江苏省南京市第一中学2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省南京市第一中学2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷，共27页。试卷主要包含了下列方程是一元二次方程的是，平面内，若的半径为2，，则点在，一元二次方程的根是 　　等内容，欢迎下载使用。

江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷

一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A ． B ．
C ． D ．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是　　
A． B． C． D．
3．平面内，若的半径为2，，则点在　　
A．内 B．上 C．外 D．内或外
4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形　　
A． B． C． D．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为　　
A．2021 B．2023 C． D．4046
6．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为　　


A． B． C． D．5
二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．一元二次方程的根是 　　．
8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 　　．

9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为　 　．

10．关于的一元二次方程的一个根为0，则　　．
11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是　 　．

12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 　　．
13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为　　．

14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则　　．

15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为　　．
16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为　　．

三．解答题（本大题共10小题，共88分）
17．解下列一元二次方程：
（1）； （2）；



（3）； （4）．




18．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．




19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．



20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．




21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．
（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．





22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．

23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．
（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．





24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，，当　　时，四边形为菱形；
（3）若，，则　　．





25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：直线与相切．
（2）若，，求的长．










26．【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】

（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则　　，　　；
（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 　　；（用的代数式表示）
【问题解决】
（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；

【实际应用】
（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 　　．


江苏省南京市南京一中2023~2024学年九年级上学期10月月考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A ． B ．
C ． D ．
【考点】：一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可 ．
【解答】解：、原方程可化为，是一元一次方程， 故本选项错误；
、若，则此方程是一元一次方程， 故本选项错误；
、符合一元二次方程的定义， 故本选项正确；
、是分式方程， 故本选项错误 ．
故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义， 即只含有一个未知数， 并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程 ．
2．用配方法解方程，下列配方正确的是　　
A． B． C． D．
【考点】解一元二次方程配方法
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程左右两边同时加上4，然后把方程左边写成完全平方式的形式即可．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
3．平面内，若的半径为2，，则点在　　
A．内 B．上 C．外 D．内或外
【考点】：点与圆的位置关系
【分析】根据半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，可得答案．
【解答】解：由题意得，，．
，
点在内，
故选：．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
4．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形　　
A． B．
C． D．
【考点】圆周角定理
【分析】由半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．即可求得答案．
【解答】解：的圆周角所对的弦是直径，
选项是半圆环形．
故选：．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记的圆周角所对的弦为直径是解题的关键．
5．若，是方程的两个实数根，则的值为　　
A．2021 B．2023 C． D．4046
【考点】根与系数的关系
【分析】由是方程的根可得，由，是方程的两个实数根可得，进而求解．
【解答】解：，是方程的两个实数根，
，即，且，
．
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握，通过整体思想求解．
6．如图，为直径，为圆上一点，为 内心，交于， 于，若，则为　　


A． B． C． D．5
【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理
【分析】连接、、，由已知可得，进而可证，勾股定理计算，连接交于点，则，设，利用求，再利用勾股定理求即可．
【解答】解：连接、、，
为 内心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
连接交于点，则，
设，则，
，
，
解得：，
，
，
为直径，
，
，
故选：．

【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出是解此题的关键，有一定的难度．
二．填空题（共10小题）
7．一元二次方程的根是 　　．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】用配方法求解即可．
【解答】解：，
，
，，
故答案为：，，．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的方法和步骤．
8．如图，是的直径，、在上，若，则的度数为 　20　．

【考点】圆周角定理
【分析】由为直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，根据题意即可求得的度数，然后由同弧所对的圆周角相等，即可求得的度数．
【解答】解：为直径，
，
，
，
．
故答案为：20．
【点评】此题考查了圆周角的性质．注意直径所对的圆周角是直角与同弧所对的圆周角相等．
9．如图，为的直径，弦于点，若，，则的长为　 　．．

【考点】：垂径定理
【分析】连接，根据题意得出，再由垂径定理知，点是的中点，，在直角中，由勾股定理得出，从而得出的长．
【解答】解：连接，
为的直径，，
，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案为8．

【点评】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键．
10．关于的一元二次方程的一个根为0，则　1　．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义
【分析】把代入方程中得：，从而可得：，然后再根据一元二次方程的定义可得，从而可得，即可解答．
【解答】解：把代入方程中得：
，
解得：，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定义是解题的关键．
11．如图，、分别与相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若长为2，则的周长是　4　．

