2022北京首都师大育新学校高一12月月考数学（教师版）

2022北京首都师大育新学校高一12月月考

数    学

2022.12.1

卷面满分：100分   答题时间：90分钟

（特别提示：试题答案一律写在答题纸上）

一、选择题（每题有且只有一个正确选项，每小题4分，10小题，共40分）

1. 函数的定义域是．

A  B.  C.  D.

2. 在下列各组中，与表示同一函数是（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

3. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 函数的零点所在的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数为奇函数,且当时, ,则

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

8. 如果函数的图像与函数的图像关于直线对称，那么的解析式是（    ）.

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数，则“”是“对任意的，都有”成立的（    ）

A. 充要条件 B. 既不充分又不必要条件

C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件

10. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”.若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（每小题4分，5小题，共20分）

11. 函数（且）恒过定点______．

12. ______；

13. 已知函数，则不等式解集为______.

14. 已知函数的图象过点，其反函数的图象过点，则______，______．

15. 函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数．设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：

①；②；③．

则_____________，_____________．

三、解答题（每小题10分，4小题，共40分）

16. 已知：函数，问当取什么值时，函数是

（1）正比例函数；

（2）幂函数且在上为增函数.

17 已知函数.

（1）求的定义域；

（2）判断函数的奇偶性.

18. 已知.

（1）若不等式的解集为，求实数、的值；

（2）若时，对于任意的实数，都有，求的取值范围.

19. 已知函数(为常数)是奇函数

（1）求的值；

（2）函数，若函数有零点，求参数的取值范围.

参考答案

一、选择题（每题有且只有一个正确选项，每小题4分，10小题，共40分）

1. 【答案】D

【解析】

【详解】要使函数有意义，则需，解得：，所以函数的定义域是：

，故选．

2. 【答案】B

【解析】

【分析】根据同一函数满足定义域，对应法则与值域相同判断即可.

【详解】对A，，与定义域不同，故A错误；

对B，，与相同，故B正确；

对C，，与定义域不同，故C错误；

对D，与定义域不同，故D错误；

故选：B

3. 【答案】C

【解析】

【分析】根据二次不等式与对数函数的定义域分别求解再求交集即可.

【详解】，.故.

故选：C

4. 【答案】D

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性与单调性逐个判断即可.

【详解】对A，是偶函数但在上单调递增，故A错误；

对B，不是偶函数，故B错误；

对C，不是偶函数，故C错误；

对D，是偶函数且在上单调递减，故D正确；

故选：D

5. 【答案】D

【解析】

【分析】利用的单调性，可比较a和b的大小，利用中间值1，可比较a与c的大小，即可得答案.

【详解】因为在R上为单调递增函数，所以，即，

又在上为单调递增函数，所以，所以.

故选：D

6. 【答案】B

【解析】

【分析】

结合题中选项，分别计算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】易知函数是增函数，且，，

由函数零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间是.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

在判定函数零点所在区间时，一般根据函数零点存在性定理来判断，要求学生要熟记零点存在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断.

7. 【答案】A

【解析】

【详解】因为是奇函数，所以，故选A.

8. 【答案】B

【解析】

【分析】，则，，计算反函数得到答案.

【详解】函数的图像与函数的图像关于直线对称，

即为的反函数，，则，，

故.

故选：B.

【点睛】本题考查了求函数的反函数，属于简单题.

9. 【答案】C

【解析】

【分析】由推导出函数为减函数，可求得实数的取值范围，再结合集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】对任意的，都有，可设，则，

所以，函数为上的减函数，所以，.

，因此，“”是“对任意的，都有”成立的充分不必要条件.

故选：C.

10. 【答案】B

【解析】

【分析】

根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.

【详解】解：根据题意，函数是“阶准偶函数”，

则集合中恰有个元素.

当时，函数有一段部分为，注意的函数本身具有偶函数性质，故集合中不止有两个元素，矛盾，

当时，根据“阶准偶函数”定义得的可能取值为或，为，故当，该方程无解，当，解得或，故要使得集合中恰有个元素，则需要满足，即；

当时，函数，取值为，为，根据题意得满足恰有两个元素，故满足条件.

综上，实数的取值范围是.

故选：B

【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，进而根据方程有两个解或求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.

二、填空题（每小题4分，5小题，共20分）

11. 【答案】

【解析】

【分析】根据可确定函数所过定点坐标.

【详解】解：若且，则有

于是，所以函数（且）恒过定点.

故答案为：.

12. 【答案】9

【解析】

【分析】

根据指数、对数的运算法则以及对数恒等式完成计算.

【详解】

，

故答案为：.

13. 【答案】

【解析】

【分析】按定义和分类解不等式即可．

【详解】时，，则，

时，，则，即，故.

综上，原不等式解集为．

故答案为：．

14. 【答案】    ①. 3    ②. 1

【解析】

【分析】反函数的图象过点，则原函数图像过点，将点，代入函数，列方程求解即可．

【详解】由函数的图象过点，

得①，

由原函数的反函数的图象过点，知原函数的图象过点，

即②，

由①②得，1．

故答案为，1．

【点睛】本题考查的知识点是反函数，正确理解互为反函数的函数上的点的坐标关系，是解答的关键．

15. 【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】根据函数新定义，结合已知条件利用赋值法，即可求得结果.

【详解】由①③，令x＝0，可得，

由②，令x＝1，可得＝f(1)＝.

令x＝，可得，

由③结合＝，令，则＝，

由②，令x＝，可得＝＝，

因为＜＜且函数f(x)在[0,1]上为非减函数，

所以，即，故＝，

所以＝.

故答案为：，.

三、解答题（每小题10分，4小题，共40分）

16. 【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据正比例函数解析式的特征可知系数不为0，指数为1，建立方程组，解之即可；

（2）根据幂函数的解析式的特点可知系数为1，且，建立方程解之即可．

【小问1详解】

若是正比例函数，则，由得，解得或，此时满足得．

【小问2详解】

若是幂函数，则，即，此时或，

当时在上单调递减，不符题意，舍去；

当时在上单调递增，符号题意；

故．

17. 【答案】（1）   

（2）为奇函数.

【解析】

【分析】（1）根据对数的真数大于零可求得原函数的定义域；

（2）利用函数奇偶性的定义判断可得出结论.

【小问1详解】

对于函数，有，可得，解得或，

所以，函数的定义域为.

【小问2详解】

函数的定义域为，

，故函数为奇函数.

18. 【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）本题首先可根据题意得出方程的两根为、，然后通过计算并检验即可得出结果；

（2）本题首先可根据得出，然后结合题意得出对于任意的实数都有，最后令，分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.

【详解】（1）因为的解集为，，

所以方程的两根为、，

故，解得，

经检验：当、时，不等式的解集为.

（2）当时，，

对于任意的实数，都有，

即对于任意的实数，都有，

令，

当时，恒成立；

当时，函数是增函数，即，解得；

当时，函数是减函数，即，解得，

综上所述，，的取值范围为.

【点睛】本题考查根据不等式的解集求参数以及根据不等式恒成立求参数范围，考查一元二次不等式与二次函数之间的关系，考查含参数的不等式的解法，考查分类讨论思想，是中档题.

19. 【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用列方程，化简求得的值.

（2）令，转化为，求得的值域，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】（1）函数的定义域为，

根据奇函数的定义，应有，

即，

即，

，

，，

所以，

（2），

令，得

，那么，

的值域为，

所以，

即或

解得：或.

所以参数的取值范围是.

【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的值域、零点等知识.