山东省德州市禹城市综合高中2023-2024学年高三数学上学期10月月考考试题（Word版附解析）

高三10月份月考数学试题

（满分150分  时间120分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据集合的特征求出集合，然后利用集合的运算即可求解.

【详解】集合或，

集合，

所以，则，

故选：.

2. 如图，在平行四边形中，为对角线的交点，为的中点，为的中点，若，则（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量的线性运算法则，求得,进而求得的值，进一步计算即可.

【详解】如图：

因为

,

所以

故选：

3. 设等比数列的公比为q，则是为单调递增数列的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】通过做差，结合充分条件、必要条件的定义判断即可

【详解】

若,则,则为单调递减数列

所以是为单调递增数列的不充分条件

若为单调递增数列,则,则

即或,所以故是为单调递增数列的不必要条件

故是为单调递增数列既不充分也不必要条件

故选：D

4. 已知向量，，向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据投影向量的定义计算即可.

详解】由题意易知，，

而在上的投影向量为：.

故选：B

5. 八卦是中国古老文化的深奥概念，如图示意太极八卦图．现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为O，则下列选项中不正确的是（    ）

A.  B.

C. 和是一对相反向量 D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解.

【详解】对于A中，由正八边形中，可得，

则，所以，即，

所以，所以A正确；

对于B中，由正八边形中，可得，，

则，

所以B正确；

对于C中，由和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，所以C错误；

对于D中，由，可得，

所以D正确.

故选：C.

6. 阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．深圳一高楼平安金融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移s（单位；cm）和时间t（单位：s）的函数关系式为，若振幅是2，图像上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则和的值分别为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先由振幅得到，再由最高点和最低点的距离为结合勾股定理可得，从而求得，再将代入即可求得，问题得解.

【详解】根据题意，由振幅是2易知，

故，则是的最高点，

不妨记相邻的最低点为，连接，过作轴，过作，交点为，如图，

则，，，故，得，

又因为，故，得，所以，

因为是的点，故，得，即，

因为，所以，

故，.

故选：A.

.

7. 已知定义在上的函数满足，且是偶函数，当时，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】根据是偶函数和得到是的一个周期，然后利用周期性求函数值即可.

【详解】因为是偶函数，所以，则，

因为，所以，则是的一个周期，

因为，所以，，

.

故选：C.

8. 已知，是方程的两根，且，，则的值为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

【答案】B

【解析】

【分析】由韦达定理得，即，得，再根据两角和的正切公式解决即可.

【详解】由题知，，是方程的两根，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以，

因为，

所以，

故选：B

二、多项选择题：

9. 已知函数则（    ）

A. 的最小正周期为

B. 在上单调递增

C. 直线是图象的一条对称轴

D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

【答案】BC

【解析】

【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的性质判断ABC，结合函数图象变换判断D.

【详解】可化为，

函数的最小正周期为，A错误；

当时，，

因为在上单调递增，

所以函数在上单调递增，B正确；

当时，，

所以直线是图象的一条对称轴，C正确；

函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，D错误.

故选：BC.

10. 已知定义在上的奇函数，，且当时，，则（    ）

A.

B. 有2个零点

C. 在上为减函数

D. 不等式的解集是

【答案】AD

【解析】

【分析】根据赋值法可判断A，根据奇函数的性质可判断CB,结合的性质得的图象，数形结合即可判断D.

【详解】在中，令，得，故A正确；

又为上的奇函数，，，∴至少有三个零点，故B错误；

设x1，，且，则，，

，

∴在上是增函数，由于为奇函数，∴在上也是增函数，故C错误：

由题意，画出的图象如图，

等价于 或，

由图可知不等式的解集为,故D正确.

故选:AD

11. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，点O是所在平面内一点，，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若在方向上的投影向量为，则的最小值为

C. 若点P为BC中点，则

D. 若，则为定值18

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于，根据向量加法的运算法则及三角函数的诱导公式化简计算；对于B，易知当时，取得最小值，计算可得；对于C，根据向量加法结合律律及平行四边形法则计算可得；对于D，根据向量数量积运算律计算即可.

【详解】解：如图，设BC的中点为E，连接QE，∵，由余弦定理可得：

，∴，∴，

又，∴，∴，∴，

对A选项，∵，∴，∴，又E为中点，

∴，又，∴，

∴，故A选项正确；

对B选项，∵在方向上的投影向量为，∴，又Q是AC的中点，P在BC上，∴当时，PQ最小，此时，故B选项错误；

对C选项，若点P为BC的中点，即P与E点重合，∵，∴，

∴，故C选项正确；

对D选项，∵，∴的平分线与BC垂直，

∴是以BC为底边的等腰三角形，∴，又由A选项分析知，

∴根据向量数量积的几何意义知，

∴，故D选项正确．

故选：ACD．

12. 已知函数，则（    ）

A. 当时，函数最小值为

B. 当时，函数的极大值点为

C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增

D. 若恒成立，则实数的取值范围为

【答案】AD

【解析】

【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D.

