备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题11-导数中的同构问题

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2024高考数学二轮复习重难点专题11导数中的同构问题【考点预测】知识点一、常见的同构函数图像 函数表达式图像函数表达式图像函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点过定点函数极值点函数极值点函数极值点函数极值点 知识点二：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用：（1）在方程中的应用：如果方程和呈现同构特征，则可视为方程的两个根（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。<同构小套路>①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”：，；寻找“亲戚函数”是关键；③信手拈来凑同构，凑常数、、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调性求参数范围.（3）在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解3、常见的指数放缩：4、常见的对数放缩：5、常见三角函数的放缩：6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：（1） 且时，有（2） 当 且时，有再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中）（3）（4）（5）（6）再结合常用的切线不等式lnxx-1， 等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：（7）；（8）； 【题型归纳目录】题型一：不等式同构题型二：同构变形题型三：零点同构题型四：利用同构解决不等式恒成立问题题型五：利用同构求最值题型六：利用同构证明不等式【典例例题】题型一：不等式同构例1．已知，且，，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据单调性即可确定的大小.【详解】设函数，，当，此时单调递增，当，此时单调递减，由题，，，得，因为，所以，则，且，所以.故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小. 题型二：同构变形例2．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)，.(2)，.(3)，.(4)，.(5)，.(6)，.(7)，.(8)，.【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.(1)显然，则，.(2)显然，则，.(3)显然，则，.(4)显然，则，.(5)，.(6)，，.(7)，.(8)，.题型三：零点同构例3．已知函数有两个零点，则a的最小整数值为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】先将函数化为，令，进而只需说明在R上有两个零点，然后对函数求导，讨论出函数的单调区间和最值，最后通过放缩法解决问题.【详解】，设，，即函数在上单调递增，易得，于是问题等价于函数在R上有两个零点，，若，则，函数在R上单调递增，至多有1个零点，不合题意，舍去；若，则时，，单调递减，时，，单调递增.因为函数在R上有两个零点，所以，而，限定 ，记，，即在上单调递增，于是，则时 ，，此时，因为，所以，于是时，.综上：当时，有两个交点，a的最小整数值为2.故选：C.题型四：利用同构解决不等式恒成立问题例4．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））若对任意，恒有，则实数的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.【详解】由题意可知，不等式变形为.设，则.当时，即在上单调递减.当时，即在上单调递增.则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.所以，即在上单调递增.若使得对任意，恒有成立.则需对任意，恒有成立.即对任意，恒有成立，则在恒成立.设则.当时，，函数在上单调递增当时，，函数在上单调递减则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.所以，即，则实数的最小值为.故选：D【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.例5．已知函数，不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】问题等价于对任意恒成立，构造函数，利用导数求出函数的单调性，根据单调性求出的最小值，即可求出m的取值范围.【详解】由题可得对任意恒成立，等价于对任意恒成立，令，则，令，则，在单调递增，，存在唯一零点，且，使得，在单调递减，在单调递增，，，即，令，显然在单调递增，则，即，则，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式的恒成立问题，解题的关键是分离参数，将题目转化为求解的最小值.题型五：利用同构求最值例6．已知函数，，若，，则的最小值为（       ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知条件可推得，即有，结合目标式化简可得，令，利用导函数研究其单调性并确定区间最小值，即为的最小值.【详解】由题意，，得，∴，即，又，得∵在上单调递增，∴综上知：，∴，令，，则∴，得；，得；故在上单调递减，在上单调递增.∴，故选：C【点睛】关键点点睛：根据条件的函数关系确定参数的等量关系，结合目标式化简并构造函数，应用导数研究函数的单调性，进而确定区间最小值.题型六：利用同构证明不等式例7．已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)若，求证：函数有两个零点，且.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导，分和讨论单调性即可；（2）先讨论当时无零点，再讨论时，通过同构得到，即，确定在上的零点，即可证明有两个零点；由相减得，换元令，进而得到，通过放缩构造函数即可求证.(1)定义域为，，当时，，在上单调递增；当时，由得，当时，单调递减，当时，单调递增；综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)当时，因为，所以，无零点.当时，由，得，即，设，则有，因为在上成立，所以在上单调递减，当时，，所以等价于，即，所以的零点与在上的零点相同.若，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，又， ，，所以在和上各有一个零点，即在上有两个零点，综上有两个零点.不妨设，则，相减得，设，则，代入上式，解得，所以，因为，所以，因此要证，只需证，即证，设，则，所以在递增，，即，因为，所以可化成，又因为，所以.