四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题（10月）（Word版附解析）

嘉陵一中高2022级高二上期第一次月考

数  学  试  题

命题人：  考试时间：120分钟    满分：150分

一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）

1．若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面半径为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知平面α的一个法向量是，，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（    ）

A．  B．C． D．

3．若直线不平行于平面，且，则下列说法正确的是（    ）

A．内存在一条直线与平行 B．内不存在与平行的直线

C．内所有直线与异面 D．内所有直线与相交

4．水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图是直角梯形，如图所示．其中，则原平面图形的面积为（    ）

A． B． C．          D．

5．已知是直线，、是两个不同平面，下列命题中是真命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

6． ，，若，则实数值为（    ）

A． B． C． D．

7． 已知向量为平面α的一个法向量，为一条直线l的方向向量，则∥是l⊥α的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．如图所示，一个棱长为的正四面体，沿棱的四等分点作平行于底面的截面，截去四个全等的棱长为的正四面体，得到截角四面体，则该截角四面体的体积为（    ）

A．4 B． 

C．5                              D． 

二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，部分选对得2分，选错得0分）

9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ）

A．若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则∥

B．若非零向量，，满足，，则有∥

C．若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面

D．若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底

10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中下列命题中，正确的有（  ）

A． 平面 B．平面

C．平面平面 D．平面平面

11．如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则（     ）

A．三棱锥的直度的最大值为1      B．直度为的三棱锥只有一种

C．四棱锥的直度的最大值为1      D．四棱锥的直度的最大值为

12．正方体中，，点在线段上运动，点在线段上运动，则下列说法中正确的有（    ）

A．三棱锥的体积为定值

B．线段长度的最小值为2

C．当为的中点时，三棱锥的外接球表面积为

D．平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形､五边形

三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量，，且，那么等于       . 

14．如右图，M是三棱锥的底面的重心．若，则      ．

15．已知三棱锥中，平面BCD，，， ，则三棱锥的外接球的表面积为     .

16．如右图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是        ．

四、解答题（共6小题，17小题10分，其余各小题12分，共70分）

17．已知圆锥的轴截面是一个底边长为8?m，腰长为5?m的等腰三角形，求：

(1)圆锥的表面积；

(2)圆锥的体积.

18．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点．求证：

(1)；

(2) 平面.

19．如图，在四棱锥中，//平面PAD，，，，点N是AD的中点．求证：

(1)//；

(2)求异面直线PA与NC所成角余弦值．

20．如图，在三棱锥中，，．

(1)求二面角的余弦值；

(2)求三棱锥的体积．

21．如图，在正方体中，点E､F分别为棱､的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.

(1)证明：直线∥平面；

(2)证明：.

22．用文具盒中的两块直角三角板(直角三角形和直角三角形)绕着公共斜边翻折成二面角，如图和，，，，，将翻折到，使，为边上的点，且. 

(1)证明： 平面平面；

(2)求直线与平面所成角的大小.

嘉陵一中高2022级高二上期第一次月考

数学试题参考答案

1．C

【分析】设底面半径为r，利用轴截面的面积列方程求出r的值.

【详解】设底面半径为r．因为轴截面是等腰直角三角形，所以圆锥的高也是r．

据题意得，解得．

故选：C.

2．D

【分析】两个平面平行，其法向量也平行，即可判断各选项.

【详解】平面α的一个法向量是，，

设平面的法向量为，

则，

对比四个选项可知，只有D符合要求，

故选：D.

【点睛】本题考查了平面法向量的性质，两个平面法向量的关系，空间向量平行的坐标关系，属于基础题.

3．B

【分析】根据线面位置关系逐一分析即可.

【详解】若内存在一条直线与平行，则由和线面平行判定定理可知，与已知矛盾，故内不存在直线与平行，A错误，B正确；

记，当内直线a过点A，则与a相交，C错误；

当内直线b不过点A，则与b异面，D错误.

故选：B

4．C

【分析】根据斜二测画法的图形性质可得原图形的形状，进而可得面积.

【详解】由直角梯形中，且，作于，

则四边形为正方形，为等腰直角三角形，故，.

故原图为直角梯形，且上底，高，下底.其面积为.

故选：C

5．C

【分析】根据线面平行的性质及面面位置关系判断A，由线面平行的性质及面面垂直的性质判断B，由线面平行的性质及线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理判断C，由线面平行的性质和面面平行的性质判断D.

【详解】对于A，若，，则或，错误；

对于B，若，，则或或与相交（含），错误；

对于C，若且，则存在过的平面，有，于是，所以，正确；

对于D，若，，则或，错误.

故选：C.

6．A

【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解．

【详解】，又，，解得．

故选：A．

7．C

【分析】根据题意及充分条件与必要条件的概念判断．

【详解】向量为平面α的一个法向量，为一条直线l的方向向量，

若∥，则向量为平面α的一个法向量，l⊥α，充分性成立；

若l⊥α，则向量为平面α的一个法向量，∥，必要性成立，

则∥是l⊥α的充要条件．

故选：C．

8．D

【分析】先计算出棱长为的正四面体的体积，然后计算出棱长为的正四面体的体积，由此可求截角四面体的体积.

【详解】如图所示正四面体的棱长为，所以，所以，

所以此正四面体的体积为，

同理可计算出棱长为的正四面体的体积为，

所以截角四面体的体积为：，

故选：D.

