2022北京二中高二11月月考数学（教师版）

这是一份2022北京二中高二11月月考数学（教师版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022北京二中高二11月月考
数 学
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.选出符合题目要求的一项）
1．在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），则z（1+i）＝（　　）
A．2 B．2i C．﹣2i D．﹣2
2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β
③若m⊥n，m∥α，则n⊥α
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β
其中错误的命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．过点（0，0）向圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1作切线，则切线长为（　　）
A． B．5 C． D．24
4．“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2＝1为双曲线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足，则点P的轨迹方程是（　　）
A． B． C．x2+y2＝2 D．x2+y2＝1
6．圆x2+2x+y2+4y﹣3＝0上到直线x+y+1＝0的距离为的点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知A（0，4），双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，则|PA|+|PF1|的最小值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
8．设椭圆+＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且满足•＝9，则||•||的值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．15
9．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG不存在公共点，则三角形PBB1的面积的最小值为（　　）

A． B．1 C． D．2
10．已知圆O：x2+y2＝2，直线l：x+2y﹣4＝0，点P（x0，y0）在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ＝45°（O为坐标原点），则x0的取值范围是（　　）
A．[0，1] B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知双曲线经过点，则它的渐近线方程为 　 　，离心率为 　 　．
12．已知实数x和y满足（x+2）2+y2＝1，则的范围是 　 　．
13．已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2＝1相外切，则ab的最大值为　 　．
14．已知椭圆的一个焦点为，直线y＝2x与以椭圆C的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若椭圆C恰好将线段AB三等分，则b2＝　 　．
15．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r的小圆在一个半径为4r的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知r＝1，起始位置时大圆与小圆的交点为A（A点为x轴正半轴上的点），滚动过程中A点形成的轨迹记为星形线C．有如下结论：
①曲线C上任意两点间距离的最大值为8；
②曲线D：|x|+|y|＝4的周长大于曲线C的周长；
③曲线C与圆 x2+y2＝4有且仅有4个公共点．
其中正确的序号为 　 　．

三、解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．（12分）已知以点A（﹣1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7＝0相切，过点B（﹣2，0）的动直线l与圆A相交于M，N两点．
（1）求圆A的方程；
（2）当MN＝2时，求直线l的方程．
17．（12分）在△ABC中，b2+c2﹣a2+bc＝0．
（Ⅰ）求∠A的大小：
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：cosB＝；
条件②：sinC＝；
条件③：a＝．
18．（12分）我校为了解高二学生数学学科的学习效果，现从高二学生第二学期期末考试的成绩中随机抽50名学生的数学成绩（单位：分），按[90，100），[100，110），⋯，[140，150]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．

（1）求m的值及这50名学生数学成绩的中位数；
（2）该学校为制订下阶段的复习计划，现需从成绩在[130，140）内的学生中任选2名作为代表进行座谈，若已知成绩在[130，140）内的学生中男女比例为2：1，求至少有1名女生参加座谈的概率．
19．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
（1）求证：MN∥平面ABCD；
（2）求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；
（3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．

20．（13分）椭圆的离心率是，点是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△AOB的面积；
（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）在数字1，2，…，n（n≥2）的任意一个排列A：a1，a2，…，an中，如果对于i，j∈N*，i＜j，有ai＞aj，那么就称（ai，aj）为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为S（A）．
如n＝4时，在排列B：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S（B）＝4．
（Ⅰ）设排列 C：3，5，6，4，1，2，写出S（C）的值；
（Ⅱ）对于数字1，2，…，n的一切排列A，求所有S（A）的算术平均值；
（Ⅲ）如果把排列A：a1，a2，…，an中两个数字ai，aj（i＜j）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b1，b2，…，bn，求证：S（A）+S（A'）为奇数．

