湖北省恩施一中、建始一中、咸丰一中三校2023-2024学年高二数学上学期9月联考试题（Word版附解析）

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恩施一中、建始一中、咸丰一中三校九月联考高二数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（    ）A.  B.  C. 或 D. 【答案】C【解析】【分析】求出集合A，根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意得或，而，故或，故选：C2. 复数的共轭复数的虚部是（    ）A.  B. 1 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算求得的结果，即可得其共轭复数，即可得答案.【详解】由题意得，故复数的共轭复数为，其虚部为1，故选：B3. 甲、乙两套设备生产的同类型产品共3200件，现采用分层抽样的方法从中抽取一个样本容量为80的样本进行质量检测．若样本中有45件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（    ）A. 1100件 B. 1200件 C. 1400件 D. 1600件【答案】C【解析】【分析】由题意求出样本中乙设备生产的产品的占比，即可求得乙设备生产的产品总数.【详解】由题意可知样本中有45件产品由甲设备生产，则有35件产品由乙设备生产，故乙设备生产的产品所占比例为，则乙设备生产的产品总数为（件），故选：C4. 已知向量，，且，则在方向上的投影向量为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的线性运算可得，可求得，即可利用投影向量得出答案.【详解】∵，，且，∵，∴，，∴在方向上的投影向量为，故选：D．5. 已知函数是偶函数，在是单调减函数，则（   ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先根据在是单调减函数，转化出的一个单调区间，再结合偶函数关于轴对称得上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】在是单调减函数，令，则，即在上是减函数在上是减函数函数是偶函数，在上是增函数,则故选【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．6. 已知，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性比较大小，根据对数函数的单调性判断c的范围，即可得答案.【详解】由于在R上单调递减，故，而在R上单调递增，故，即；由于在上单调递减，故，故，故选：A7. 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比的近视值.有一个内角为的等腰三角形中，较短边与较长边之比为黄金比.则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，讨论等腰三角形顶角为与底角为两种情况，利用正弦定理，以及三角恒等变换对应的公式，即可得出结果.【详解】若该等腰三角形的顶角为，则底角为，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为，即，所以，因此；若该等腰三角形的底角为，则顶角为，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为，即，则，所以，因此.综上，.故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于正弦定理，结合题中条件，先表示出较短边与较长边之比，进而可利用三角恒等变换化简求解.8. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（    ）A  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得为的中点，建立坐标系利用坐标法即得.【详解】∵D在线段BC上，且，∴，又为线段AD上一点，若与的面积相等，∴，为的中点，如图建立平面直角坐标系，则，∴，∴.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）A. 为奇函数 B. 在区间上单调递增C. 图象的一个对称中心为 D. 的最小正周期为π【答案】C【解析】【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，解得，即函数的定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故A错误；当时，，此时无意义，故在区间上单调递增不正确，故B错误；当时，，正切函数无意义，故为函数的一个对称中心，故C正确；因为，故是函数的一个周期，故D错误.故选：C10. 已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用条件将化，展开后结合基本不等式可判断A；直接利用基本不等式判断B；举反例判断C；将化为，l由基本不等式即可判断D.【详解】由题意正实数，满足，故，当且仅当，结合，即时取等号，A错误；由可得，即，当且仅当，结合，即时取等号，B正确；取满足，但，C错误；由于，，故，当且仅当，结合，即时取等号，D正确，故选：BD11. 在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”是（    ）A. 甲组中位数为2，极差为5B. 乙组平均数为2，众数为2C. 丙组平均数为1，方差大于0D. 丁组平均数为2，方差为3【答案】AD【解析】【分析】结合中位数，平均数，众数，方差，极差的定义，分析判断每个选项.【详解】对，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故正确；对，如失分数据分别为，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；对，如失分数据分别为，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；对，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．故选：AD.12. 已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（    ）A.  B. 2 C. 3 D. 4【答案】ABC【解析】【分析】结合函数单调性求得的最小值，由题意可推出，故得到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案.【详解】由题意时，，即；而，故在上单调递减， 在上单调递增，所以，由于对任意，存在，使，过，即，结合选项，故实数的取值可以是，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13. 平面的法向量为，，那么直线与平面的关系是_____．【答案】或【解析】【分析】计算平面的法向量和的数量积，即可判断的关系，进而判断直线与平面的关系.【详解】由题意知，，则，故，则或，故答案为：或14. 一位射击运动员在一次射击测试中射靶7次，命中的环数依次如下：7，8，10，9，8，8，6，则该组数据的上四分位数是____________．