高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数习题

4.2指数函数

一．选择题（共3小题）

1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为　　

A． B． 

C． D．

2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是　　

A．， B．， C．，3， D．，2，3，

二．填空题（共3小题）

4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是　　．

5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：

①；

②；

③；

④

上述结论中正确结论的序号是　 　．

6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为　　．

三．解答题（共4小题）

7．已知函数为常数，且的图象过点和点．

（1）求函数的解析式；

（2）是奇函数，求常数的值；

（3）对任意的，且，试比较与的大小．

8．设函数且是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；

（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．

9．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求值；

（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．

10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．

（1）求，的值．

（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．

（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，

使得式子对一切大于1的自然数都成立，

则称函数为“，上的函数”（其中，．

试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；

若不是，则请说明理由．（注．

                               4.2指数函数

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．已知函数，，当时，取得最小值，则函数的图象为　　

A． B． 

C． D．

【分析】先根据基本不等式求出，的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求

【解答】解：，

，

当且仅当时取等号，此时函数有最小值1

，，

此时，

此函数可以看成函数的图象向左平移1个单位

结合指数函数的图象及选项可知正确

故选：．

【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键

2．已知函数满足（1），若函数的图象不过第二象限，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【分析】利用指数函数的单调性可得．由于函数的图象不过第二象限，可得，求解即可得答案．

【解答】解：（1），

，

即

函数的图象不过第二象限，

，

，

的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了数学转化思想方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．

3．已知函数，则对任意的非零实数，，，，，关于的方程的解集都不可能是　　

A．， B．， C．，3， D．，2，3，

【分析】关于的方程的解集可能只有一个正实数根或有两个不同的正实数根，再利用指数函数类型函数的性质即可得出．

【解答】解：关于的方程的解集都不可能是．下面给出证明：

若此方程关于只有一个正实数根不等，则则，可以有两个不同的实数根，可能为

，，或，．

若此方程关于若有两个不同的正实数根，（均不等，则则或，可以有四个不同的实数根（两两对称），又，可能为，2，3，．若此方程关于若有两个不同的正实数根1，，则

或，可以有三个不同的实数根，需两个关于剩余一个对称，不可能为，3，．因此关于的方程

的解集都不可能是．

故选：．

【点评】本题考查了指数函数类型函数的性质、一元二次方程的实数根，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．

二．填空题（共3小题）

4．已知，，若满足对于任意，和至少有一个成立．则的取值范围是　　．

【分析】先判断函数的取值范围，然后根据和至少有一个成立．则的取值范围是

【解答】解：，当时，，

又，或，

在时恒成立，

即在时恒成立，

则二次函数图象开口只能向下，且与轴交点都在的左侧，

，

即，

解得，

实数的取值范围是：．

故答案为：．

【点评】本题主要考查指数函数和二次函数的图象和性质，根据条件确定在时恒成立是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

5．已知点在函数且图象上，对于函数定义域中的任意，，有如下结论：

①；

②；

③；

④

上述结论中正确结论的序号是　①④　．

【分析】求出指数函数的解析式，利用指数的基本运算性质判断①、②，根据函数的单调性判断③，根据指数的运算法则和基本不等式判断④．

【解答】解：点在函数且图象上，

，解得：，

，

①，故①正确；

②，故②错误；

③，在递增，故，故③错误；

④

故④正确；

故答案为：①④．

【点评】本题主要考查了指数的基本运算性质，指数函数单调性的应用，基本不等式的应用，属于知识的简单综合应用．

6．已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的，，，都有，则实数的最大值为　　．

【分析】先求出的解析式，求出的最小值，然后分，和两种情况判断的单调性，再根据条件求出的范围，再求出的最大值．

【解答】解：由的图象向右平移3个单位后可得，再向上平移2个单位，可得．

当，时，是增函数，（3）．

函数，

当，时，是增函数，此时（5）（5），

当时，单调递减，由，得，

，当时，，

若对于任意的，，，都有，

则，的最大值为，

综上，的最大值为．

【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质平移，根据分段函数最值的讨论以及性质的运用，属于难题．

三．解答题（共4小题）

7．已知函数为常数，且的图象过点和点．

（1）求函数的解析式；

（2）是奇函数，求常数的值；

（3）对任意的，且，试比较与的大小．

【分析】（1）将、的坐标代入，求出，的值，从而求出函数的解析式即可；

（2）根据函数奇偶性的定义求出的值即可；

（3）分别求出与的表达式，根据基本不等式的性质判断其大小即可．

【解答】解：（1）将和点代入得：

，解得：，

故；

（2）由（1），

若是奇函数，

则，

解得：；

（3）的图象是凹函数，

，

证明如下：

，

，

故．

【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数值的大小比较，考查不等式的性质，是一道中档题．

8．设函数且是奇函数．

（1）求常数的值；

（2）若，试判断函数的单调性，并加以证明；

（3）若已知（1），且函数在区间，上的最小值为，求实数的值．

【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数的值；

（2）当时，在上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；

（3）根据（1），求出，然后利用函数的最小值建立方程求解．

【解答】解：（1）且是奇函数．

，即，解得．

（2）且，

当时，在上递增．

理由如下：设，则

，

由于，则，即，

，即，

则当时，在上递增．

（3）（1），，

即，

解得或（舍去）．

，

令，

，

（1），

，

当时，，解得，不成立舍去．

当时，，

解得，满足条件，

．

【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．

9．已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求值；

（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（4）设关于的函数有零点，求实数的取值范围．

【分析】（1）根据奇函数当时的函数值为0，列出方程求出的值；

（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论；

（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；

（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出的范围．

【解答】解：（1）由题设，需，，

，

经验证， 为奇函数，．

（2）减函数

证明：任取，，，△，

，

；

，

该函数在定义域 上是减函数．

（3）由 得，

是奇函数，，

由（2）知， 是减函数

原问题转化为，即 对任意 恒成立，

△，得 即为所求．

（4）原函数零点的问题等价于方程

由（3）知，，即方程有解

，当， 时函数存在零点．

【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性的应用，利用奇函数的定义域内有0时有进行求值，函数单调性的证明必须按照定义法进行证明，即取值作差变形判断符号下结论，利用二次函数的性质，以及整体思想求出恒成立问题．

10．已知函数（其中，为常量，且，的图象经过点，．

（1）求，的值．

（2）当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数的取值范围．

（3）定义在，上的一个函数，如果存在一个常数，

使得式子对一切大于1的自然数都成立，

则称函数为“，上的函数”（其中，．

试判断函数是否为“，上的函数”．若是，则求出的最小值；

若不是，则请说明理由．（注．

【分析】（1）把点、的坐标代入函数的解析式中，求得、和的解析式；

（2）由题意构造函数，根据题意结合函数的单调性求出函数最值以及的取值范围；

（3）根据的单调性，结合题意求得的值，

从而求得的最小值．

【解答】解：（1）点，代入函数的解析式中，

得，两式相比得，

，，，；

（2）函数的图象恒在函数图象的上方，

代入，得函数的图象恒在函数图象的上方，

设，

在，上单调递减，在，上单调递减，

在，上为单调递减函数，

，

要使在轴上方恒成立，即恒成立，即；

（3）在，上单调递增，

（3）

，

的最小值为．

【点评】本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了数列求和的应用问题，是难题