参考答案
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分.选出符合题目要求的一项）
1．【分析】利用复数几何意义和运算法则直接求解．
【解答】解：∵在复平面内，复数z对应的点为（1，﹣1），
∴z（1+i）＝（1﹣i）（1+i）＝1﹣i2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．【分析】利用线面垂直的性质定理可判断①；利用线面垂直，及面面平行的判定定理可判断②；利用线线，线面，面面的位置关系可判断③④．
【解答】解：对于①，垂直于同一平面的两条直线平行，故①正确；
对于②，垂直于同一直线的两个平面平行，故②正确；
对于③，若m⊥n，m∥α，则n⊥α，n∥α或n⊂α，故③错误；
对于④，若α⊥β，m∥α，则m⊥β，m∥β或m⊂β，故④错误；
所以错误的命题是③④，
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中线线、线面的位置关系，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3．【分析】利用两点距离公式与勾股定理即可求得切线长．
【解答】解：因为圆（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心为C（3，4），半径为r＝1，
作出图形，连接OC，PC，易知PC⊥PO，
因为O（0，0）到C（3，4）的距离为，
所以切线长为．
故选：A．

【点评】本题考查圆的切线长的求解，属中档题．
4．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可．
【解答】解：若曲线mx2﹣（m﹣2）y2＝1为双曲线，
则对应的标准方程为，
则＞0，即m（m﹣2）＞0，
解得m＞2或m＜0，
故“m＞3”是“曲线mx2﹣（m﹣2）y2＝1为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用双曲线的定义求出m的等价条件是解决本题的关键．
5．【分析】设出点的坐标，根据向量的坐标表示，建立等量关系，代入椭圆方程，整理可得答案．
【解答】解：设P（x，y），M（m，n），N（m，0），
∴，，
又，
∴（x﹣m，y）＝（0，n），
∴，∴，∴M（x，），
又M在椭圆C：上，
∴，
∴点P的轨迹方程是x2+y2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查向量的线性运算，轨迹方程的求解，相关点法的应用，属中档题．
6．【分析】先求圆心和半径，再看圆心到直线的距离，和比较，可得结果．
【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3＝0的圆心（﹣1，﹣2），半径是 2，圆心到直线x+y+1＝0的距离是，
故圆上的点到直线x+y+1＝0的距离为的共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合的思想，是中档题．
7．【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理|PA|+|PF1|，利用三角形三边关系，可得答案．
【解答】解：由双曲线，则a2＝4，b2＝5，即c2＝a2+b2＝9，且F1（﹣3，0），F2（3，0），
由题意，作图如下：

，当且仅当A，P，F2共线时，等号成立．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想，属于基础题．
8．【分析】根据椭圆的定义可判断|PF1|+|PF2|＝8，平方得出|PF1|2+|PF2|2，再利用余弦定理求解即可．
【解答】解：∵P是椭圆+＝1一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，
∴|PF1|+|PF2|＝8，|F1F2|＝4，•＝9，即||•||cosθ＝9，
16＝||2+||2﹣2||•||cosθ
＝（||+||）2﹣2|PF1|•|PF2|﹣18＝64﹣2|PF1|•|PF2|﹣18＝16，
∴|PF1|•|PF2|＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了椭圆的定义以及简单性质的应用，焦点三角形的问题，结合余弦定理整体求解，属于中档题．
9．【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解．
【解答】解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，
∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，
∴D1P∥平面EFGHQR，
易知平面ACD1∥平面EFGHQR，
∴P∈AC，
且当P与O重合时，BP最短，
此时△PBB1的面积最小，
＝，
故选：C．

【点评】此题考查了线面平行，面面平行，有探索性质，设计较好，难度适中．
10．【分析】根据条件若存在圆C上的点Q，使得∠OPQ＝45°（O为坐标原点），等价PO≤2即可，求出不等式的解集即可得到x0的范围
【解答】解：圆O外有一点P，圆上有一动点Q，∠OPQ在PQ与圆相切时取得最大值．
如果OP变长，那么∠OPQ可以获得的最大值将变小．可以得知，当∠OPQ＝45°，且PQ与圆相切时，PO＝2，
而当PO＞2时，Q在圆上任意移动，∠OPQ＜45°恒成立．
因此满足PO≤2，就能保证一定存在点Q，使得∠OPQ＝45°，否则，这样的点Q是不存在的；
∵点P（x0，y0）在直线x+2y﹣4＝0上，∴x0+2y0﹣4＝0，即y0＝
∵|OP|2＝x02+y02＝x02+（）2＝x02﹣2x0+4≤4，
∴x02﹣2x0≤0，
解得，0≤x0≤，
∴x0的取值范围是[0，]
故选：B．

