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2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
4．如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O （填“内”、“外”或“上”）．
8．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 ．
9．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲 P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）
10．某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照2：5：3比例确定．某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识95分，创新设计88分，现场展示90分，则该同学的综合成绩是 分．
11．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
12．某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为x，由题意可列方程为 ．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ．
15．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解一元二次方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0；
（3）x2+5x+1＝0．
18．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
19．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
嘉嘉：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
淇淇：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 ；淇淇的解法 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．
20．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
21．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 名学生，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．
22．某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号
平均里程（km）
中位数（km）
众数（km）
A
a
b
c
B
216
215
220
C
227.5
227.5
225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
25．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
26．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，且O2在y轴上直接写出BM﹣BN的值 ．
参考答案
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式可得答案．
解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵，，，，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
【分析】将这组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
解：把数据从小到大的顺序排列为：89，92，95，96，98，
∴中位数为95．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
解：S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积公式，比较简单．
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O 内 （填“内”、“外”或“上”）．
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，根据点P在圆内⇔d＜r进行判断即可．
解：∵⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故答案为：内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，＝40°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
9．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲 ＝ P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率即可．
解：甲转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝；
乙转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝＝．
所以P甲＝P乙．
故答案为：＝．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：某事件的概率＝某事件所占有的面积与总面积之比．
10．某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照2：5：3比例确定．某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识95分，创新设计88分，现场展示90分，则该同学的综合成绩是 90 分．
【分析】计算该同学各项成绩的加权平均数，即可求解．
解：该同学的综合成绩是：（分），
故答案为：90．
【点评】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占比例的含义，以及求加权平均数的方法．
11．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ 3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求解．
解：∵x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为x，由题意可列方程为 20（1+x）2＝25 ．
【分析】根据题意可知，这是一道增长率问题，然后根据题目中的数据，列出相应的方程即可．
解：由题意可得，
20（1+x）2＝25，
故答案为：20（1+x）2＝25．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ 130° ．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．
解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
15．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
解：
连接OA、OB，
∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，
∴弧AC′B的度数是×360°＝60°，弧ACB的度数是360°﹣60°＝300°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
【分析】连接BD，取BD的中点O，连接ON，可知ON为△DMB的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，根据进而得出答案．
解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC，
∵N为MD的中点，
∴ON为△DMB的中位线，
∴，
∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，
在矩形ABCD中，，
∴CN的取值范围为，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解一元二次方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0；
（3）x2+5x+1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
解：（1）（x+1）2﹣144＝0，
（x+1）2＝144，
x+1＝±12，
∴x1＝11，x2＝﹣13；
（2）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0，x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（3）x2+5x+1＝0，
a＝1，b＝5，c＝1，
∴Δ＝25﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠C，根据圆周角定理得出∠B＝∠C，即可求出答案；
（2）过O作OE⊥BD于E，根据垂径定理求出BE＝DE，根据三角形中位线求出AD＝2OE，代入求出即可．
解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，
∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，
∴∠B＝30°；
（2）过O作OE⊥BD于E，
∵OE过O，
∴BE＝DE，
∵圆心O到BD的距离为3，
∴OE＝3，
∵AO＝BO，DE＝BE，
∴AD＝2OE＝6．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
19．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
嘉嘉：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
淇淇：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 不正确 ；淇淇的解法 不正确 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法不正确，
正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝6，
故答案为：不正确，不正确；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），
