重庆市渝北中学2023-2024学年高三数学上学期9月月考试题（Word版附解析）

渝北中学2023-2024学年高三9月月考质量监测

数学试题

（全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚.

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰.

3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效.

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式可得集合B，然后由交集定义可得.

【详解】集合，

解不等式可得集合，

所以.

故选：B

2. =（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式化简求值.

【详解】

故选：B

3. 已知直线是曲线的切线，则（    ）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为，

于是且，所以.

故选：B

4. 设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】分别求出命题甲和命题乙对应的的范围，然后根据充分性和必要性的概念求解即可.

【详解】对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，

所以对于，是真命题，则与轴无交点，

从而，解得；

对于命题乙：函数在上单调递减是真命题，

由对数函数单调性可知，，解得，

因为，所以甲是乙的必要不充分条件.

故选：B.

5. 函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对于函数，有，可得，

所以，函数的定义域为，

，，

所以，函数为偶函数，排除AB选项；

当时，，则，

此时，排除D选项.

故选：C.

6. 已知，且，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据倍角公式可得，进而可得，利用诱导公式逐项分析判断.

【详解】因为，可得，解得或，

又因为，则，可得.

对于选项A：，故A错误；

对于选项B：，故B错误；

对于选项C：，故C错误；

对于选项D：，故D正确；

故选：D.

7. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（    ）（取）

A. 31 B. 32 C. 33 D. 34

【答案】D

【解析】

【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.

【详解】∵经过t天后，用户人数，

又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，

即，可得，∴①

当用户超过50000名时有，

即，可得，∴②

联立①和②可得，即，故，

∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.

故选：D.

8. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】要比较的大小只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用函数的单调性比较其大小，要比较的大小，只需比较与的大小，故考虑构造函数，利用导数判断函数的单调性，利用单调性比较大小即可.

【详解】因为，又

由函数，，

可得，

所以函数在上为减函数，

所以，

所以，故，所以，

因为，，

故要比较的大小只需比较与的大小，

故只需比较与的大小，

故考虑构造函数，其中，

由求导可得，

所以函数在上单调递增，

所以，

所以，

所以，即，

所以，即，

所以，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于观察被比较的数的结构特征，确定两者的结构上的共性，考虑构造函数，利用函数的单调性确定被比较的数的大小.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 已知函数，则（    ）

A. 函数的最小正周期为

B. 直线是函数图象的一条对称轴

C. 函数是偶函数

D. 函数的递减区间为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.

详解】由函数，

对于A中，由三角函数的性质，可得的最小正周期为，所以A正确；

对于B中，当时，可得，

所以是函数图象的一条对称轴，所以B正确；

对于C中，由，

此时函数为奇函数，所以C错误；

对于D中，令，解得，

即函数的递减区间为，所以D正确.

故选：ABD.

10. 下列命题中的真命题有（    ）

A. 当时，的最小值是3

B. 的最小值是2

C. 当时，的最大值是5

D. 若关于的不等式的解集为，则

【答案】AC

【解析】

【分析】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断.

【详解】对于选项A：因为，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确；

对于选项B：因为，

等号成立的条件是，所以等号不成立，不能使用基本不等式，

令，则在上单调递增，所以时取得最小值，

故选项B错误；

对于选项C：因为，则

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确；

对于选项D：因为关于的不等式的解集为，

所以的根为2,3，

则，解得，

所以，故选项D错误.

故选：AC.

11. 已知函数，下列说法正确的是（    ）

A. 在处的切线方程为

B.

C. 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称，则

D. 有唯一零点

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用导数的几何意义求出切线方程判断A；计算即可判断B；利用对称关系求出解析式判断C；利用导数探讨单调性结合零点存在性定理判断D作答.

【详解】对于A，函数，求导得，有，

所以在处的切线方程为，即，A正确；

对于B，函数，有，

而，所以，B正确；

对于C，函数，函数的图象与的图象关于坐标原点对称，

所以，C错误；

对于D，函数的定义域为R，求导得，令，

，当时，当时，，则函数在上递增，在上递减，

于是，函数在上单调递增，而，

由零点存在性定理知在内存在唯一零点，所以有唯一零点，D正确.

故选：ABD

12. 已知函数，的定义域均为，且满足对任意实数，，，若是偶函数，，则（    ）

A. 是周期为2的周期函数 B. 为奇函数

C. 是周期为4的周期函数 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.

【详解】依题意，①，②，

以替换②中的得③，

由①③得④，

令得，A选项错误.

由④得⑤，

以替换⑤中的得，

所以为奇函数，B选项正确，且，

以替换②中的得⑥，

由①⑥得⑦，

以替换⑦中的得，

所以，

所以是周期为4的周期函数，所以C选项正确.

由，令，得，

令，得，

由，

令，得，

令，得，

所以，

所以，所以D选项正确.

故选：BCD

【点睛】求解抽象函数奇偶性、周期性等题目，关键点就是牢牢把握函数的性质进行分析，记住一些常见的结论是最好的办法，如这是对称性，并且是轴对称；这也是对称性，且是中心对称.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 设函数，则 _____________.

【答案】

【解析】

【分析】根据导数的运算法则，求得，代入即可求解.

【详解】由导数的运算法则，可得，

所以.

故答案为：.

14. 已知，则______.

【答案】##-0.8

【解析】

【分析】根据正切的差角公式得出，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.

【详解】由，

又，

代入得.

故答案为：

15. 已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解.

【详解】由已知可得，则，解得，故，

由得，

因为，则，可得，

令，，则函数在上单调递减，

所以，，.

