（苏教版2019）2023-2024学年高二数学上学期 第一次月考卷.zip

2023-2024学年高二数学上学期第一次月考

A卷·基础知识达标测

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章、第二章、第三章（苏教版2019选择性必修第一册）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线的倾斜角是                                            （    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】D

【解析】依题意，直线的斜率为，设直线的倾斜角为

（），则，对应的倾斜角为．故选D．

2．过点且平行于直线的直线方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因所求直线平行于直线，所以所求直线斜率等于，由点斜式得整理得．故选A．

3．直线和互相垂直，则的值是（　　）

A． B．0 C．1或 D．0或1

【答案】C

【解析】直线和互相垂直，有，解得或．故选C．

4．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是（   ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【解析】由题意得圆心为，半径为．圆心到直线的距离为，

由直线与圆有公共点可得，即，解得．∴实数a取值范围是．故选C．

5．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A．  B． 4 C．  D．

【答案】A

【解析】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，所以点到直线的距离为，所以，直线被圆截得的弦长为．

故选A．

6．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，现以为圆心作一个圆恰好经过椭圆的中心并且交椭圆于点，．若过点的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】A

【解析】因为过点的直线圆的切线，，，所以．

由椭圆定义可得，可得椭圆的离心率．故选A．

7．若双曲线的一条渐近线与圆交于点，两点，则的值为（   ）

A．  B． 1 C．  D． 2

【答案】D

【解析】双曲线的一条渐近线为，在圆中，圆心，半径．圆心到渐近线的距离，由垂径定理得．故选D．

8．瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点，其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是（    ）

A． （） B． （） C． （） D． （）

【答案】A

【解析】因为，故的斜率，又的中点坐标为，

故的垂直平分线的方程为，即，故△的外心坐标即为与的交点，即，不妨设点，则，即；又△的重心的坐标为，其满足，

即，也即，将其代入，

可得，，解得或，对应或，

即或，因为与点重合，故舍去．故点的坐标为．故选A．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有（    ）

A．若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限

B．直线过定点

C．过点斜率为的点斜式方程为

D．斜率为，在y轴截距为3的直线方程为．

【答案】ABC

【解析】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，

故点在第二象限，所以A正确；

对于B中，由直线方程，整理得，所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确；

对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；

由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，所以D错误．

故选ABC．

10．圆与圆交于两点，若，则实数的可能取值有（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】BCD

【解析】因为圆与圆交于两点，所以两圆方程相减得直线的方程：，

由，可得圆心到直线的距离为 ，

，整理得，

时，满足上式，不满足上式．故选BCD．

11．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则实数的取值可以是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】CD

【解析】圆方程可化为：，则圆心，半径；

由圆方程知：圆心，半径；圆与圆有且仅有两条公切线，两圆相交，

又两圆圆心距，，即，解得：或，

可知CD中的的取值满足题意．故选CD．

12．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ）

A． 当时，曲线C是椭圆

B． 当或时，曲线C是双曲线

C． 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则

D． 若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则

【答案】BC

【解析】当曲线C是椭圆时，解得或，故A错误；

当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确；

若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得，故C正确；

若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则，解得，故D错误．故选BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若过两点，的直线的斜率为12，则直线的方程为________．

【答案】．

【解析】因为直线经过两点、且直线的斜率是，所以，解得．所以点的坐标为，所以直线的方程为，化简可得．故答案为：．

14．已知圆C经过两点，圆心在轴上，则C的方程为__________．

【答案】．

【解析】由圆的几何性质得，圆心在的垂直平分线上,结合题意知，的垂直平分线为，令，得，故圆心坐标为，所以圆的半径，故圆的方程为．故答案为：．

15．已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为__________．

【答案】4

【解析】由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，可得，解得，抛物线的准线方程为，则点到其准线的距离为，到焦点的距离也为4．故答案为：4．

16．已知圆，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，若为锐角，则的取值范围是______．

【答案】

【解析】试题分析：由于圆心到直线的距离,当时,,所以,即,注意到,故,即．故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

在①它的倾斜角比直线的倾斜角小，②与直线垂直，③在轴上的截距为，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：已知直线l过点，且______，求直线l的方程．

【解析】选①，的斜率，故直线倾斜角为，

所以直线l的倾斜角为，（5分）

故直线l方程为：，即．（10分）

选②，与直线垂直，可设直线l方程为：，

又直线l过点，所以，解得，（5分）

故所求直线方程为．（10分）

选③，直线在轴上的截距为知，直线过点，又直线l过点，（5分）

故所求直线方程为，即．（10分）

18．（12分）

已知的三个顶点分别为，，．

（1）求边所在直线的方程；

（2）求边上的中线所在直线的方程．

【解析】（1）由两点式得边所在直线的方程为，（3分）

即；（5分）

（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），（8分）

由两点式，得所在直线的方程为，（10分）

即．（12分）

19．（12分）

在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，，经过这三个点的圆记为．

（1）求边的中线所在直线的一般式方程；

（2）求圆的一般方程．

【解析】（1）在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，，，设的中点为

所以，，则．（2分）

所以直线的斜率．（4分）

则直线的方程为：，整理成一般式为：．（6分）

（2）已知三个顶点坐标分别为，，，

经过这三个点的圆记为，设圆的方程为：，

则：，解得：，

所以圆的方程为．（12分）

20．（12分）

已知圆过点，，且圆心在直线上，圆．

（1）求圆的标准方程；

（2）求圆与圆的公共弦长；

（3）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程．

【解析】（1）设，则，

解得，圆，（2分）

即所求的标准方程为：．（4分）

（2）圆的一般方程为，

将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，

即

即，故到直线的距离为，（6分）

所以所求公共弦长为．（8分）

（3）设所求的圆的方程为：，

整理得到，该圆圆心为，

因为该圆心在直线，故，解得，（10分）

故所求圆的方程为．（12分）

21．（12分）

已知椭圆经过．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积．

【解析】（1）椭圆经过，

将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，，（4分）

即椭圆的方程为；（6分）

（2）记，，可设的方程为， （8分）

由，消去得，解得，（10分）

直线与轴交于点，则 ．（12分）

22．（12分）

已知三个顶点坐标分别为：，直线经过点．

（1）求外接圆的方程；

（2）若直线与相切，求直线的方程；

（3）若直线与相交于两点，且，求直线的方程．

【解析】（1）因为，

所以，所以，且，

所以三角形是等腰直角三角形，且为斜边，

因而圆的圆心为的中点，半径为，（4分）

所以圆的方程为．（6分）

（2）当直线斜率不存在时，显然不合题意．当直线的斜率存在时，

设，即，由题意知，解得或．

故直线的方程为或．（8分）

（3）当直线斜率不存在时，将代入，解得，

即，则，符合题意．

当直线斜率存在时，设，即，圆心到直线的距离为，

由

得，（10分）

解得，故，即．

所以直线的方程为或．（12分）