高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式当堂达标检测题

2.2基本不等式

一．选择题（共5小题）

1．已知实数，，满足，，则的最小值是　　

A． B． C． D．1

2．已知实数，满足，，，当取最小值时，的值为　　

A． B． C． D．1

3．若，，且，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

4．实数、满足，若的最大值为1，则有　　

A．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值18

5．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

6．若实数，满足，则的最大值为　　．

7．已知，，且，则的最大值为　　，最小值为　　．

8．设、、是三个正实数，且，则的最大值为　　．

9．若，则的最小值为　　；最大值为　　．

三．解答题（共4小题）

10．已知正实数、满足．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最小值．

11．已知点在圆，上，

（1）求的最小值；

（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．

12．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

13．设正实数，，满足．

（1）求的最大值；

（2）的最小值．

高中数学人教版新业2.2基本不等式

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．已知实数，，满足，，则的最小值是　　

A． B． C． D．1

【分析】由已知条件可得；，由可得，所求式子可以用表示，由可以求出的范围．再利用导数求关于的函数的单调性可求最值．

【解答】解：，，

，，，

，

又，，解得，

令，

则，

则当，，时，，当时，，

则在，、，上单调递增，在上单调递减，

且，，

故的最小值是，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质及重要不等式的应用，同时考查了函数的性质及导数的综合应用，属于难题．

2．已知实数，满足，，，当取最小值时，的值为　　

A． B． C． D．1

【分析】令，由和“1”的代换，得到的关于的表达式，然后利用换元法构造函数，结合题中给出的选项进行判断即可．

【解答】解：令，由，

所以

，

令，则，

所以，

通过题中选项给出的数据，可得当时，，

故当时，取得最小值，即当的值为时，取最小值．

故选：．

【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换的应用，同时考查利用导数求解函数最值的应用，解题的关键是利用“1”的代换将进行变形，属于难题．

3．若，，且，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

【分析】法一：原式变形为，则可化为，利用基本不等式即可求得其最小值；

法二：原式变形为，则可化为，利用基本不等式即可

【解答】解：（法一）可变形为，

所以

，

当且仅当即，时取等号，

（法二）原式可得，则，

当且仅当，即时取“”

故选：．

【点评】本题考查不等式的应用，关键是对，和的变形，属于难题，可作为章节的压轴题．

4．实数、满足，若的最大值为1，则有　　

A．最大值9 B．最大值18 C．最小值9 D．最小值18

【分析】根据，求出点满足的图形，根据的最值，求出，的关系，再根据基本不等式求解．

【解答】根据，可得点满足的图形为、、、为顶点的正方形，可知，时取得最大值，故，所以，当取得．

故选：．

【点评】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．

5．已知奇函数的图象经过点，若矩形的顶点，在轴上，顶点，在函数的图象上，则矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】求出，的值，令，整理得，则，为这个一元二次方程的两不等实根，求出圆柱的体积，结合基本不等式的性质求出体积的最大值即可．

【解答】解：由，及（1）得，，，，

如图，不妨设点，在轴的上方，

不难知该旋转体为圆柱，半径，

令，整理得，

则，为这个一元二次方程的两不等实根，

于是圆柱的体积，

当且仅当时，等号成立．

故选：．

【点评】本题考查了函数和方程问题，考查圆柱的体积以及基本不等式的性质，是一道综合题．

二．填空题（共4小题）

6．若实数，满足，则的最大值为　　．

【分析】对已知的等式进行因式分解，得到，分类讨论，当时，利用基本不等式求解；当时，利用导数求解的最值，比较即可得到答案．

【解答】解：，

所以，

因此，

①当时，

由基本不等式可得，

则，

所以，即，

当且仅当，即时取等号，

此时；

②当时，此时，

令，则，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

所以当时，有最大值，

所以的最大值为．

因为，

所以的最大值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值的应用，利用导数研究函数值域问题，考查了逻辑推理了与运算能力，属于难题．