4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
（2x+1）（4x﹣3）＝0，
2x+1＝0或4x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
21．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 20 名学生，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）根据概率公式计算可得．
解：（1）杨老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%＝20人，
C类女生人数为20×25%﹣3＝2人，D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1＝1人，
故答案为：20、2、1；
（2）补全图形如下：
（3）因为A类的3人中，女生有2人，
所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号
平均里程（km）
中位数（km）
众数（km）
A
a
b
c
B
216
215
220
C
227.5
227.5
225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，a＝ 200 ，b＝ 200 ，c＝ 205 ；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
解：（1）A型号汽车的平均里程为：＝200（km），
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为200km，所以中位数为200km；
205km出现了六次，次数最多，所以众数为205km；
故答案为：200，200，205；
（2）选择B型号汽车．理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点评】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2＝．也考查了根的判别式．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可；
（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
∴∠B＝∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠NEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
设EN＝x＝BN，
在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，
∴OC2+CN2＝OE2+EN2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
即EN＝．
【点评】本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
25．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （40﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1100＜0，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
26．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，且O2在y轴上直接写出BM﹣BN的值 2 ．
【分析】（1）连接AO1，利用切线的性质推出∠OAO1+∠AOB＝180°，得到AO1∥OB，再推出∠O1AB＝∠ABO1，可得出结论；
（2）如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，证四边形AO1HO是矩形，在Rt△O1HB中，利用勾股定理求出O1B的长，再求出OB的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求出AB的长；
（3）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，求出BB'的长，证△AMB'≌△ANB，推出BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'，即求出结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接O1A，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1AB＝∠O1BA，
∵⊙O1与x轴相切于点A，
∴O1A⊥x轴，
∵OB⊥OA，
∴O1A∥OB，
∴∠O1AB＝∠ABO，
∴∠ABO1＝∠ABO；
（2）解：如图1，过点O1作O1E⊥BC，
∴BE＝BC＝4，∠O1EB＝90°
连接O1A，
∵⊙O1与x轴相切于点A，
∴O1A⊥x轴，
∴∠O1AO＝90°，
∴∠O1AO＝∠O1EB＝∠AOB＝90°，
∴四边形O1AOE是矩形，
∴O1A＝OE，O1E＝OA，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴O1E＝3，
在Rt△O1EB中，根据勾股定理得，O1B＝＝5，
∴OE＝O1A＝5，
∴OB＝OE﹣BE＝1，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝＝；
（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则OB'＝OB＝1，AB＝AB'，
∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO
∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，
∴∠ABO1＝∠AB'O，
∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，
即∠ABN＝∠AB'M，
又∵，
∴∠AMB'＝∠N，
∴△AMB'≌△ANB（AAS），
∴MB'＝NB，
∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，
∴BM﹣BN的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题是综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是弄清图形变化过程中的不变性，容易受原图的影响，把BM当作O2的直径．
2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
4．如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O （填“内”、“外”或“上”）．
8．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 ．
9．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲 P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）
10．某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照2：5：3比例确定．某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识95分，创新设计88分，现场展示90分，则该同学的综合成绩是 分．
11．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ ．
12．某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为x，由题意可列方程为 ．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ．
15．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 ．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解一元二次方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0；
（3）x2+5x+1＝0．
18．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
19．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
嘉嘉：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
淇淇：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 ；淇淇的解法 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．
20．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
21．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 名学生，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．
22．某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号
平均里程（km）
中位数（km）
众数（km）
A
a
b
c
B
216
215
220
C
227.5
227.5
225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
25．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
26．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，且O2在y轴上直接写出BM﹣BN的值 ．
参考答案
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．某学校开设了劳动教育课程．小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等．小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式可得答案．
解：∵共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门兴趣课程，
∴小明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
2．甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差的意义求解即可．