【答案】9【解析】【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的概念，即可求得答案.【详解】将7，8，10，9，8，8，6从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，由于，故该组数据的上四分位数为第6个数9，故答案为：915. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是_____________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出的取值范围.【详解】函数是上的增函数，所以，解得.故答案：16. 现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球的球面上，将一个圆气球放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时球的表面积为____________．【答案】【解析】【分析】求出正棱锥的高，由题意知球为正三棱锥的棱切球，确定球心位置，列方程求出球的半径，即可求得答案.【详解】设此正三棱锥框架为，球半径为R，球的半径为r，的外接圆圆心为O，连接，延长AO交BC于N，因为圆气球恰好与正三棱锥各棱都相切，设球与棱相切于，则，由题意知底面，底面，故，又，故，在中，，在中，由于,则，则，由，可得，解得，（舍），故球的表面积为，故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出球的半径，解答时要发挥空间想象，确定球的球心大致位置，进而根据等量关系列出方程，求得半径，即可求解答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为．  （1）求的长；（2）求与夹角的正弦值．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案；（2）求出空间向量的数量积和它们的模长，根据空间向量的夹角的计算，即可求得答案.【小问1详解】记，则，所以，由于，故，故，即的长为；【小问2详解】由于，所以，，故，由于与夹角的范围为，故与夹角的余弦值为.18. 我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．  （1）求直方图中的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）人 ；(Ⅲ) 估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计 的区间，再计算区间 的频率和为0.85时，求解的值.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得，解得.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为 ，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为 .(Ⅲ) 前6组的频率之和为 ，而前5组的频率之和为 ， 由 ，解得，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.19. 甲、乙两人组成“红队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．【答案】【解析】【分析】两轮活动中猜对3个谜语相当于事件“甲猜对1个、乙猜对2个”和事件“乙猜对1个、甲猜对2个”的和事件，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】设分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，则，，设A表示“红队”在两轮活动中猜对3个谜语，则，且互斥，故，故“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为.20. 如图，在三棱锥中，底面ABC，，D是AB的中点，且，．（1）求证：平面平面VCD；（2）试确定角的值，使得直线BC与平面VAB所成的角的为．【答案】（1）证明见解析；    （2）【解析】【分析】(1)建立空间坐标系,先证明线面垂直,再证明面面垂直,即先证,可证出平面，最后证出平面平面;(2)先求出平面的法向量,再根据线面角公式表示出和相关的式子,最后根据的范围求解.【小问1详解】证明：以、、所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则有，，，，.于是，，，从而，即.同理，即.又,所以平面，又平面，平面平面.【小问2详解】解：设直线与平面所成角为，平面的一个法向量为，则由得可取，又，于是，当时，
 ，解得，，又因为，所以，.21. 已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p的值，结合单调性即可求得函数解析式；（2）假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围，即可得出结论.【小问1详解】由是幂函数，可得，解得或；当时，在上单调递减，不满足；当时，在上单调递增，满足，故．【小问2详解】由题意知，则在定义域上单调递减，若实数，（），使函数在上的值域为，则，两式相减，得，故，而，所以，即，将该式代入，得，令，由，知，即，故，所以，由于在上单调递减，所以，故存在实数，（），使函数在上的值域为，此时实数的取值范围为.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出之间的关系式，从而推出n关于的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.22. 已知函数为的零点，为图象的对称轴．（1）若在内有且仅有6个零点，求；（2）若在上单调，求的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据的零点和对称中心确定出的取值情况，再根据在上的零点个数确定出，由此确定出的取值，结合求解出的取值，再根据以及的范围确定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根据在上单调确定出的范围，由此确定出的可取值，再对从大到小进行分析，由此确定出的最大值.【详解】（1）因为是的零点，为图象的对称轴，所以，所以，因为在内有且仅有个零点，分析正弦函数函数图象可知：个零点对应的最短区间长度为，最长的区间长度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因为，所以，所以；（2）因为在上单调，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然不单调所以在上不单调，不符合；当时，，所以，所以，所以此时，因为，所以，又因为在时显然单调递减，所以在上单调递减，符合；综上可知，的最大值为.【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数涉及的取值范围问题的常见突破点：（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为，任意对称轴与对称中心之间的距离为；（2）运算突破：已知在区间内单调，则有且；已知在区间内没有零点，则有且.