7．已知，，且，则的最大值为　　，最小值为　　．

【分析】先由题设且，再利用不等式的性质和基本不等式，进而有与，解出的取值范围，即可求得结果．

【解答】解：，且，即且，

，当且仅当时取“ “，

，当且仅当时取“ “，

即，解得：，当且仅当时取“ “，

又，，

，当或时取“ “，解得：，当且仅当或时取“ “，

，，

故答案为：，．

【点评】本题主要考查式子的变形、基本不等式的应用、不等式的性质的应用及求解不等式，属于有一定难度的题．

8．设、、是三个正实数，且，则的最大值为　3　．

【分析】由题意可求出的表达式，根据，把原式转化为关于的解析式，

设，构造函数，利用基本不等式求出函数的最小值，从而求出答案．

【解答】解：，

，

，

，

，

解法一：设，则，；

，

当且仅当时成立；

的最大值为3．

解法二：由，得，

；

设，则，

所以，

当且仅当时取等号，

，

即的最大值为3．

故答案为：3．

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，也考查了转化与化归思想，是难题．

9．若，则的最小值为　1　；最大值为　　．

【分析】把已知两边平方，把通分化成关于为自变量的函数，利用函数的单调性即可求出最值．

【解答】解：若，则，，有基本不等式，（当且仅当，时“”成立），得，

又由，得，

令，

则，

令，则，，

，，则，令，得或（舍去），

当，时，，当，，

函数，在区间当，上单调递增，在区间当，上单调递减，

当时，有最大值，最大值是：，

又因为，当时，，当时，，，

所以，的最小值为：1

故答案为：1；．

【点评】本题考查了基本不等式、函数的导数与单调性的基本知识．属于难题．

三．解答题（共4小题）

10．已知正实数、满足．

（1）求的最小值；

（2）求的最小值；

（3）求的最小值．

【分析】首先作下列变形：，即，，，，，

（1），展开后利用基本不等式可求得最小值；

（2），再利用基本不等式可求得最小值；

（3），再利用基本不等式可求得最小值．

【解答】解：，即，，，，，

（1）因为、是正实数，

所以，

当且仅当时等号成立，

故的最小值为4；

（2）因为，，所以，，

则，

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为25；

（3）因为，，，

所以

当且仅当，时等号成立，

故的最小值为．

【点评】本题考查基本不等式应用，考查数学运算能力，属于难题．

11．已知点在圆，上，

（1）求的最小值；

（2）是否存在，，满足？如果存在，请说明理由．

【分析】（1）整理所给的代数式，结合均值不等式的结论即可求得最小值；

（2）利用题意首先求得的范围，然后结合均值不等式的结论求解原问题即可．

【解答】解：（1），

当且仅当时，等号成立．

所以的最小值为2．

（2）存在．

因为，所以，

所以，

又，，所以．

从而有，

因此存在，，满足．

【点评】本题考查均值不等式及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．

12．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度（千米小时）之间的函数关系为：．

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？

【分析】（1）根据基本不等式性质可知，进而求得的最大值．根据等号成立的条件求得此时的平均速度．

（2）在该时间段内车流量超过10千辆小时时，解不等式即可求出的范围．

【解答】解：（1）依题意，，

当且仅当，即时，上式等号成立，

（千辆时）．

当时，车流量最大，最大车流量约为千辆时；

（2）由条件得，

整理得，

即，

解得，

所以，如果要求在该时段内车流量超过10千辆时，

则汽车的平均速度应大于且小于．

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．要特别留意等号取得的条件．

13．设正实数，，满足．

（1）求的最大值；

（2）的最小值．

【分析】（1）根据题中给出的等式，直接利用三元基本不等式，即可得到答案；

（2）由已知等式变形可得，，然后将所要求解的式子转化为和表示，然后进行变形，得到，由基本不等式求解最值即可．

【解答】解：（1）因为，，，所以，解得，

当且仅当,即时取等号，

故的最大值为；

（2）因为,所以，

所以

，

当且仅当,即时取等号，

故的最小值为5．

【点评】本题考查了基本不等式的应用，主要考查了利用基本不等式求解最值问题，在使用基本不等式求解最值时要满足三个条件：一正、二定、三相等，属于较难题