. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（    ）

A  B.  C.  D.

7. 已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ）

A 18 B. 12 C. 9 D. 16

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 使，成立的充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则一定有

12. 若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. .

C. 的最小值为1 D. 的最小值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，若，则实数_________.

14. 已知关于方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________.

15. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为_________.

16. 设，若时均有，则_________.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，．

（1）求集合和；

（2）若全集，求．

18. （1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；

（2）求证：.

19. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.

（1）若，求值；

（2）求的最大值.

20. 第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕，为了保障交通安全畅通，杭州交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？

（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？

21. 已知，且.

（1）求最小值；

（2）求的最小值.

22. 已知不等式的解集为.

（1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；

（2）解关于的不等式：.

辽宁省实验中学2023—2024学年度上学期第一次月考

高一数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由交集定义求解即可.

【详解】因为集合，，

则.

故选：B.

2. 命题“”的否定是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.

【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.

故选A.

【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.

3. 王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（    ）

A. 充分条件 B. 既不充分也不必要条件

C. 充要条件 D. 必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】根据充分、必要条件的定义及题意即可判断.

【详解】由题意，“有志”不一定“能至”，但是“能至”一定“有志”，

所以“有志”是“能至”的必要条件.

故选：D

4. 已知关于的方程有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21.则实数的值是（    ）

A. 17 B. －1 C. 17或－1 D. －17或1

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，用韦达定理表示出，结合方程有两实根条件，把问题转化为含参数的方程来解即可.

【详解】设方程的两个实根分别为，则.

由方程的这两个实数根的平方和比两个根的积大21得：，

，

解得：或，

又方程有两个实数根，

，得，

故选：B

5. 已知集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解两个集合中的分式不等式和绝对值不等式，得到这两个集合，再求并集.

【详解】不等式等价于或，

解得或，则或，

不等式等价于或，解得或，

则或，

所以.

故选：D

6. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如，.则满足不等式解集是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，结合高斯函数的定义即可得到结果.

【详解】因为，所以，

因为表示不超过的最大整数，所以，

故不等式解集是.

故选：B

7. 已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据已知条件得到，设得到，再利用基本不等式性质求解即可.

【详解】因为正实数满足，所以，

因为，所以，即.

设，

所以，

当且仅当，即时取等号.

所以的最小值为.

故选：C

8. 已知函数的最小值为0，若关于的不等式的解集为，则实数的值为（    ）

A. 18 B. 12 C. 9 D. 16

【答案】C

【解析】

【分析】由二次函数的最小值得到，结合韦达定理表达出，从而求出答案.

【详解】因为的最小值为0，故，即，

由题意得与是的两个根，设，，

由韦达定理得，

因为，所以，

将代入上式得，解得.

故选：C

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 已知集合，集合，下列关系正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】由两个集合中元素的特征，判断两个集合的关系和元素与集合的关系.

【详解】点在函数图像上，有，A选项正确；

集合A为数集，集合B为点集，，B选项错误；

函数的值域为，则，，C选项正确；

集合B为点集，，D选项错误.

故选：AC.

10. 使，成立的充分不必要条件可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据集合的包含关系，结合各选项一一判断即可.

【详解】由可得的集合是，

A.由，所以是成立的一个必要不充分条件；

B.由，所以是成立的一个充分不必要条件；

C.由=，所以是成立的一个充要条件；

D.由，所以是成立的一个充分不必要条件；

故选：BD.

11. 生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖且，若再添加c克糖后，糖水会更甜，于是得出一个不等式：趣称之为“糖水不等式”．根据生活经验和不等式的性质判断下列命题一定正确的是（    ）

A. 若，，则与的大小关系随m的变化而变化

B. 若，，则

C. 若，，则

D. 若，，则一定有

【答案】BCD

【解析】

【分析】由作差法可判断ABC，由不等式的性质可判断D

【详解】对于A，，，

，，故A错误，

对于B，，，

，，故B正确，

对于C，，，

，，

，

，故C正确，

对于D，，，

，，

，故D正确，

故选：BCD

12. 若正实数满足，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最大值为 B. .

C. 的最小值为1 D. 的最小值为

【答案】BD

【解析】

【分析】对于ABC：利用基本不等式分析判断；对于D：根据进行代换，结合二次函数分析判断.