9．ACD

【分析】根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断即可

【详解】对于A，若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则可得向量，是共线向量，即∥，所以A正确，

对于B，若非零向量，，满足，，则向量与不能确定，可能平行，所以B错误，

对于C，若，，是空间的一组基底，且，则由空间向量基本定理可得，，，四点共面，所以C正确，

对于D，因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使，所以向量，，也是空间一组基底，所以D正确，

故选：ACD

10．CD

【分析】将展开图还原为立体图，即可根据线面关系，结合线面平行以及面面平行的判断求解.

【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体．

在正方体中，连接，如图②所示．

易知与平面有公共点与平面有公共点，所以AB错误；

如图③所示，连接，

由于平面,平面,所以平面，

同理可得平面，平面,

则平面平面，

同理可证平面平面，所以CD正确．

故选：CD

11．AD

【分析】借助于正方体模型，一一判断各选项，即得答案.

【详解】如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥的四个面都是直角三角形，

其直度为1，A正确；

图1中三棱锥，三个面都是直角三角形，

面为正三角形，其直度为；

图2中三棱锥，三个面都是直角三角形，

面为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误；

四棱锥的共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；

图3中的四棱锥的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，

故四棱锥的直度的最大值为，D正确，

故选：AD

12．AB

【分析】根据线面平行的判定可得A的正误，根据两个动点的特征可判断B的正误，可证明的中点即为三棱锥的外接球的球心，从而可判断C的正误，作出平面与正方体的截面，从而可判断D的正误.

【详解】

如图，由正方体可得

故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，

故平面，∴上任一点到平面距离为定值，

即到平面距离为定值，而面积为定值，∴故为定值，A对.

，B对.

∵底面为等腰直角三角形，且边长为2，∴外接圆半径为，

∵三棱锥的高为，

如图，取的中点为，连接，则，

故，故为三棱锥的外接球的球心，

且半径为，故表面积为，故C不对.

如下图所示：平面截该正方体所得截面可能为三角形､四边形，不可能为五边形，故D错.

故选：AB.

13．-4

【分析】根据向量平行，可求出,即可求解.

【详解】

,即 ，解得 ，.

【点睛】本题主要考查了向量平行及向量的坐标运算，属于中档题.

14．1

【分析】方法一：根据三角形重心的性质结合空间向量基本定理求解即可，方法二：利用空间向量共面定理的推论求解.

【详解】方法一：由于M是三棱锥的底面的重心，连接AM，

所以，

则，

所以．

方法二：因为M与A，B，C四点共面，所以．

故答案为：1

15．

【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理得，取的中点E，可得，三棱锥的外接球的球心即为点，求出，再求球的表面积可得答案.

【详解】因为平面BCD，平面，所以，

因为，，所以，即，

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以，取的中点，连接，

可得，

所以三棱锥的外接球的球心即为点，外接球的半径为，

由得，

则三棱锥的外接球的表面积为.

故答案为：.

16．

【分析】取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围.

【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，

根据正方体的性质可得，平面，平面，

所以平面，

同理可证平面，

，平面，所以平面平面，

又平面平面，且平面，平面，

点是侧面上的动点，所以在线段上，

又，所以，，，

所以，则，

所以线段长度的取值范围是.

故答案为：

17．；.

【分析】根据题意，求得圆锥的底面半径为，母线长为，高为，结合圆锥的表面积和体积公式，即可求解.

【详解】如图所示，可得，，

设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，则，可得，

所以该圆锥的表面积为，

圆锥的体积为.

18．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据空间向量法证明两个向量垂直.

（2）利用空间向量法结合线面平行的判定定理得出结果.

【详解】（1）∵直三棱柱ABC­A1B1C1，，

因为，所以.

∴两两垂直．

如图，以C为坐标原点，直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，

，

，.

（2）设与的交点为E，则.

，

，

.

平面.

平面，

∴ 平面.

19．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；

（2）由线线平行，以及异面直线所成角的定义即可求解平面角，由余弦定理即可求解.

【详解】（1）在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，

平面ABCD∩平面PAD＝AD，

∴BC∥AD，

（2）由于点N是AD的中点，BC∥AD，，所以,故四边形为平行四边形，则 ,

故或其补角即为异面直线PA与NC所成角，

在中，,

故异面直线PA与NC所成角的余弦值为

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用二面角得定义即可求出结果；

（2）根据，再利用三棱锥体积公式即可求出结果.

【详解】（1）  

取的中点，连结，，

∵，，

∴，，

∴为二面角的平面角，

在中，，，

∴，

∴二面角的余弦值为．

（2）由（1）得，，，

平面，平面，

∴平面

∵ ，

∴.

21．(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）建系，利用空间向量可得∥，再结合线面平行的判定定理分析证明；

（2）由空间向量的坐标运算可得，进而可得结果.

【详解】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，

可得，可知，

则∥，且平面，平面，所以∥平面.

（2）设，则，可得，

由（1）可知：，

因为，所以.

22．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明平面；

（2）首先证明平面，再以的中点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解.

【详解】（1）由已知，又三角形为等腰直角三角形，

，又，所以，

，又，平面

∴平面，又平面，

∴ 平面平面.

（2）取BC中点F，连接，

中，，，，

所以，则，，

中，，根据余弦定理可知，，

所以，即，

由（1）可知， 平面平面.，且平面平面，

且平面，所以平面

中，,,，

根据余弦定理可知，

中，，所以，

以分别为轴的正方向，过点作轴，轴平行于，建立空间直角坐标系，

则，， ，

故，，，

设平面的法向量，则，则，

令，则，即，

设直线与平面所成角为，，

则

所以直线与平面所成角的为.