备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题39-阿波罗尼斯圆问题

2024高考数学二轮复习

重难点专题39

阿波罗尼斯圆问题

在近几年的高考中，以阿波罗尼斯圆为背景的考题不断出现，备受命题者的青睐，下面我们通过一例高考题，讲解如何运用阿波罗尼斯圆进一步加强对与此圆与关试题的认识。

背景展示

阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

求证：到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.

如图，点为两定点，动点满足，

则时，动点的轨迹为直线；当时，动点的轨迹为圆，

后世称之为阿波罗尼斯圆．

证明：设．以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则．

又设，则由得:，       

两边平方并化简整理得:，  

当时，，轨迹为线段的垂直平分线；

当时，，轨迹为以点为圆心，以长为半径的圆．

典型例题

例1、 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（B在A的上方），且．

（Ⅰ）圆的标准方程为          ；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．

其中正确结论的序号是     .（写出所有正确结论的序号）

解析：（Ⅰ）易知半径，所以圆的方程为；

（Ⅱ）方法一：

因为圆心， 

又因为，且为中点，所以

因为 在圆 上，可设，  

所以：

所以：,

同理：，所以：，①正确；

, ②正确

，③正确

所以：①、②、③正确

方法一可以改进为：

设为圆C上任意一点，则有：

，①正确；

同理，②正确；

，③正确.

这里的第（Ⅰ）问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第（Ⅱ）问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定，方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的.

方法二:

如上图所示, 在（Ⅰ）的基础上易得

于是，，所以，

，，所以，

所以：圆O是以A,B为两定点,且比值为的阿波罗尼斯圆,

故：，①正确

, ②正确

，③正确

因此： ①，②，③3个结论都成立.

方法三：先引进一个概念----圆的反演点：己知圆的半径为，从圆心出发任作一射线，在射线上任取两点，，,且，则称，是关于圆的反演点。圆的反演点也可由以下几何方法获得，若在圆外，过作圆的两条切线，两切点的连线与的交点就是的反演点；若在圆内，则连接，过点作的垂线与圆交点处的两切线的交点即为的反演点.

在（Ⅰ）的基础上易得：，，则有，

则点，是圆的一对反演点，

取圆上一点，则有,

所以圆是以，为反演点，比例系数为的阿波罗尼斯圆.

即对圆上任一点，均有，

故有：，①正确

, ②正确

，③正确.

练习1：若，则的最大值为         

解法一： 利用余弦定理和函数的最值问题处理

设，

所以：，

  则：，

所以：当时，的最大值为.

该方法从余弦定理入手，虽然入手简单，但计算量较大，得分率不高.

解法二： 建立平面直角坐标系处理最值问题

以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则，

设，由得，

整理得：，∴，

则，所以的最大值是．

解法三： 利用阿波罗尼斯圆

显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图的直角坐标系，则，

因为，得的轨迹是一个阿波罗尼斯圆，计算得方程：，

设圆心为,，显然当轴时，面积最大，此时

评注：既然存在，说明其轨迹不包括与轴的两个交点，，

现在问：，这两点究竟有什么性质？由于，

∴为的内角平分线；同理，为的外角平分线.

这就是说，，分别是线段的内分点和外分点，而正是阿氏圆的直径，于是“阿波罗尼斯圆”在我国又被称为“内外圆”．因此该题又有如下的简洁解法：

因为动点 到定点距离之比为,

则有 ，解得：或，

所以为内分点，为外分点，

圆半径，即为三角形高的最大值，

即高的最大值是，故的面积的最大值是.

阿波罗尼斯圆是一个重要的题根,在历次高考中累累出现。我们在学习过程中应该强化对这一知识点的整理。如果掌握这一知识背景，可以主动引导求解的方向，降低求解的难度。但有些问题中，阿氏圆并不那么明显，需要对图形分析后才能找到对应的动点具有阿氏圆的特点.

例1．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点满足，若点的轨迹关于直线对称，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设的坐标为，由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性，则圆心在直线方程上，得到，利用乘“1”法即可得到最值.