【详解】因为为正实数，且，

对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最大值为1，故A错误；

对于选项B：因为，

当且仅当，即时，等号成立，

且，可得，故B正确；

对于选项C：因为，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为2，故C错误；

对于选项D：因为，则，可得，

则，当且仅当时，等号成立，

所以的最小值为，故D正确；

故选：BD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知集合，若，则实数_________.

【答案】

【解析】

【分析】利用元素和集合的关系、集合的性质分析运算即可得解.

【详解】解：由题意，∵集合，

∴由集合中元素的互异性可知：，可得：且.

又∵，

∴或，解得：或（舍去）.

综上知，实数.

故答案为：.

14. 已知关于的方程组的解都为正数，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】先把不等式组解出，再根据解为正数列关于a的不等式组解出即可;

【详解】解这个方程组的解为：，

由题意，得，

则原不等式组的解集为.

故答案为：.

15. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为_________.

【答案】48

【解析】

【分析】利用基本不等式求得正确答案.

【详解】依题意，

所以

，

当且仅当时等号成立.

故答案为： 48.

16. 设，若时均有，则_________.

【答案】##0.75

【解析】

【分析】分和两种情况讨论，结合函数图象，列出方程求解，即可确定的取值.

【详解】①当时，，显然不满足题意；

②当时，构造函数，，

它们都经过定点，

考查函数，令，得，所以，

考查函数，显然过点，代入得，

解得，或（舍去），

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，，．

（1）求集合和；

（2）若全集，求．

【答案】（1），   

（2）或

【解析】

【分析】（1）利用分式不等式和绝对值不等式解法可分别求出集合、；

（2）求出集合，利用并集和补集的定义可求得集合.

【小问1详解】

解：，.

【小问2详解】

解：因为或，或，

因此，或.

18. （1）已知，其中为实数，求证：中至少有一个为正数；

（2）求证：.

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用反证法，即可得到本题答案；

（2）利用作差法，即可得到本题答案.

【详解】（1）（反证法）

假设中没有正数，即，则.

而

这与三个数没有正数矛盾，

故假设错误，原命题正确；

（2）

（当且仅当时取等号）

19. 设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根.

（1）若，求的值；

（2）求的最大值.

【答案】（1）   

（2）10

【解析】

【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理和已知条件求的值；

（2）利用韦达定理化简算式，配方法求最大值.

【小问1详解】

方程有两个不相等实数根，

则有，解得，

结合题意知：，

，

或，

又，所以.

【小问2详解】

，

由，所以当时，取最大值为10.

20. 第19届亚运会于2023年9月23日拉开帷幕，为了保障交通安全畅通，杭州交通部门经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为.

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量是多少？

（2）若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围？

【答案】（1）35千米/时，12千辆/时   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式即可得解；

（2）解不等式即可.

【小问1详解】

因为，所以，

当且仅当，即时等号“=”成立，

故当汽车的平均速度为35千米/时时，车流量最大，最大车流量是12千辆/时；

【小问2详解】

由及，

可得，即，解得，

即汽车的平均速度应在这个范围内.

21. 已知，且.

（1）求的最小值；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由不等式“1”的代换求解即可；

（2）设，将所求式转化为，化简结合基本不等式即可得出答案.

【小问1详解】

因为，

所以，

当且仅当，且，即时等号成立，

则的最小值为

【小问2详解】

设，则且

当且仅当，且，即时等号成立，

即时等号成立，

则的最小值为.

22. 已知不等式的解集为.

（1）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围；

（2）解关于的不等式：.

【答案】（1）   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）由已知结合二次函数性质及二次不等式的恒成立可求；

（2）结合含参二次不等式的求法对进行分类讨论即可求解.

【小问1详解】

因为，原不等式等价于恒成立，

且的解集为，故方程的2个根为2，3，

故由韦达定理，所以，

所以恒成立，

可得恒成立，所以，解得，

则，即，故，

所以，因为不等式有且仅有9个整数解，故，解得，

所以的取值范围为；

【小问2详解】

1、当时，由（1）得时，，

故，即：，

①当时，原不等式解集为；

②当时，原不等式解集为；

③当时，原不等式解集为.

2、当时，原不等式等价于恒成立，且的解集为，

由韦达定理：，所以，则恒成立，即恒成立，所以，

解得，又，

该不等式解集为，

3、当时，，则无解.

4、当时，，则.

综上：当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；

当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为.