备战2024新高考-高中数学二轮重难点专题40-概率与统计的综合应用

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2024高考数学二轮复习
重难点专题40
概率与统计的综合应用
【题型归纳目录】
题型一：决策问题
题型二：道路通行问题
题型三：保险问题
题型四：概率最值问题
题型五：放回与不放回问题
题型六：体育比赛问题
题型七：几何问题
题型八：彩票问题
题型九：纳税问题
题型十：疾病问题
题型十一：建议问题
题型十二：概率与数列递推问题
题型十三：硬币问题
题型十四：自主选科问题
题型十五：高尔顿板问题
题型十六：自主招生问题
题型十七：顺序排位问题
题型十八：博彩问题









【典例例题】
题型一：决策问题
例1．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个300元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；
(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个更合理？
【解析】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，
一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，
X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，
从而；
；
；
；
；
；
；
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
（2）购买零件所需费用含两部分：
一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，
当时，费用的期望为：
元，
当时，费用的期望为：
元，
因为，所以选更适合.
题型二：道路通行问题
例2． 市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．

(1)求李先生的小孩按时到校的概率；
(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？
(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．
【解析】(1)因为道路D、E上班时间往返出现拥堵的概率分别是和，因此从甲到丙遇到拥堵的概率是：×＋×＝，故李先生的小孩能够按时到校的概率是1－＝.
(2)甲到丙没有遇到拥堵的概率是，丙到甲没有遇到拥堵的概率也是，甲到乙遇到拥堵的概率是×＋×＋×＝，甲到乙没有遇到拥堵的概率是1－＝，
∴李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是××＝