解：∵，，，，
∴丁的方差最小，
∴成绩最稳定的是丁，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
3．已知一组数据96，89，92，95，98，则这组数据的中位数是（ ）
A．89 B．94 C．95 D．98
【分析】将这组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
解：把数据从小到大的顺序排列为：89，92，95，96，98，
∴中位数为95．
故选：C．
【点评】本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
解：S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD＝＝（m2）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形面积公式，比较简单．
5．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（ ）
A．m≥﹣1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≤1且m≠0
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
解：∵一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，
∴Δ＝22﹣4m≥0，且m≠0，
解得：m≤1且m≠0，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为0．
6．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，
故选：D．
【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．已知⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，则点P在⊙O 内 （填“内”、“外”或“上”）．
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，根据点P在圆内⇔d＜r进行判断即可．
解：∵⊙O的半径为6cm，线段OP的长为4cm，
∴d＜r，
∴点P在⊙O内．
故答案为：内．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r．点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
8．一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是 9 ．
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，＝40°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．
9．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲 ＝ P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）
【分析】利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率即可．
解：甲转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝；
乙转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝＝．
所以P甲＝P乙．
故答案为：＝．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：某事件的概率＝某事件所占有的面积与总面积之比．
10．某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照2：5：3比例确定．某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识95分，创新设计88分，现场展示90分，则该同学的综合成绩是 90 分．
【分析】计算该同学各项成绩的加权平均数，即可求解．
解：该同学的综合成绩是：（分），
故答案为：90．
【点评】此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占比例的含义，以及求加权平均数的方法．
11．设x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，则x1+x2＝ 3 ．
【分析】直接利用根与系数的关系x1+x2＝﹣求解．
解：∵x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的两个根，
∴x1+x2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
12．某街道2020年用于绿化投资20万元，预计2022年用于绿化投资达到25万元，设这两年绿化投资的平均增长率为x，由题意可列方程为 20（1+x）2＝25 ．
【分析】根据题意可知，这是一道增长率问题，然后根据题目中的数据，列出相应的方程即可．
解：由题意可得，
20（1+x）2＝25，
故答案为：20（1+x）2＝25．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ 130° ．
【分析】先根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，然后根据四边形的内角和计算∠AOB的度数．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠OAP+∠AOB+∠OBP+∠P＝360°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°．
故答案为130°．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
14．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0有一个根是0，则m的值是 ﹣1 ．
【分析】把x＝0代入方程即可得到一个关于m的方程，即可求得m的值．
解：根据题意得：m2﹣1＝0且m﹣1≠0
解得：m＝﹣1
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
15．一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是 30°或150° ．
【分析】根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
解：
连接OA、OB，
∵一条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，
∴弧AC′B的度数是×360°＝60°，弧ACB的度数是360°﹣60°＝300°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ACB＝∠AOB＝30°，
∴∠AC′B＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30°或150°．
【点评】本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M是平面内一动点，且满足BM＝2，N为MD的中点，点M运动过程中线段CN长度的取值范围是 ．
【分析】连接BD，取BD的中点O，连接ON，可知ON为△DMB的中位线，则可得，进而可知点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，在矩形ABCD中，根据进而得出答案．
解：连接BD，取BD的中点O，连接ON，OC，
∵N为MD的中点，
∴ON为△DMB的中位线，
∴，
∴点N在以O为圆心，以1为半径的圆上运动，
在矩形ABCD中，，
∴CN的取值范围为，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点N的运动轨迹是解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解一元二次方程：
（1）（x+1）2﹣144＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0；
（3）x2+5x+1＝0．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．
解：（1）（x+1）2﹣144＝0，
（x+1）2＝144，
x+1＝±12，
∴x1＝11，x2＝﹣13；
（2）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
x﹣1＝0，x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝3；
（3）x2+5x+1＝0，
a＝1，b＝5，c＝1，
∴Δ＝25﹣4×1×1＝21＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
（1）求∠B的大小；
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．
【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠C，根据圆周角定理得出∠B＝∠C，即可求出答案；
（2）过O作OE⊥BD于E，根据垂径定理求出BE＝DE，根据三角形中位线求出AD＝2OE，代入求出即可．
解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．
∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，
∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，
∴∠B＝30°；
（2）过O作OE⊥BD于E，
∵OE过O，
∴BE＝DE，
∵圆心O到BD的距离为3，
∴OE＝3，
∵AO＝BO，DE＝BE，
∴AD＝2OE＝6．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
19．嘉嘉与淇淇两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
嘉嘉：
两边同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
则x＝6．
淇淇：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
（1）嘉嘉的解法 不正确 ；淇淇的解法 不正确 ；（填“正确”或“不正确”）
（2）请你选择合适的方法尝试解一元二次方程4x（2x+1）＝3（2x+1）．
【分析】（1）根据等式的性质即可得出答案；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