因此，正整数的最大值为.

故答案为：.

16. 已知函数，若函数有两个极值点，，且，则实数的取值范围为_____.

【答案】

【解析】

【分析】对函数求导，函数有两个极值点，，则，化简得到，利用换元法令，则，构造函数，利用导数求出，结合将参数分离出来，构造函数，即可得出.

【详解】

所以，令，所以

令 ，则

令 ，则

所以在上单调递减，所以

所以在上单调递减，

所以

令 ，则 恒成立

所以在上单调递增，即

【点睛】已知函数有零点，求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围.

(2)分离参数法:先将参数分离，转化成求函数值城问题加以解决.

(3)数形结合法:先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，求在上的最大值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）化简函数，得到，进而求得函数的最小正周期；

（2）根据三角函数的图象变换，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：由函数，

则，

所以该函数的最小正周期;

【小问2详解】

解：将函数的图象向右平移个单位长度

可得函数，

由，可得，

所以当，即时，函数取得最大值，最大值为.

18. 某校组织在校学生观看学习“天宫课堂”，并对其中1000名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为.

（1）求m，n的值（结果用分数表示）；

（2）完成以下表格，并根据表格数据，依据小概率值的独立性检验，能否判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关？

（3）在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人.若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望.

附临界值表及参考公式：

，.

【答案】（1），；   

（2）列联表见解析，不能   

（3）分布列见解析，

【解析】

【分析】（1）根据得到被调查的男女上的人数，以及有飞天宇航梦和无飞天宇航梦的男生和女生的认识，进而求得的值；

（2）根据（1）中的数据列出的列联表，求得的值，结合题意，即可得到结论；

（3）根据题意，得到随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解.

【小问1详解】

解：由题可知被调查的男女学生分别为600人，400人，

男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

所以，.

【小问2详解】

解：根据（1）中数据填表，

可得

根据小概率的独立性检验，

所以没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即不能判断学生性别和是否有飞天宇航梦有关.

【小问3详解】

解：根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3，

可得，，，

故随机变量的分布列为

所以的数学期望.

19. 已知函数的图象关于直线对称，且图象相邻两个最高点的距离为.

（1）求和的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据对称轴和周期可求和的值．

（2）由题设可得，利用同角的三角函数的基本关系式可得，利用诱导公式和两角和的正弦可求的值．

【详解】（1）因为图象相邻两个最高点的距离为，故周期为，

所以，故．

又图象关于直线，故，

所以，因为，故．

（2）由（1）得，

因为，故，

因为，故，故．

又

．

【点睛】方法点睛：三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.

20. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元：若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？

附：相关系数公式，参考数据．

【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

【解析】

【分析】

（1）由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪，安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；安装2台或3台光照控制仪的情况，分别列出分布列算出期望，然后作比较可得答案.

【详解】（1）由已知数据可得，，

因，，，

所以相关系数，

因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．

（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．

①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元

②安装2台光照控制仪的情形

当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，

当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，

故的分布列为：

所以元．

③安装3台光照控制仪的情形

当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，

当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，

当时，3台光照控制仪都运行，此时周总利润元，

 故的分布列为：

所以元．

综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

【点睛】本题考查了线性回归方程的求法及应用，分布列的求法，利润的计算，属于中档题．

21. 已知函数，.

（1）若在处取得极值，求的的单调区间；

（2）若在上没有零点，求的取值范围.

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）.

【解析】

【分析】（1）若在处取得极值，则，求出，再代入求单调区间；

（2）因为，所以只需证明在满足，对进行分类讨论即可.

【详解】（1）的定义域，

，

，

，递增区间为，

，递减区间，

所以递增区间为，递减区间为.

（2），，

因为，所以只需证明在满足.

当时，在恒成立，在上递减，

，得，与矛盾；

②当时， ，递减，

，递增，

，所以

③，在恒成立，在上递增，

，满足题意，

综上有，.

【点睛】考查求函数的单调区间以及根据函数的零点情况求参数的范围，函数的零点情况转化为研究函数的值域，进一步确定参数范围；属于较难题.

22. （1）求证：当时，；

（2）若关于的方程在内有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

【分析】（1）对函数求导后，再构造函数，求导后在上为增函数，再由，得在上为增函数，从而可证得结论；

（2）先证得，则令，原问题等价于在内有零点，由（1）可知当时，函数没有零点，当时，连续两次求导结合零点存在性定理求出的单调区间，再判断函数的零点，从而可求得结果.

【详解】（1）证明：令，则，

令，则，

因为，所以，即在上为增函数，

所以，故在上为增函数，

所以，即成立

（2）解：设，由于，则，

所以在上为增函数，所以，即.

方程等价于.

令，原问题等价于在内有零点，

由，得.

由（1）知当时，，

此时，当时，函数没有零点，不合题意，故舍去.

当时，因为，所以，

令，则.

当时，恒成立，所以单调递增.

当时，令，则.

因为，，所以，所以单调递增.

又，，

因此在上存在唯一的零点，且.

当时，，所以单调递减；

当时，，所以单调递增.

又，，，

因此在上存在唯一的零点，且.

当时，，所以单调递减；

当时，，所以单调递增.

又，，

由（1）知，所以，

所以在上没有零点，在上存在唯一零点，因此在上有唯一零点.

综上，的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数零点问题，第（2）问解题有关键是对方程化简变形后构造函数，将原问题转化为在内有零点，然后利用导数和零点存在性定理求解，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.