河南省实验中学2023-2024学年高二数学上学期10月月考试题（Word版附答案）

河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考

高二数学    时间:120分钟   满分:150分  

一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1. 在下列四个命题中，正确的是（    ）

A. 若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B. 过点的直线方程都可以表示为：

C. 经过两个不同的点，的直线方程都可以表示为：

D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为

2．如图，在空间四边形中，点在上，满足，点为中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

3. 直线的倾斜角的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

4．正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

5. 冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为1，竹签所在直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（    ）

A.  B.   C.    D.

6．已知直线恒过定点，则与圆有公共的圆心且过点的圆的标准方程为　　

A．  B．  C．  D．

7．如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程长为　　

A． B． C． D．

8．已知正方体的棱长为4，是棱上的一条线段，且，点是棱的中点，点是棱上的动点，则下面四个结论中正确的个数是　　

①与一定不垂直    ②二面角的正弦值是 

③的面积是    ④点到平面的距离是常量

A.1        B.2         C.3             D.4

二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若向量共面，则它们所在的直线共面

B. 若是四面体的底面的重心，则

C. 若，则四点共面

D. 若向量，则称为在基底下的坐标，已知在单位正交基底 下的坐标为，则在基底下的坐标为

10. 已知直线，下列命题中正确的是（    ）

A. 若，则                B. 若，则或

C. 当时，是直线的方向向量   D. 原点到直线的最大距离为

11．已知菱形中，，与相交于点．将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是　　

A．     B．存在一个位置，使为等边三角形

C．与不可能垂直  D．直线与平面所成的角的最大值为

12．在棱长为1的正方体中，点满足，，，，，则以下说法正确的是　　

A．当时，平面 

B．当时，存在唯一点使得与直线的夹角为 

C．当时，的最小值为 

D．当点落在以为球心，为半径的球面上时，的最小值为

三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

13．经过点作直线，若直线与连接与两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．

14． 如图在一个的二面角的棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则___________.

15．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的球心到面的距离为　___________.　

16．函数 的最小值为　___________.　

四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分10分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为.

（1）求点的坐标；   （2）求点到直线的距离.

18. （本小题满分12分）如图，在平行六面体中，，，，点为线段中点．

（1）求；    （2）求直线与所成角的余弦值．

19．（本小题满分12分）已知，，由确定两个点，．

（1）写出直线的方程（答案含t）；

（2）在内作内接正方形，顶点，在边上，顶点在边上．若，当正方形的面积最大时，求，的值．

20．（本小题满分12分）在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线垂直；②过点；③与直线平行．

问题：已知直线过点，且____．

（1）求直线的一般式方程；

（2）已知，为坐标原点，在直线上求点坐标，使得最大．

21．（本小题满分12分）如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，四边形是等腰梯形，，，平面，，，，在上．

（1）为保证风筝飞行稳定，需要在处引一尼绳，使得，求证：直线平面；

（2）实验表明，当时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．

22．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA＝PD＝，AB＝1，AD＝2，PD⊥AB.

(1)证明：平面PCD⊥平面PAB；

(2)若PB＝，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.

河南省实验中学2023-2024学年上期第一次月考

高二数学参考答案

一、单项选择题：1.C  2.D 3.B 4.B 5.A  6.B  7.A 8.C

二、多项选择题：9.BD  10.AD  11.ABD   12.．

三、填空题：13. 或  14.3  15. ．16.

四、解答题：

17. 解(1)设，则，

∴，解得，

∴；

（2）∵，且直线的斜率为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为，即，

所以点到直线的距离为.

18. 解：

（1）因为在平行六面体中，点在线段上，且满足．

设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底．

所以．

，

，

．

（2）由（1）知，，

，，

，

直线与所成角的余弦值为．

19．解（1）由题意知当直线斜率存在时，，

当时，直线的方程为，

当时，直线的方程为．

直线的方程为．

（2）由和四边形为正方形可知，，

，，

因为点在直线上，

所以，

所以，

而正方形的面积最大，即最大，

所以当时，，此时图中阴影部分的面积最大．

20．解：（1）根据题意，选择①与直线垂直，

则直线的斜率，解得，又其过点，

则直线的方程为：，整理得：；

选择②过点，又直线过点则直线的斜率，

则直线的方程为：，整理得：；

选择③与直线平行，则直线的斜率，又其过点，

则直线的方程为：，整理得：；

综上所述，不论选择哪个条件，直线的方程均为：．

（2）根据（1）中所求，可得直线的方程为：，又，

设点关于直线的对称点为，

则，且，解得，即；

根据题意，作图如下：

显然，但且仅当，，三点共线时取得等号；

又直线的斜率，故其方程为：，即，

联立，可得，

即点的坐标为时，使得最大．

21．解：（1）证明：四边形是等腰梯形，，，，

连接，，，

平面，平面，

平面．

（2）解：平面，平面，，

，，，

，

以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，

，0，，，0，，，，，，2，，，0，，

，

设平面的法向量为，

，令，，，，

设与平面所成角为，．

与平面所成角的正弦值为．

22． (1)证明　因为PA＝PD＝，AD＝2，

所以PA2＋PD2＝AD2，所以PD⊥PA，

又因为PD⊥AB，AB，PA⊂平面PAB，且AB∩PA＝A，

所以PD⊥平面PAB，

又因为PD⊂平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAB.

(2)解　因为PA＝，AB＝1，PB＝，

所以PA2＋AB2＝PB2，所以AB⊥PA，

又因为PD⊥AB，PA，PD⊂平面PAD，且PD∩PA＝A，

所以AB⊥平面PAD，

因为AD⊂平面PAD，所以AB⊥AD，

所以四边形ABCD为矩形．

以A为原点，，分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,1,1)，

所以＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，＝(0,1，－1)，

由PD⊥平面PAB，可得向量＝(0,1，－1)是平面PAB的一个法向量．

设＝λ，0≤λ≤1，则E(0,2－λ，λ)，所以＝(0,2－λ，λ)．

设平面EAC的法向量为n＝(x，y，z)，则

所以令y＝－1，可得x＝2，z＝，所以n＝，

所以|cos〈，n〉|＝＝，可得12λ2－8λ＋1＝0，

解得λ＝或λ＝，即当点E满足＝或＝时，平面PAB与平面EAC的夹角的余弦值为.