【点评】本题考查点与圆的位置关系，利用数形结合判断出PO≤2，从而得到不等式求出参数的取值范围是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．【分析】根据求双曲线标准方程及几何性质解决即可．
【解答】解：由题知，双曲线经过点，
所以，解得m＝4，
所以双曲线方程为，
所以双曲线焦点在x轴上，，
所以它的渐近线方程为y＝±2x，离心率为，
故答案为：y＝±2x；．
【点评】本题考查双曲线标准方程及几何性质，考查运算求解能力，属于基础题．
12．【分析】根据目标函数的几何意义，作图找点边界，利用直线与圆相切的性质，可得答案．
【解答】解：由，即，则可表示（x，y）与（0，0）连线的斜率，作图如下：

则（x，y）与（0，0）连线与圆相切时，取得最值，
设，则y＝kx代入（x+2）2+y2＝1，整理可得（1+k2）x2+4x+3＝0，
由直线与圆相切，则Δ＝0，即16﹣12（1+k2）＝0，解得，
故．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
13．【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得|a+b|＝3，要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b＝3，然后利用基本不等式求得ab的最大值．
【解答】解：圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4的圆心坐标为（a，﹣2），半径为2，
圆C2：（x+b）2+（y+2）2＝1的圆心坐标为（﹣b，﹣2），半径为1，
由圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2＝4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2＝1相外切，
可得，即|a+b|＝3，
要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取a＞0，b＞0，则a+b＝3，
∴ab．
故答案为：．
【点评】本题考查圆与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．
14．【分析】由题意得c＝且a2﹣b2＝5①，以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝a2，则联立直线y＝2x与椭圆C，求出交点G，H坐标，结合题意可得|GH|＝|AB|，可得a2＝11b2②，求解即可得出答案．
【解答】解：椭圆的一个焦点为，则c＝，即a2﹣b2＝5①，
以椭圆C的长轴为直径的圆的方程为x2+y2＝a2，
∵直线y＝2x过圆心（0，0），则|AB|＝2a，
则联立直线y＝2x与椭圆C的方程得，整理得（+）x2＝1，
∴x2＝，即x＝或x＝﹣，
∴直线y＝2x与椭圆C的交点坐标为G（，），H（﹣，﹣），
∴|GH|＝，
又椭圆C恰好将线段AB三等分，则|GH|＝|AB|，即•2a＝，
∴a2＝11b2②，
联立①②得b2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的性质和直线与椭圆的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
15．【分析】根据题意，分析曲线C的图形，据此分析3个结论，即可得答案．
【解答】解：根据题意，曲线C的形状如图：其中A（0，4），B（﹣4，0），C（0，﹣4），D（4，0），
由此分析3个结论：
对于①，曲线C上，AC或BD之间的距离最大，且|AC|＝|BD|＝8，即任曲线C上任意两点间距离的最大值为8，正确；
对于②曲线D：|x|+|y|＝4，图形为图中的正方形，必有D的周长小于曲线C的周长；
对于③，曲线C与圆 x2+y2＝4有且仅有4个公共点，即ABCD四点，正确；
正确的是①③，
故答案为：①③．

