广东省深圳市深圳外国语学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

2023~2024学年度上学期第一次月考考试

高二数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。

4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5．本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册第一章~第二章2.3．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知直线的倾斜角分别为，则（    ）

A． B．

C． D．

2．下列条件一定能确定一个平面的是（    ）

A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点

C．两条相互垂直的直线 D．两条相互平行的直线

3．函数的最小值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ）

A． B． C． D．

5．在正四面体中，其外接球的球心为，则（    ）

A． B．

C． D．

6．如图，在圆锥中，是底面圆的直径，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（    ）

A． B． C．1 D．2

7．如图，在三棱柱中，为的中点，为侧面上的一点，且平面，若点的轨迹长度为2，则（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（    ）

A． B． C． D．5

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有（    ）

A．直线过定点

B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为

C．斜率为2，在轴上的截距为1的直线方程为

D．经过点且在轴和轴上截距相等的直线方程为

10．如图，已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，分别为上、下底面的直径，为圆台的母线，为弧的中点，则（    ）

A．圆台的侧面积为 B．直线与下底面所成的角的大小为

C．圆台的体积为 D．异面直线和所成的角的大小为

11．已知，则（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则的最大值为

D．，使得

12．已知正方体的边长为2，分别为、的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．  B．平面

C．点到平面的距离为2 D．二面角的大小为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知，则________．

14．使三条直线不能围成三角形的实数的值为________．

15．已知在长方体中，分别为的中点，为上任意一点，则异面直线与所成的角为________．

16．如图，已知正方体的棱长为4，分别是棱的中点，设是该正方体表面上的一点，若，则点的轨迹围成图形的面积是________；的最大值为________．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（本小题满分10分）

如图，在三棱锥中，底面为的中点，．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

18．（本小题满分12分）

在中，角所对的边分别为，且满足．

（1）求；

（2）若，求的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面是的中点，为等腰直角三角形，．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面四边形为直角梯形，为的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的夹角的余弦值．

21．（本小题满分12分）

已知直线．

（1）为何值时，点到直线的距离最大，并求出最大值；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程．

22．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点，，点为线段上的动点（不包括线段的端点）．

（1）若平面，请确定点的位置；

（2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

2023~2024学年度上学期第一次月考考试·高二数学

参考答案、提示及评分细则

1．A  由题意得，，所以为钝角，为锐角，所以．故选A．

2．D  由两条相互平行的直线能确定一个平面，可知D选项正确．故选D．

3．D  ．

4．C  因为直线与直线平行，所以，解得，所以直线，直线可变形为，所以两平行线之间的距离．故选C．

5．C  由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，，．故选C．

6．B  因为为的中点，则，由圆锥的几何性质可知平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设平面的法向量为，

则取，可得，

又因为，所以点到平面的距离为．

故选B．

7．B  如图，取的中点的中点，连接，由，可得平面平面，故点的轨迹为线段，又由，可得．故选B．

8．A  ，

，故，故选A．

9．AB  对于A，直线恒过定点，A正确；

对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确；

对于C，斜率为2，在轴上的截距为1的直线方程为，C错误；

对于D，经过点且在轴和轴上截距相等的直线过原点时，方程为，当该直线不过原点时，方程为，D错误．故选AB．

10．ABD  过点作，取的中点，连接，圆台的高，圆台的侧面积为，圆台的体积为．又由，可得，可得与下底面所成的角为．又由平面，可得异面直线和所成的角为，在中，，可得，故异面直线和所成的角为．故选ABD．

11．AC  A：与，可得，故A正确；

B：．故B错误；

C：，当且仅当，时取“=”，故C正确；

D：若，则，在上无解，故D错误．故选AC．

12．ABC  以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

，

．

，A项正确．

．

设为平面的一个法向量，则，

即，令，得，则，

平面，则B项正确；

点到平面的距离为，C项正确．由图可知，平面，所以是平面的一个法向量，则，故二面角的大小不是，所以D项不正确．

13．  ．

14．或或  当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形．若三条直线交于一点，由得交点坐标为，把代入到直线，得；若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，它们的斜率分别为，所以或．综上，或或时，直线不能围成三角形．

15．  设，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，可得．

，即异面直线与所成的角为．

16．  12  ，∴点在平面上，

分别取的中点，则点的轨迹是正六边形，

因为正方体的棱长为4，

所以正六边形的边长为，

所以点的轨迹围成图形的面积是．

由投影分析的最大值为12．

17．证明：（1）平面平面 

平面  平面

（2）平面平面 

为等腰直角三角形，为斜边的中点 

平面  平面

18．解：（1）

，即，

即；

（2）由余弦定理有，

当且仅当时取等号，故的最小值为1．

19．（1）证明：平面平面，，

又是等腰直角三角形，是斜边的中点，，

又平面平面，平面，

平面，；

（2）解：如图以为原点，所在的直线为轴，轴，在平面内，通过点作的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，则，

设平面的法向量为，

则取，则，

故为平面的一个法向量，

设与平面所成的角为，则，

直线与平面所成角的正弦值为．

20．（1）证明：如图，连接，

在中，由可得，

，，

，，

平面，平面；

（2）解：由（1）和等腰三角形可知，两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

可得，

又由，有，可得点的坐标为，

设平面的法向量为，

由，有

取，可得平面的一个法向量为．

设平面的法向量为，

由，有取，可得平面的一个法向量为．

由，可得平面与平面的夹角的余弦值为．

21．解：（1）已知直线，

整理得，

由

故直线过定点，点到直线的距离最大，

可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，

即为最大值．

，的斜率为，

可得，解得；

（2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，则可设直线的方程为，

则，

．

（当且仅当时，取“=”），

故面积的最小值为12，此时直线的方程为．

22．解：（1）如图，连接．

，．

，．．

平面平面平面．

若平面，又由平面，平面与平面相交，必有．

又为的中点．

（2）由两两垂直，以为坐标原点，向量方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．

不妨设，可得各点坐标如下：．

设，有，

又由，有，

设平面的法向量为，

由，有取，可得平面的一个法向量为．

设直线与平面所成的角为，

由，

有．

设，有，

．

由二次函数的性质可知，当时，时，的最大值为．