【详解】设点的坐标为，因为，则，

即，

所以点的轨迹方程为，

因为点的轨迹关于直线对称，

所以圆心在此直线上，即，

所以，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：D.

例2．两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯采用切割圆锥的方法研究圆锥曲线，他用平行于圆锥的轴的平面截取圆锥得到的曲线叫做“超曲线”，即双曲线的一支，已知圆锥PQ的轴截面为等边三角形，平面，平面截圆锥侧面所得曲线记为C，则曲线C所在双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，得到点的坐标，从而得到双曲线方程，然后结合离心率公式，即可得到结果.

【详解】如图，设平面，平面与圆锥侧面的交线为，过垂直于的母线与曲线交于，不妨延长至，使.

过垂直于的截面交曲线为，

设在平面内的投影为点，以为原点，投影为轴建立平面直角坐标系，易知点为双曲线顶点.设，则可求点坐标为，代入方程：，知，故双曲线离心率为，

故选:.

例3．（多选）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（    ）

A．的方程为

B．当，，三点不共线时，则

C．在上存在点，使得

D．若，则的最小值为

【答案】ABD

【分析】对于A，通过直接法求出点的轨迹方程即可判断；

对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；

对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；

对于D，将转化为进行判断即可.

【详解】设，（不与，重合）

∵，，∴，，

∴，得，化简得，

∴点的轨迹曲线是以为圆心，半径的圆，

对于A，曲线的方程为，故选项A正确；

对于B，由已知，，，∴，

∴当，，三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，是内角的角平分线，

∴，故选项B正确；

对于C，若，则，由题意，点轨迹是圆，

设，由得，化简得点轨迹方程为，

即点的轨迹是圆心为，半径的圆，

圆与圆的圆心距，

∴圆与圆的位置关系为内含，圆与圆无公共点，

∴上不存在点，使得，故选项C错误；

对于D，∵，∴，

∴，

当且仅当在线段上时，等号成立，故选项D正确.

故选：ABD.

例4．（多选）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，则下列结论正确的是（    ）

A．圆的方程是

B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为

C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，则该直线斜率为

D．过直线上的动点向圆引切线，切点为，则直线过定点

【答案】BCD

【分析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证.

【详解】因为，，点满足，

设点，则 ，

化简得：，即 ，故A错误；

过点向圆引切线，两条切线的夹角为,因为，所以，

则 ，解得 ，故B正确；

易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，

则圆心到直线的距离为： ，解得，故C正确；

依题意，，则都在以为直径的圆上，

是直线l：上的动点，设，则圆的圆心为，

即圆的方程为，又因为在曲线上，

由，

即得,可得，

即直线MN的方程为,

由且，可得，解得，

所以直线MN是过定点，故D正确；

故选：

例5．在平面上给定相异的两点A，B，设点P与A，B在同一平面上，满足，当且时，点P的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，，边中点为，则的最大值为__________．

【答案】

【分析】设，可得，利用可得，结合图象即可得到与该圆相切时，最大

【详解】设，由边中点为可得，

因为，所以，整理可得，

所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点），

则当与该圆相切时，最大，，

因为所以

故答案为：

例6．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点M，N的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，点P满足．则点P的轨迹方程为____________；在三棱锥中，平面，且，该三棱锥体积的最大值为______________．

【答案】         

【分析】利用求点的轨迹方程的步骤及两点间的距离公式即可求解；根据已知条件及阿波罗尼斯圆的特点，结合棱锥的体积公式即可求解.

【详解】设，所以，所以，即，所以点P的轨迹方程为；

三棱锥的高为，当底面的面积最大值时，三棱锥的体积最大，，，取靠近B的一个三等分点为坐标原点O，为x轴建立平面直角坐标系，不妨取，由题设定义可知的轨迹方程为，

所以A在圆的最高点处，，

此时，．

故答案为：；.

【点睛】解决此题的关键是第一空主要利用求点的轨迹方程的步骤即可；第二空要使该三棱锥体积的最大值，只需要将问题转化为求底面的面积最大值，再利用阿波罗尼斯圆的特点即可.