高中人教A版 (2019)1.3 空间向量及其运算的坐标表示同步练习题

1.3空间向量及其运算的坐标表示

一．选择题（共5小题）

1．在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是　　

A．的最小值为 B．的最大值为10 

C．最大值为 D．最小值为1

2．如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

3．平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于　　

A．5 B．6 C．4 D．8

4．从点，，沿向量，9，的方向取线段长，则点的坐标为　　

A．，17， B．，， C． D．

5．如图，是四面体，是的重心，是上一点，且，则　　

A． B． 

C． D．

二．填空题（共3小题）

6．对任意实数的最小值为 　　．

7．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于　　．

8．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，则点到的重心的距离为　　．

三．解答题（共2小题）

9．已知直角梯形，，，，，为的中点，，如图（1），沿直线折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（2）．

（1）求异面直线与所成角的大小．

（2）求过、、、、这五个点的球的表面积．

10．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，，1，．

（1）求的长度；

（2）写出、两点经此程序框图执行运算后的对应点，的坐标，并求出在方向上的投影．

（进阶篇）2021-2022学年上学期高中数学人教版新版高二同步分层作业1.3空间向量及其运算的坐标表示

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．在空间直角坐标系中，，，为坐标原点，满足，，则下列结论中不正确的是　　

A．的最小值为 B．的最大值为10 

C．最大值为 D．最小值为1

【分析】设，，，，则，从而的最小值为，的最大值为6；，，，，，从而，从而最大值为，最小值为1．

【解答】解：在空间直角坐标系中，

，，为坐标原点，满足，，

设，，，，

在中，

，

当，，的最小值为，故正确；

在中，

，

，时，的最大值为6，故错误；

在中，，，，，，

，

时，的最大值为，故正确；

在中，

，

令，

则，

当时取等号，

故取最小值1．故正确．

故选：．

【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量的数量积、向量的模、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．

2．如图三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为　　

A． B． C． D．

【分析】过作平面，垂足是，连结，，则，，，由此能求出点的坐标．

【解答】解：三棱柱中，侧面是边长为2菱形，，

交于点，侧面，且△为等腰直角三角形，

如图建立空间直角坐标系，

过作平面，垂足是，连结，，

则，，，

点的坐标为，1，．

故选：．

【点评】本题考查点的坐标的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

3．平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，则等于　　

A．5 B．6 C．4 D．8

【分析】由题设知，故，由此能求出．

【解答】解：如图，平行六面体中，

向量、、两两的夹角均为，

且，，，

，

，

．

故选：．

【点评】本题以平行六面体为载体考查向量在立体几何中的应用，解题时要认真审题，关键是利用条件向量、、两两的夹角均为，进行合理转化．

4．从点，，沿向量，9，的方向取线段长，则点的坐标为　　

A．，17， B．，， C． D．

【分析】根据题意设，利用求出的值，再求出的坐标表示，即可得出点的坐标．

【解答】解：设（其中，

，，

，

，18，，

又，，，

点坐标为，17，．

故选：．

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与应用问题，解题时应类比平面向量进行计算，是基础题目．

5．如图，是四面体，是的重心，是上一点，且，则　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用空间向量加法法则求解．

【解答】解：是四面体，是的重心，是上一点，且，

．

故选：．

【点评】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

二．填空题（共3小题）

6．对任意实数的最小值为 　6　．

【分析】设，5，，利用两点之间的距离公式及三角形两边大于第三边的性质，解出即可得出．

【解答】解：表示点，，到原点，0，的距离，

，表示点，，到，5，的距离，

任意实数，

当且仅当点，，在线段上时取等号．

故答案为：6．

【点评】本题考查了空间两点之间的距离公式、不等式的性质、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

7．如图，平面，为垂足，，，与平面所成的角为，，则的长等于　　．

【分析】由，利用已知条件能求出的长．

【解答】解：平面，为垂足，，，

与平面所成的角为，，

，

．

故答案为：．

【点评】本题考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

8．在三棱锥中，，，两两垂直，且，，，则点到的重心的距离为　　．

【分析】由题意画出图形，建立空间直角坐标系，确定的坐标，利用空间两点间的距离公式求出即可．

【解答】解：，，两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，且，，，

所以，0，，，0，，，2，，，0，，

的重心的坐标为，

．

点到的重心的距离是．

故答案为：．

【点评】本题考查空间两点间距离公式的应用，三角形的重心坐标的求法，考查空间想象能力以及计算能力．

三．解答题（共2小题）

9．已知直角梯形，，，，，为的中点，，如图（1），沿直线折成直二面角，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图（2）．

（1）求异面直线与所成角的大小．

（2）求过、、、、这五个点的球的表面积．

【分析】（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．

（2）连结，取中点为，连结，，，，，得到长为所求球的半径，由此能求出过、、、、这五个点的球的表面积．

【解答】解：（1）以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，

，1，，，，，

设异面直线与所成角为，

则，

，

异面直线与所成角的大小为．

（2）连结，取中点为，连结，，，，，

由已知得，

所以长为所求球的半径，

，，，，

．

过、、、、这五个点的球的表面积：

．

【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查球的表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

10．在空间直角坐标系中，已知，0，，，，，，1，．

（1）求的长度；

（2）写出、两点经此程序框图执行运算后的对应点，的坐标，并求出在方向上的投影．

【分析】（1）根据空间向量长度的公式直接进行计算即可．

（2）根据空间向量的投影的定义进行求解即可得到结论．

【解答】解：（1），，，，1，．

．

（2），，满足

输出，，

，1，不满足

，1，不满足

，1，满足

输出，1，

，，，，1，

在方向上的投影等于

【点评】本题主要考查空间向量的有关概念和运算，利用程序框图是解决本题的关键．要求熟练掌握向量投影的概念．