解：（1）嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法不正确，
正确的解法是：3（x﹣3）＝（x﹣3）2，
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0，
则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得：x1＝3，x2＝6，
故答案为：不正确，不正确；
（2）4x（2x+1）＝3（2x+1），
4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
（2x+1）（4x﹣3）＝0，
2x+1＝0或4x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
20．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据垂径定理，可知△OAD是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
21．杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：A：优秀；B：良好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次调查中，杨老师一共调查了 20 名学生，其中C类女生有 2 名，D类男生有 1 名；
（2）补全上面的条形统计图和扇形统计图；
（3）在此次调查中，小平属于D类．为了进步，她请杨老师从被调查的A类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以C类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得D类别男生人数；
（2）根据（1）中所求结果可补全图形；
（3）根据概率公式计算可得．
解：（1）杨老师调查的学生总人数为（1+2）÷15%＝20人，
C类女生人数为20×25%﹣3＝2人，D类男生人数为20×（1﹣15%﹣20%﹣25%）﹣1＝1人，
故答案为：20、2、1；
（2）补全图形如下：
（3）因为A类的3人中，女生有2人，
所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为．
【点评】此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．某公司有A，B，C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．
型号
平均里程（km）
中位数（km）
众数（km）
A
a
b
c
B
216
215
220
C
227.5
227.5
225
（1）阳阳已经对B，C型号汽车数据统计如表，a＝ 200 ，b＝ 200 ，c＝ 205 ；
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
解：（1）A型号汽车的平均里程为：＝200（km），
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，11个数据均为200km，所以中位数为200km；
205km出现了六次，次数最多，所以众数为205km；
故答案为：200，200，205；
（2）选择B型号汽车．理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选择；B，C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点评】本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．
23．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝5，求k的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1x2＝k2+1，再利用x1x2＝5得到k2+1＝5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
解：（1）根据题意得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＞0，
解得k＞；
（2）根据题意得x1x2＝k2+1，
∵x1x2＝5，
∴k2+1＝5，
解得k1＝﹣2，k2＝2，
∵k＞，
∴k＝2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1x2＝．也考查了根的判别式．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN．
（1）求证：EN是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，⊙O的半径为1，求线段EN的长．
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出∠NEM+∠AEO＝90°即可；
（2）利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
∴∠B＝∠NEB，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠NEB+∠OEA＝90°，
∴∠OEN＝180°﹣90°＝90°，
即OE⊥EN，
∵OE是半径，
∴EN是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接ON，
∵MN是AB的中垂线，
∴NE＝NB，
设EN＝x＝BN，
在Rt△CON中，ON2＝OC2+CN2，
在Rt△OEN中，ON2＝OE2+EN2，
∴OC2+CN2＝OE2+EN2，
即（3﹣1）2+（4﹣x）2＝12+x2，
解得x＝，
即EN＝．
【点评】本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．
25．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 2x 件，每件商品盈利 （40﹣x） 元（用含x的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元；
（3）商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120﹣x﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣1100＜0，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利1800元．
解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40﹣x）元．
故答案为：2x，（40﹣x）；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40﹣x）元，平均每天的销售量为（20+2x）件，
依题意得：（120﹣x﹣80）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
又∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；
（3）商家不能达到平均每天盈利1800元，理由如下：
设每件服装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，平均每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1800，
整理得：y2﹣30y+500＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×500＝﹣1100＜0，
∴此方程无解，
即不可能每天盈利1800元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
26．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，且O2在y轴上直接写出BM﹣BN的值 2 ．
【分析】（1）连接AO1，利用切线的性质推出∠OAO1+∠AOB＝180°，得到AO1∥OB，再推出∠O1AB＝∠ABO1，可得出结论；
（2）如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H，证四边形AO1HO是矩形，在Rt△O1HB中，利用勾股定理求出O1B的长，再求出OB的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理即可求出AB的长；
（3）如图2，作点B关于x轴的对称点B'，求出BB'的长，证△AMB'≌△ANB，推出BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'，即求出结果．
【解答】（1）证明：如图1，连接O1A，
∵O1A＝O1B，
∴∠O1AB＝∠O1BA，
∵⊙O1与x轴相切于点A，
∴O1A⊥x轴，
∵OB⊥OA，
∴O1A∥OB，
∴∠O1AB＝∠ABO，
∴∠ABO1＝∠ABO；
（2）解：如图1，过点O1作O1E⊥BC，
∴BE＝BC＝4，∠O1EB＝90°
连接O1A，
∵⊙O1与x轴相切于点A，
∴O1A⊥x轴，
∴∠O1AO＝90°，
∴∠O1AO＝∠O1EB＝∠AOB＝90°，
∴四边形O1AOE是矩形，
∴O1A＝OE，O1E＝OA，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴O1E＝3，
在Rt△O1EB中，根据勾股定理得，O1B＝＝5，
∴OE＝O1A＝5，
∴OB＝OE﹣BE＝1，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB＝＝；
（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则OB'＝OB＝1，AB＝AB'，
∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO
∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1，
∴∠ABO1＝∠AB'O，
∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O，
即∠ABN＝∠AB'M，
又∵，
∴∠AMB'＝∠N，
∴△AMB'≌△ANB（AAS），
∴MB'＝NB，
∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2，
∴BM﹣BN的值为2．
故答案为：2．
【点评】本题是综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是弄清图形变化过程中的不变性，容易受原图的影响，把BM当作O2的直径．
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