【详解】因为函数，则，其中，

当时，则，令，可得，

当时，，则函数单调递减，

当时，，则函数单调递增，

当时，有极小值，即最小值，故A正确；

当时，则，令，可得，

当时，，则函数单调递减，

当时，，则函数单调递增，

当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误；

假设存在实数使得函数在定义域上单调递增，

则在上恒成立，即在上恒成立，

所以在上恒成立，因为的值域为，

所以函数无最小值，

故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误；

若恒成立，即在上恒成立，

即在上恒成立，

令，则，令，则，

当时，，则函数单调递减，

当时，，则函数单调递增，

当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确；

故选：AD

三.填空题（共4小题）

13. 已知向量，则与夹角的大小为_____________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意可得，结合平面向量数量积的定义计算即可求解.

【详解】由，得，

由，得，

即，得，

所以，又，

所以，即与的夹角为.

故答案为：.

14. 已知，若，，则=     ．

【答案】

【解析】

【详解】因为，所以，又，

，整理得

解得或（舍去）

因此，因为，所以，

，

15. 已知函数，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先求导函数，解出的值，代入函数即可求得.

【详解】由已知，，则

所以，，

所以，.

故答案为：.

16. 已知，，则______.

【答案】0.75

【解析】

【分析】利用同角三角函数的平方关系及商数关系计算即可.

【详解】由同角三角函数的平方关系及已知条件可知：，

当，此时，不合题意；

当，符合题意；

所以.

故答案为：

四.解答题（共6小题）

17. 如图，平行四边形的对角线AC和BD交于点M，E在BC上，且，直线DE与AB的延长线交于点F，记，．

（1）试用，表示、；

（2）试用，表示．

【答案】（1），；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则求出，再利用向量减法法则求出作答.

（2）利用平行线的性质探求出，再利用向量减法法则求解作答.

【小问1详解】

平行四边形的对角线AC和BD交于点M，

，

.

【小问2详解】

点E在BC上，且，，则，

于是，即，，

所以

18. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

（1）求角A的大小；

（2）若AD平分并交BC于D，且，，求的面积．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）变形给定的等式，再利用余弦定理求解作答.

（2）根据给定条件，结合（1），利用三角形面积定理求出，进而求出计算作答.

【小问1详解】

因，则，整理得：，

在中，由余弦定理得：，而，

所以.

【小问2详解】

在中，AD平分并交BC于D，则，而，

显然有，即，

则，整理得：，又，

由（1）知，，即有，而，解得，

所以的面积.

19. 设数列的前n项和为，已知，，成等差数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）若，的前n项和为，若对任意正整数n，不等式恒成立，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，，成等差数列，可得，再根据与的关系求通项即可；

（2）利用裂项相消法求出，从而可求得的范围，即可求出的范围，即可得解.

【小问1详解】

解：因为，，成等差数列，

所以，即，

当时，，

即，

由，得，

所以数列是以为公比的等比数列，

则，即，所以，

所以；

【小问2详解】

解：，

则，

因为恒成立，所以，

所以的最小值.

20. 已知数列的前项和为

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据等差数列的定义可得数列是等差数列，从而求得，然后利用求得；

（2）利用错位相减法求解即可.

【小问1详解】

因为，，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

则，所以，

当时，，

当时，上式也成立，

所以；

【小问2详解】

，

，

，

两式相减得

，

所以.

21. 已知函数存在两个极值点.

（1）求的取值范围；

（2）求的最小值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据极值点的定义可知，即有两个不等正根，由一元二次方程根的分布可构造不等式组求得的取值范围；

（2）由（1）可知，由此化简为，令，利用导数可求得，即为所求的最小值.

【小问1详解】

由题意知：定义域为，；

令，则有两个不等正根，

，解得：，实数的取值范围为.

【小问2详解】

由（1）知：，是的两根，则；

；

令，则，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

，

即的最小值为.

22. 设函数．

（1）讨论的单调性;

（2）若，求证：．

【答案】（1）单调性见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求导可得，再和两种大情况讨论，在时根据导函数的两根的大小关系讨论分析即可；

（2）整理所证不等式为，再根据（1）结论得出，再构造证明即可

【小问1详解】

由题，

①当时，，令则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减；

②当时，令则，：

当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；

当，即时，，单调递增；

当，即时，在当和时，，单调递增；当时，，单调递减；

综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，单调递增；

当时，在和上单调递增，在上单调递减

【小问2详解】

由题，即证，即，

得.

由（1）可得当时在上单调递减，

在上单调递增，故，

当且仅当时取等号.

设，则，故在上，单调递减；

在上，单调递增.故，即，

故，故即得证

【点睛】本题主要考查了求导分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了构造函数证明不等式的问题，需要联系前问的结论化简不等式再证明，属于难题