备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题20-线线角、线面角、二面角与距离问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题20

线线角、线面角、二面角与距离问题

【考点预测】

知识点1：线与线的夹角

（1）位置关系的分类：

（2）异面直线所成的角

①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

②范围：

③求法：平移法：将异面直线平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．

知识点2：线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：

③求法：

常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；

知识点3：二面角

（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面．（二面角或者是二面角）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角；范围．

（3）二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．

法二：三垂线法

在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点，作于；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接；

③计算：为二面角的平面角，在中解三角形．

图1                    图2                    图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小；

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题．

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．

例如：过二面角内一点作于，作于，面交棱于点，则就是二面角的平面角．如图3．此法实际应用中的比较少，此处就不一一举例分析了．

知识点4：空间中的距离

求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解．

【题型归纳目录】

题型一：异面直线所成角

题型二：线面角

题型三：二面角

题型四：距离问题

【典例例题】

题型一：异面直线所成角

例1．在三棱锥中，已知平面，，若，，则与所成角的余弦值为___________．

【答案】

【解析】如图，取中点，连接，

所以，则（或其补角）即为与所成角，

因为平面，所以，所以，则，

因为，所以，所以，

取中点，连接，所以，所以平面，

所以，又，，

所以，

所以．

所以与所成角的余弦值为．

故答案为：．

题型二：线面角

例2．已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．

【答案】

【解析】如图所示，连接交平面于，连接，

由题意可知平面，

所以是与平面所成的角，

所以＝．

由可得，即．

在四面体中，，，

所以四面体为正三棱锥，为的重心，

如图所示：

所以解得，，

又因为，

所以，

即在平面内的轨迹是以O为圆心，半径为1的圆，

所以．

故答案为：．

例3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，M，N分别是AB和CD的中点，P是BM的中点．将矩形AMND沿MN折起，形成多面体AMB－DNC．

（1）证明：BD平面ANP；

（2）若二面角A－MN－B大小为120°，求直线AP与平面ABCD所成角的正弦值．

【解析】（1）证明：连接MD交AN于点O，连接OP，

∵四边形AMND为矩形

∴O为MD的中点，

又∵P为BM的中点

∴，

∵BD平面ANP，OP平面ANP，

∴BD平面ANP

（2）∵，，

∴∠AMB即为二面角的平面角，，且MN⊥平面ABM，

∴BC⊥平面ABM，

∵BC平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面ABM

过P作于点Q，∴PQ⊥平面ABCD，

∴∠PAB即为AP与平面ABCD所成角，

，，，

∴，，

∴

∴，

∴．

题型三：二面角

例4．如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．

（1）证明：平面；

（2）若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．

【解析】（1）证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，

所以且，所以四边形是平行四边形．

所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，

又因为平面，所以．又因为，

平面，所以平面．

（2）由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知

，所以，即底面三角形是直角三

角形．设，则

在中有：，

所以，

当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱

锥的体积最大，

（另等积转化法：

易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）

下面求二面角的正弦值：

由（1）得平面，因为平面，所以．

又因为，所以平面．

因为平面，所以，所以是二面角的平面角，

由（1）知为直角三角形，则．

故，所以二面角的正弦值为．

例5．如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求：二面角C­PB­A的正切值．

【解析】（1）因为平面，平面，所以，

因为AB是圆的直径，C是圆上的点，所以，

因为，所以平面，

因为平面，所以平面PAC⊥平面PBC．

（2）过作，垂足为，过作，垂足为，连，如图：

因为平面，平面，所以，

因为，所以平面，所以，

因为，，所以平面，所以，

所以是二面角C­-PB­-A的平面角，

因为，，，所以，所以，，，

因为，，所以，所以，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，．

所以二面角C­-PB­-A的正切值为．

题型四：距离问题

例6．如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若．

（1）求与平面所成角的正弦值；

（2）求直线到平面的距离．

【解析】（1）如图所示，

设的中点为O，的中点为F，连接，，，则．

因为平面平面，

平面平面，

所以平面．

因为平面，所以，

所以即为直线与平面所成的角．

因为，则，

所以．

在中，，，所以．

在中，，

所以．

（2）如图，

因为点D，E分别为，边的中点，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

因为平面，平面，

所以．

又，，

所以平面．

因为平面，

所以平面平面．

因为平面平面，

作交于点G，则平面．

在中，，

所以，．

因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于．