备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题16-向量中的隐圆问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题16

向量中的隐圆问题

【考点预测】

一．向量极化恒等式推出的隐圆

乘积型：

定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆

证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．

二．极化恒等式和型：

定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。

证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．

三．定幂方和型

若为定点，，则的轨迹为圆．

证明：

．

四．与向量模相关构成隐圆

【典例例题】

例1．在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】

解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，

因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，

设，，

所以，，

所以

，其中，，

因为，所以，即；

故选：D

例2．已知向量，，满足，在方向上的投影为2，，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设，向量的夹角为，可得，即可求出，不妨设，，设，由，整理可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，而，结合圆的性质，可求出的最小值.

【详解】

设，向量的夹角为，则，则，

因为，所以.

不妨设，，设，

则，整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，半径的圆，记圆心为，

又，即，

当直线过圆心，且垂直于轴时，可取得最小值，即.

故选：A.

【点睛】

本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用数形结合的方法，属于难题.

例3．平面向量满足，与的夹角为，且则的最小值是___．

【答案】##

【解析】

【分析】

设，，设，根据结合数量积的运算求得C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,利用的几何意义可求得答案.

【详解】

由题意不妨设O为坐标原点，令，，设，

由于,

∴，∴，

即，故C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆,

故，

故答案为：

例4．已知，满足，，则的最大值为______．

【答案】4

【解析】

【分析】

，，得到，，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以为半径的圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果.

【详解】

因为，，如图，

圆O的半径为，点A，B在圆上，

以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，

设，，则，．

设，

则，

当时，有最大值，最大值为4，

此时，的最大值为4．

故答案为：4.

例5．已知平面向量，满足＝＝1，·＝－，若＝1，则的最大值为______.

【答案】##

【解析】

【分析】

以P为原点，PA为x轴建立坐标系，求出C的轨迹即可求解.

【详解】

如图，以P为原点，PA为x轴建立坐标系.

∵＝＝1，·＝－，∴∠APB＝120°，

∵＝1，故C在以B为圆心，1为半径的圆B上，

，，，

∴的最大值为：.

故答案为：.