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北师大版八年级上册数学第一章勾股定理（A卷）含解析答案
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这是一份北师大版八年级上册数学第一章勾股定理（A卷）含解析答案，共27页。
第一章 勾股定理（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2．在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=15，BD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．8 D．5
4．在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．8， 12， 15 C．8， 15，17 D．9，40，41
5．下列各组数中为勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B．2，3，4 C．，， D．3，4，5
6．在△ABC中，三边长a、b、c满足(a +c)(a-c) =，则△ABC的形状是（ ）
A．以a为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形
C．以c为斜边长的直角三角形 D．不是直角三角形
7．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．13 B．12 C．6 D．3
8．如图，字母A所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．25 D．194
9．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
10．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ）
A．17 B．18 C．20 D．25
11．在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
12．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，，3 B．0.3，0.4，0.6 C．9，12，15 D．5，6，7
13．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25
14．如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A． B．14cm C． D．10cm
15．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ； ④a：b：c=5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，若，，则（ ）
A．6 B．7 C．10 D．29
17．如图，以（）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
18．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在中，，，于点D，则AD的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
20．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或7
21．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．3，4，
22．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( ).
A．15 B． C．12 D．18
23．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
24．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cm B．17cm C．18cm D．20cm
25．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
26．在△ABC中，∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c，下列选项中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
27．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人
得分
二、解答题
28．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
29．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米（AC的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长17米，云梯底部距地面3米（AE的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（BD的长）？
30．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
31．如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)证明：是直角三角形．
32．如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．
33．如图，把长为12 cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，且∠FPH ＝ 90°，BF ＝ 3 cm，求FH的长．
34．如图,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．
35．如图，在四边形ABCD中，，，，，．
(1)连接BD，求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
36．如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
评卷人
得分
三、填空题
37．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】先设直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，于是有a2+b2=c2，即a2+52=132，易得a=12 cm，a-b即可得小正方形的边长．
【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，那么有a2+b2=c2，
∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，
∴a2+52=132，
解得a=12（舍去负值），即a=12 cm，
∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7 cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．
2．D
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【详解】解：根据勾股定理得，另一条直角边为12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理求直角三角形的第三边是解题的关键．
3．D
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，然后根据角平分线的性质求出DE的长即可．
【详解】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BC=15，BD=10，
∴CD=BC-BD=5，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴点D到AB的距离为5．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．B
【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．
【详解】解：A、52+122=132，是勾股数，此选项不符合题意；
B、82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
C、82+152=172，是勾股数，此选项不符合题意；
D、92+402=412，是勾股数，此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数，注意：①三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
5．D
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵三个数不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D、∵，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
6．A
【分析】先根据题意得出a、b、c的关系，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC的三边长a，b，c满足：（a+c）（a﹣c）＝，
∴，即，
∴△ABC是直角三角形，且a为斜边．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．A
【分析】由勾股定理求出AB2，再由正方形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，
∴正方形的面积＝AB2＝13，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据已知两个正方形的面积169和144，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母A所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
【详解】解：∵，
∴字母A所代表的正方形的面积=．
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，熟练掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
9．B
【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．
【详解】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故选：B．
【点睛】题目主要考查平方差公式及勾股定理的图形表示，理解题意，根据图形表示出面积等式是解题关键．
10．C
