2024绵阳南山中学高二上学期10月月考数学试题含解析
展开南山中学2023年秋季2022级10月月考数学试题
命题人：梁泽建 审题人：文 媛
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点B，则点B的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
3. 直线在x轴上的截距是（ ）
A. B.
C. D. 3
4. 已知，，，则向量在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在同一直角坐标系中，表示直线与正确的是
A. B. C. D.
6. 如图与所在平面垂直，且，，则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为 （ ）
A. B.
C. D.
7. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知平面，其中点，法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知直线：，：，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 当时，是直线的一个方向向量
C. 若，则或
D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则实数
11. 已知四面体所有棱长均为2，M，N分别为棱，的中点，F为棱上异于A，B的动点．下列结论正确的是（ ）
A. 若点G为线段上的动点，则无论点F与G如何运动，直线与直线都是异面直线
B. 线段的长度为
C. 异面直线和所成的角为
D. 的最小值为2
12. 如图，正方体棱长为，点为底面的中心，点为侧面内（不含边界）的动点，则（ ）
A
B. 存在一点，使得
C. 三棱锥的体积为
D. 若，则面积的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在答题卡中的横线上.）
13. 一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________．
14. 直线和直线分别过定点A和B，则_________．
15. 二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且垂直于棱,若,,,,则平面与平面的夹角为________.
16. 若空间两个单位向量、与的夹角都等于θ，则当θ取最小值时，______．
四．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知平面直角坐标系内三点．
（1）求直线的斜率和倾斜角；
（2）若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标及CD所在直线方程；
（3）若是线段上一动点，求的取值范围．
18. 已知空间三点、、，设，．
（1）设，//，求．
（2）若与互相垂直，求．
19. 已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
（1）求直线的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
①角A的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为．
若________________，求直线方程．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
20. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．
（1）若，，求的斜60°坐标；
（2）在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”．
①求的斜60°坐标；
②若，求与夹角的余弦值．
21. 如图，在四棱锥中，面，，，，．E为的中点，点F在棱上，且，点G在棱上，且．
（1）求证：面；
（2）当时，求点G到平面距离；
（3）是否存实数，使得A，E，F，G四点共面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22. 如图，圆台的轴截面为等腰梯形，，B为底面圆周上异于A，C的点．
（1）若P是线段BC的中点，求证：平面；
（2）设平面平面，与平面QAC所成角为，当四棱锥的体积最大时，求的最大值．
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