【点评】本题考查曲线的轨迹，涉及命题真假的判断，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16．【分析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；
（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．
【解答】解：（1）易知A（﹣1，2）到直线x+2y+7＝0的距离为圆A半径r，
∴，
∴圆A方程为（x+1）2+（y﹣2）2＝20
（2）垂径定理可知∠MQA＝90°．且，
在Rt△AMQ中由勾股定理易知
设动直线l方程为：y＝k（x+2）或x＝﹣2，显然x＝﹣2合题意．
由A（﹣1，2）到l距离为1知．
∴3x﹣4y+6＝0或x＝﹣2为所求l方程．（7分）
【点评】本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，即可得解；
（Ⅱ）选择条件①②：易知cosC＝，再由cosB＝﹣cos（A+C），计算可得cosB＝≠，故△ABC不存在；
选择条件①③：利用正弦定理可得b＝＞a，与“大边对大角”不符合，故△ABC不存在；
选择条件②③：先利用正弦定理求得c＝，再由sinB＝sin（A+C），计算sinB的值，最后根据S＝acsinB，得解．
【解答】解：（Ⅰ）因为b2+c2﹣a2+bc＝0，所以b2+c2﹣a2＝﹣bc，
由余弦定理知，cosA＝＝＝﹣，
因为A∈（0，π），所以A＝．
（Ⅱ）选择条件①②：cosB＝，sinC＝，
因为A＝，所以C∈（0，），所以cosC＝，
所以cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC＝﹣（﹣）×+×＝≠，
故△ABC不存在．
选择条件①③：cosB＝，a＝，
因为A＝，所以B∈（0，），所以sinB＝，
由正弦定理知，＝，即＝，
所以b＝＞a，
故△ABC不存在．
选择条件②③：sinC＝，a＝，
由正弦定理知，＝，即＝，所以c＝，
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝×+（﹣）×＝，
所以△ABC的面积为S＝acsinB＝×××＝．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合，熟练掌握正弦定理、余弦定理、两角和差公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）根据频率之和为1，设中位数为x计算即可；
（2）列举法解决即可．
【解答】解：（1）由题知，（0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m）×10＝1，
解得m＝0.008，
设这50名学生数学成绩的中位数为x，
所以0.004×10+0.012×10+0.024×10+0.04（x﹣120）＝0.5，解得x＝122.5，
所以这50名学生数学成绩的中位数为122.5．
（2）由频率分布直方图知，成绩在[130，140）内的学生有0.012×10×50＝6名，
因为成绩在[130，140）内的学生中男女比例为2：1，
所以6名学生中男生有4名，女生有2名，记男生分别为A，B，C，D，女生分别为a，b，
所以从6名学生中任选2名情况有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15种，
其中至少有1名女生的有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，ab，共9种，
所以至少有1名女生参加座谈的概率为．
【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
19．【分析】（1）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABCD的法向量，＝（0，，0），通过•＝0，证明MN∥平面ABCD．
（2）求出平面ACD1的法向量，平面ACB1的法向量，利用空间向量的数量积求解平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值．
（3）设＝λ，其中λ∈[0，1]，求出平面ABCD的法向量，利用空间向量的数量积求，利用cos＜，＞＝，即可推出线段A1E的长为﹣2．
【解答】（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），
D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），
C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，
得M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
可得＝（0，0，1）为平面ABCD的法向量，＝（0，，0），
由此可得•＝0，又因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN∥平面ABCD．
（2）解：＝（1，﹣2，2），＝（2，0，0），
设＝（x，y，z）为平面ACD1的法向量，则，
即，
不妨设z＝1，可得＝（0，1，1）．
设＝（x，y，z）为平面ACB1的法向量，又＝（0，1，2），
则，
得，不妨设z＝1，可得＝（0，﹣2，1）．
因此有cos＜，＞＝＝﹣，
即平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值为．
（3）解：依题意，可设＝λ，其中λ∈[0，1]，
则E（0，λ，2），从而＝（﹣1，λ+2，1），又＝（0，0，1）为平面ABCD的法向量，
由已知直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，
得cos＜，＞＝＝＝，
整理得λ2+4λ﹣3＝0，
又因为λ∈[0，1]，解得λ＝﹣2，
所以，线段A1E的长为﹣2．