【分析】利用角平分线的性质得到ED=CD，从而BC=BD+CD=DE+BD=12，即可求得△BDE的周长．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=CD，
在Rt△ADE和△RtADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20．
故选：C．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
11．A
【分析】根据勾股定理即可求得．
【详解】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是根据勾股定理代数验证．
12．C
【分析】根据勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，进而判断得出答案．
【详解】A．不是正整数，故此选项不合题意；
B．0.3，0.4，0.6三个数不是正整数，故此选项不合题意；
C．9，12，15都是正整数，且，故此选项符合题意；
D．5，6，7都是正整数，但，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，正确掌握勾股数的定义是解题关键．
13．D
【分析】根据勾股数的定义；满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴5，12，14不是勾股数，故不符合题意；
B、∵，∴6，8，12不是勾股数，故不符合题意；
C、∵，∴4，5，6不是勾股数，故不符合题意；
D、∵，∴7，24，25是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，除了验证两小边的平方和是否等于最长边的平方外，还必须每一个数都是正整数．
14．D
【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．
【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，，
如图2中，，
∵ ，
∴爬行的最短路径是10cm．
故选:D
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．
15．C
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
16．B
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2＋BC2，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2，
∴S3＝S1＋S2＝2＋5＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
17．B
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】解：∵由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴2=12，
∴=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
18．C
【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故当CM⊥AB时，CM最小，利用等积法求出CM的长度即可
【详解】∵BC=6，AC=8，AB=10
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠C=90°
又∵MP⊥BC，MN⊥AC
∴四边形PCNM为矩形
∵Q为PN的中点，
∴CQ=CM
∴当CM⊥AB时，CM最小，即CQ最小
∵
∴
∴CM=4.8
∴CQ=2.4
故答案：C
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，等积法的应用，知道CM⊥AB时最小是解决本题的关键．
19．C
【分析】先根据等腰三角形底边上的垂线是中线，计算出BD，再根据勾股定理计算出AD．
【详解】解：在中，，,
∴点D是BC的中点,
∴,
在中, ,
∴,
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的相关知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．C
【分析】分4为直角边和4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当4为直角边时，
由勾股定理得，
解得x=5，
当4为斜边时，
由勾股定理得，
解得x=，
综上，x=5或x=，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出x的值，注意存在两种情况．
21．C
【分析】根据勾股数的定义，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、0.32+0.42=0.52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
C、52+122=132，是勾股数，符合题意；
D、（）2+32=42，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股数的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．
22．A
【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得到矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=＝15cm，
故答案为A．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
23．C
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案．
【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，
∴ AB =6cm，
∵BC=10cm，DC=2cm，
∴DB=8，
在 Rt△ABD 中，( cm )，
即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm，
故选： C ．
【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
24．A
【分析】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=12cm，BC=9cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求．
【详解】解：如图所示：
∵圆柱的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，
∴AC=12cm，BC=9cm，
∴，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
26．D
【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和C，根据三角形的内角和定理判断B和D即可．
【详解】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理的逆定理及三角形内角和定理并运用是解题的关键．
27．C
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
【详解】解：、，即，
，故能判定是直角三角形；
、设，，，，
，故能判定是直角三角形；
、，
，故不能判定是直角三角形；
、，
，
，故能判定是直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
28．(1)∠ACB＝90°
(2)海港C受台风影响，理由见解析
(3)台风影响该海港持续的时间为小时
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解．
【详解】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
29．18米
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长，即可由BD=BC+CD求解．
【详解】解：由题意可知：，米，米，米；
在中，根据勾股定理，得，
即，，
∴（米）
∴（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面18米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．24m2
【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答．
【详解】
解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴SRt△ADC＝＝6m2．
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴SRt△CAB＝＝30m2，
∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
31．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴在中，．
∴的长为．
（2）在中，，，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理．熟练掌握勾股定理的逆定理以及勾股定理是解题的关键．
32．立柱AB段的长度为9米
【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，
设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2=CB2，
∴x2+152=（26-1-x）2，
解得x=8，
∴BA=BG+GA=8+1=9（m），
∴AB的长度为9m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．FH的长是5 cm．
【分析】根据勾股定理建立方程进行作答.
【详解】解：∵ 翻折，
∴ BF＝PF，CH＝PH．
设FH＝x cm，则PH＝(9－x) cm．
在Rt△PFH中，∠FPH＝90°，
∴ FH2＝PH2＋PF2 ．
∴ x2＝(9－x)2＋3 2．
∴ x＝5．
∴ FH的长是5 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是本题解题关键.
34．6
【分析】由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC=AE=6cm，∠DEB=90°，由勾股定理可求DE的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴，
∵将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，
∴AC=AE=6cm，∠DEB=90°
∴BE=10-6=4cm
设CD=DE=x，
则在Rt△DEB中，
，
解得：，
即DE=3.
∴△BDE的面积为：.
