备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题27-弦长问题及长度和积商差问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题27

弦长问题及长度和积差商问题

【考点预测】

1、弦长公式的两种形式

①若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．

②若，是直线与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去后得到一元二次方程，则．

【题型归纳目录】

题型一：弦长问题

题型二：长度和问题

题型三：长度差问题

题型四：长度商问题

题型五：长度积问题

题型六：长度的范围与最值问题

题型七：长度的定值问题

【典例例题】

题型一：弦长问题

例1．过椭圆的左焦点作倾斜角60°的直线，直线与椭圆交于A，B两点，则______．

题型二：长度和问题

例2．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，椭圆的长轴长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线交椭圆于两点，交抛物线于两点，请问是否存在实常数，使为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

题型三：长度差问题

例3．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知斜率大于0且过点的直线与椭圆及抛物线自上而下分别交于，，，，如图所示，若，求．

题型四：长度商问题

例4．已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．

(1)当时，求；

(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．

题型五：长度积问题

例5．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上顶点，左、右焦点分别为、，是周长为的等腰直角三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点，且互相垂直的直线、分别交椭圆于、两点及、两点.

①若直线过左焦点，求四边形的面积；

②求的最大值.

题型六：长度的范围与最值问题

例6．如图，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，过抛物线焦点F且斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，连接交椭圆E于点C，连接交椭圆E于点D，记直线的斜率分别为．

(1)求点P的坐标并确定当为常数时的值；

(2)求取最大值时直线l的方程．

题型七：长度的定值问题

例7．已知平面内两点，动点P满足：.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)设M，N是轨迹C上的两点，直线与曲线相切.证明：M，N，三点共线的充要条件是.