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．
20．【分析】（1）根据题意，结合椭圆的标准方程与几何性质，列出方程组求解即可；
（2＞联立直线与椭圆方程，从而利用弦长公式求得|AB|，再利用点线距离公式求得d，由此即可求得sAOB的面积；
（3）分类讨论，当l平行于x轴时，判断得Q点在y轴上；当l垂直于x轴时，进一步求得Q（0，2）；当1不平行于x轴且不垂直于x轴时，验证得Q（0，2）满足一般情况，从而得解．
【解答】解：（1）根据题意，得，解得，
椭圆C的方程为+＝1．
（2）依题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线l为y﹣1＝x，即y＝x+1，
联立，消去y得3x2+4x﹣2＝0，
所以Δ＝42﹣4×3×（﹣2）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
故|AB|＝|x1﹣x2|＝×＝＝，
又因为O（0，0）到直线l的距离为d＝＝，
所以S△AOB＝|AB|•d＝×＝．
（3）当l平行于x轴时，设直线与椭圆相交于C，D两点，如果存在点Q满足条件，
则有＝＝1，即|QC|＝|QD|，
所以Q点在y轴上，可设Q的坐标为（0，y0）；
当1垂直于x轴时，设直线与椭圆相交于M，N两点，如果存在点Q满足条件，
则有＝，即＝，
解得y0＝1或y0＝2，
所以若存在不同于点P的定点Q满足条件，则点Q的坐标为（0，2）；
当l不平行于x轴且不垂直于x轴时，设直线l方程为y＝kx+1，
联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0，
易得Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0，，
又因为点B关于y轴的对称点B'的坐标为（﹣x2，y2），
又，，
则，
所以kQA＝kQB′，则Q，A，B'三点共线，
所以；
综上：存在与点P不同的定点Q，使恒成立，且Q（0，2）．

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于难题．
21．【分析】（Ⅰ）由逆序对的定义，列举即可得到所求值为10；
（Ⅱ）考察排列D：d1，d2，…，dn﹣1，dn，运用组合数可得排列D中数对（di，dj）共有个，即可得到所有S（A）的算术平均值；
（Ⅲ）讨论（1）当j＝i+1，即ai，aj相邻时，（2）当j≠i+1，即ai，aj不相邻时，由新定义，运用调整法，可得S（A）+S（A'）为奇数．
【解答】解：（Ⅰ）逆序对有（3，1），（3，2），（5，4），（5，1），（5，2），（4，1），（4，2），
（6，4），（6，1），（6，2）则S（C）＝10；
（Ⅱ）考察排列D：d1，d2，…，dn﹣1，dn与排列D1：dn，dn﹣1，…，d2，d1，
因为数对（di，dj）与（dj，di）中必有一个为逆序对（其中1≤i＜j≤n），
且排列D中数对（di，dj）共有个，
所以．
所以排列D与D1的逆序对的个数的算术平均值为．
而对于数字1，2，…，n的任意一个排列A：a1，a2，…，an，
都可以构造排列A1：an，an﹣1，…，a2，a1，
且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．
所以所有S（A）的算术平均值为．
（Ⅲ）证明：（1）当j＝i+1，即ai，aj相邻时，
不妨设ai＜ai+1，则排列A'为a1，a2，…，ai﹣1，ai+1，ai，ai+2，…，an，
此时排列A'与排列A：a1，a2，…，an相比，仅多了一个逆序对（ai+1，ai），
所以S（A'）＝S（A）+1，
所以S（A）+S（A'）＝2S（A）+1为奇数．
（2）当j≠i+1，即ai，aj不相邻时，
假设ai，aj之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，ai，k1，k2，…km，aj，…，an，
先将ai向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，ai﹣1，k1，ai，k2，…，km，aj，…，an，
由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，
再将ai向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，ai﹣1，k1，k2，ai，k3，…，km，aj，…，an，
由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，
以此类推，ai共向右移动m次，得到排列Am：a1，a2，…，k1，k2，…，km，ai，aj，…，an，
再将aj向左移动一个位置，得到排列Am+1：a1，a2，…，ai﹣1，k1，…，km，aj，ai，…，an，
以此类推，aj共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，aj，k1，…，km，ai，…，an，
即为排列A'，
由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，
而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，
所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，
所以S（A）+S（A'）为奇数．
综上，得S（A）+S（A'）为奇数．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查列举法和排列组合的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．