【考点】：切线的性质
【分析】由切线长定理知，，，，然后根据的周长公式即可求出其结果．
【解答】解：、分别与相切于点、，
的切线分别交、于点、，切点在上，
，，，
的周长．
故填空答案：4．
【点评】本题主要利用了切线长定理求解，比较简单．
12．劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种农作物的产量两年内从300千克增加到363千克，则平均每年增产的百分率为 　　．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】可先表示出第一年的产量，那么第二年的产量增长率），把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为，第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为，
则列出的方程是．
解得：，（舍去）
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
13．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为　　．

【考点】：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理
【分析】连接，根据三角形的外角的性质、圆周角定理计算即可
【解答】解：连接，
的度数，
．
故答案为．

【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．
14．如图，圆是四边形的内切圆，若，则　　．

【考点】三角形的内切圆与内心；多边形内角与外角
【分析】先根据切线长定理得到，，，，再利用三角形内角和计算出，则，接着利用四边形内角和计算出，所以，然后根据三角形内角和计算的度数．
【解答】解：圆是四边形的内切圆，
平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点；三角形的内心到三角形三边的距离相等．也考查了切线的性质和切线长定理．
15．在半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对圆周角的度数为　或　．
【考点】圆心角、弧、弦的关系
【分析】根据题意画出相应的图形，由，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出与的长，且得出为角平分线，在中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，即可求出弦所对圆周角的度数．
【解答】解：如图所示，

，
为的中点，即，
在中，，，
，
又为锐角，
，
，
，
又圆内接四边形对角互补，
，
则此弦所对的圆周角为或．
故答案为或
【点评】此题考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数值，以及锐角三角函数定义，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
16．如图，在中，，，，、分别是、上的一点，且，若以为直径的圆与斜边相交于、，则的最大值为　　．

【考点】直线与圆的位置关系
【分析】如图，连接，作于，于．由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【解答】解：如图，连接，作于，于．

，
，
，
，，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
点的运动轨迹是以为圆心为半径的圆，
在中，，，
，
，
，
当，，共线，且与重合时，的值最小，
的最小值为，
的最大值，
故答案为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共10小题）
17．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考点】解一元二次方程配方法；解一元二次方程直接开平方法；解一元二次方程因式分解法
【解答】解：（1），
，
所以，；
（2），
，
所以，；
（3），
，
或，
所以，；

（4），
，
，
所以，．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
18．已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若中，，，的长是方程的两根，求的长．
【考点】解一元二次方程因式分解法；根的判别式；三角形三边关系
【分析】（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△，建立关于的不等式，即可求出的取值范围．
（2）由于是方程，所以可以确定的值，进而再解方程求出的值．
【解答】解：（1）方程有实数根，
△，
解得：，
又因为是二次项系数，所以，
所以的取值范围是且．
（2）由于是方程，
所以把代入方程，可得，
所以原方程是：，
解得：，，
所以的值是．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数．
19．如图，是的弦，点、在弦上，且．求证：．

【考点】：垂径定理
【分析】过点作，垂足为，由垂径定理可知，再由可判断出是等腰三角形，由等腰三角形的性质可知，进而可求出答案．
【解答】证明：过点作，垂足为，（1分）
，（2分）
，且，
，（4分）
，
．（6分）

【点评】本题考查的是垂径定理及等腰三角形的判定及性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
20．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求、边各为多少米．

【考点】一元二次方程的应用
【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．
【解答】解：设为米，则为米，

解得：，
当时
（不合题意，舍去）
当时
．
答：米，米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边的长，并用未知数表示出另一边的长．
21．某药店在口罩销售中发现：一款进价为10元盒的口罩，销售单价为16元盒时，每天可售出60盒．药店在销售中发现：若销售单价每降价1元，则每天可多售出30盒，设每盒降价元，为整数）．
（1）为了尽快减少库存，当每盒降价多少元时，每天可盈利450元？
（2）在满足药店正常销售的情况下，每盒降价多少元时，可取得最大利润，并求此时最大利润．
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】设每盒降价元，为整数），则利润也将元，根据利润等于每盒的利润乘以数量，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）设每盒降价元，为整数），根据题意得，，
解得：，，
尽快减少库存，
，
答：为了尽快减少库存，当每盒降价3元时，每天可盈利450元；
（2）设每盒降价元，为整数），利润为元，
根据题意得，，

