备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题25-直线与圆的综合运用

2024高考数学二轮复习

重难点专题25

直线与圆的综合运用

【题型归纳目录】

题型一：距离的创新定义

题型二：切比雪夫距离

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

题型四：圆的包络线问题

题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

题型六：圆中的垂直问题

题型七：圆的存在性问题

【典例例题】

题型一：距离的创新定义

例1．（多选题）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义．设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数．下列命题中为真命题的是（       ）

A．若，，则

B．若，，其中a，，则

C．若，，其中a，b，c，，则

D．若，，其中a，，则的最小值为

题型二：切比雪夫距离

例2．在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是________.

①对任意三点、、，都有；

② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；

③ 已知点和直线，则；

④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.

题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题

例3．（多选题）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（       ）

A．A，B，C三点可能共线

B．A，B，C三点可能构成锐角三角形

C．A，B，C三点可能构成直角三角形

D．A，B，C三点可能构成钝角三角形

例4．（多选题）对于直角坐标平面内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”：，则下列说法正确的是（     ）

A．若点C是线段AB的中点，则

B．在中，若，则

C．在中，

D．在正方形ABCD中，有

例5．（多选题）“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯基所创的词汇，是一种使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点，的曼哈顿距离为．若点，Q是圆上任意一点，则的取值可能为（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

例6．（多选题）在平面直角坐标系中，已知点､，定义为两点A，B的“折线距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“折线距离”，记作，下列说法正确的是（       ）

A．对任意的两点A，B，都有

B．对任意三点A､B､C，都有

C．已知点和直线，则

D．已知点，动点满足，则动点P的轨迹围成平面图形的面积是2

题型四：圆的包络线问题

例7．在平面直角坐标系中，对任意的实数，集合中的点都不在直线上，则集合所对应的平面图形面积的最大值为　　．

题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题

例8．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知定点，，动点满足，则动点的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆，已知点在圆上（点在第一象限），交圆于点，连接并延长交圆于点，连接，当时，直线的斜率为　　

A． B． C． D．

题型六：圆中的垂直问题

例9．过圆内一点，作倾斜角互补的直线和，分别与圆交于、和、，则四边形面积的最大值为　　

A． B． C． D．

题型七：圆的存在性问题

例10．已知圆：和两点，，若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．