当时，取得最大值，最大值为480，
答：每盒降价2时，可取得最大利润，此时最大利润为480元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出一元二次方程，函数关系式是解题的关键．
22．用一个直角边长分别为3和4的直角纸片剪半圆，要求剪出的半圆的直径在的边上，且半圆的弧与另两边都相切，请用尺规作出示意图，并求出相应半圆的半径．

【考点】切线的性质
【分析】根据切线的性质得到，，根据三角形的面积公式求出半圆的半径．
【解答】解：如图，作的平分线交于，则点为所要剪出的半圆的圆心，
设半圆与、切于、，连接、，
则，，
设半圆的半径为，
则，
解得：，
答：半圆的半径为．

【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23．若关于的方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程的两个根是，，则方程是“隔根方程”．
（1）方程是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
（2）若关于的方程是“隔根方程”，求的值．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，二者做差后可得出，进而可得出方程不是“隔根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为，，结合关于的方程是“隔根方程”，可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出的值．
【解答】解：（1）不是，理由如下：
，即，
，．
，
方程不是“隔根方程”．
（2），即，
，．
又关于的方程是“隔根方程”，
，
解得：或．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的两个根是解题的关键．
24．如图，在中，，以为直径作交于点，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）连接，，当　　时，四边形为菱形；
（3）若，，则　　．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得出底角相等，设，由题意求出即可证明；
（2）若四边形为菱形，求证 为等边三角形即可．
（3）连接，，根据勾股定理，即可求出．
【解答】（1）证明：，
，设，
在圆内接四边形中，，
，
，
，
（2）解：若四边形为菱形，则．
．同理，
．
．
．
为等边三角形．
．
故答案为：．
（3）解：如图，连接，

，
．在 中，，
在 中，．
连接，则．
．
在 中，．
故答案为：．
【点评】本题考查与圆有关的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
25．如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接．
（1）求证：直线与相切．
（2）若，，求的长．

【考点】直线与圆的位置关系；切线的判定与性质
【分析】（1）根据平行线的性质，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定方法可得，进而得到即可；
（2）根据勾股定理和相似三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：如图，连接，
是的切线，是切点，
，
即，
，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
（2）解：设半径为，则，在中由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
，
，
即，
解得．

【点评】本题考查切线的判定，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
26．【问题提出】
我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那么，在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？
【初步思考】

（1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则　50　，　　；
（2）如图2，是的弦，圆心角，点是上不与、重合的一点，求弦所对的圆周角的度数为 　　；（用的代数式表示）
【问题解决】
（3）如图3，已知线段，点在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点所组成的图形①直尺为无刻度直尺；②不写作法，保留作图痕迹）；

【实际应用】
（4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点、D分别是边、上的动点，连接、，交于点，若始终保持，当点从点运动到点时，的最小值是 　　．

【考点】圆的综合题
【分析】（1）根据圆周角定理计算的度数，然后根据圆内接四边形的性质求的度数；
（2）与（1）的求法一样（注意分类讨论）；
（3）先作的垂直平分线得到的中点，再以为直径作圆交的垂直平分线于，然后以点为圆心，为半径作，则在内的弧为满足条件的点所组成的图形；
（4）由等边三角形的性质证明可以得出，点的路径是一段弧，由题目不难看出当为的中点的时候，点经过弧的中点，此时为等腰三角形，且，由弧线长公式就可以得出结论．
【解答】解：（1），
．
故答案为：50，130；
（2）当在优弧上时，；
当在劣弧上时，；
（3）如图劣弧（实线部分且不包含、两个端点）就是所满足条件的点所组成的图形；

（4）【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，∴点P的运动轨迹是，∠AOB＝120°，连接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴
∴OC＝2OB=，∴OP＝
∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥，∴PC的最小值为．

【点评】本题主要考查圆周角定理、圆内角四边形性质、等边三角形的性质的运用、全等三角形的判定及性质的运用、弧线长公式的运用，解题关键是证明三角形全等，本题还考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．