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
35．(1)25
(2)234
【分析】（1）连接BD，在Rt△BCD中，由勾股定理即可求BD；
（2）由勾股定理的逆定理可得∠BAD＝90°，再由＝＋即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接BD，
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝20，∠C＝90°，
∴＝＋＝＋＝625，
∴BD＝25．
（2）在△ABD中，AB＝24，AD＝7，
∴＝576，＝49，
∴＋＝576＋49＝625．
由（1）知，＝625，
∴＋＝，
∴∠BAD＝90°．
∴＝＋＝×15×20＋×7×24＝234．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
36．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，进而得到垂直平分，利用垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理求得，从而判定的形状；
（2）如图作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下：
∵，，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）证明：如图，在上取点，使，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
37．13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
第一章 勾股定理（A卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
2．在一个直角三角形中，如果斜边长是13，一条直角边长是5，那么另一条直角边长是（ ）．
A．6 B．8 C．10 D．12
3．如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=15，BD=10，则点D到AB的距离是（ ）
A．15 B．10 C．8 D．5
4．在下列各数中，不是勾股数的是（ ）
A．5，12，13 B．8， 12， 15 C．8， 15，17 D．9，40，41
5．下列各组数中为勾股数的是（ ）．
A．1，2，3 B．2，3，4 C．，， D．3，4，5
6．在△ABC中，三边长a、b、c满足(a +c)(a-c) =，则△ABC的形状是（ ）
A．以a为斜边长的直角三角形 B．以b为斜边长的直角三角形
C．以c为斜边长的直角三角形 D．不是直角三角形
7．如图，在中，，，，以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．13 B．12 C．6 D．3
8．如图，字母A所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．25 D．194
9．根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）
A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式
B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理
C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式
D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理
10．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ）
A．17 B．18 C．20 D．25
11．在下列四组数中，不是勾股数的一组是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．5，12，13 D．7，24，25
12．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，，3 B．0.3，0.4，0.6 C．9，12，15 D．5，6，7
13．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．5，12，14 B．6，8，12 C．4，5，6 D．7，24，25
14．如图，正四棱柱的底面边长为4cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从点A出发，沿棱柱外表面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）
A． B．14cm C． D．10cm
15．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
①∠A=∠B-∠C；②a2=(b+c)(b-c)；③∠A：∠B：∠C=3：4：5 ； ④a：b：c=5：12：13
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，记三个正方形的面积分别为，，，若，，则（ ）
A．6 B．7 C．10 D．29
17．如图，以（）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为、、，若，则的值是（ ）
A．3 B．6 C．7 D．8
18．如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点M在AB上运动，MP⊥BC，MN⊥AC，Q为PN的中点，则CQ的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．如图，在中，，，于点D，则AD的长为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
20．如果3，4，是直角三角形三边长，则x的值是（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或7
21．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．5，12，13 D．3，4，
22．如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( ).
A．15 B． C．12 D．18
23．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（ ）cm．
A．14 B．12 C．10 D．8
24．如图，有一个圆柱，它的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（ ）
A．15cm B．17cm C．18cm D．20cm
25．已知中，，，的对边分别是，，．下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
26．在△ABC中，∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，∠C所对的边为c，下列选项中不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a2＋b2＝c2 B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
27．满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
评卷人
得分
二、解答题
28．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．
(1)求∠ACB的度数；
(2)海港C受台风影响吗？为什么？
(3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
29．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米（AC的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长17米，云梯底部距地面3米（AE的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（BD的长）？
30．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
31．如图，在四边形中，，，，，．
(1)求的长；
(2)证明：是直角三角形．
32．如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图．经过测量得CD=1m，AD=15m，请求出立柱AB段的长度．
33．如图，把长为12 cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，且∠FPH ＝ 90°，BF ＝ 3 cm，求FH的长．
34．如图,有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．
35．如图，在四边形ABCD中，，，，，．
(1)连接BD，求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
36．如图，在中，，于点，，分别交，于点、，连接．
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求证：．
评卷人
得分
三、填空题
37．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O，若，，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】先设直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，于是有a2+b2=c2，即a2+52=132，易得a=12 cm，a-b即可得小正方形的边长．
【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，那么有a2+b2=c2，
∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，
∴a2+52=132，
解得a=12（舍去负值），即a=12 cm，
∴小正方形的边长为：a-b=12-5=7 cm．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．
2．D
【分析】根据勾股定理直接计算即可．
【详解】解：根据勾股定理得，另一条直角边为12，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理求直角三角形的第三边是解题的关键．
3．D
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，然后根据角平分线的性质求出DE的长即可．
【详解】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵BC=15，BD=10，
∴CD=BC-BD=5，
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DE=DC=5，
∴点D到AB的距离为5．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4．B
【分析】满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，由此求解即可．
【详解】解：A、52+122=132，是勾股数，此选项不符合题意；
B、82+122≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
C、82+152=172，是勾股数，此选项不符合题意；
D、92+402=412，是勾股数，此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股数，注意：①三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
5．D
【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C、∵三个数不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D、∵，∴是勾股数，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，注意：①作为勾股数的三个数必须是正整数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数；③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．
6．A
【分析】先根据题意得出a、b、c的关系，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC的三边长a，b，c满足：（a+c）（a﹣c）＝，
∴，即，
∴△ABC是直角三角形，且a为斜边．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
7．A
【分析】由勾股定理求出AB2，再由正方形的面积公式即可得到答案．
【详解】解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，
∴AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，
∴正方形的面积＝AB2＝13，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的面积计算等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据已知两个正方形的面积169和144，求出各个的边长，然后再利用勾股定理求出字母A所代表的正方形的边长，然后即可求得其面积．
【详解】解：∵，
∴字母A所代表的正方形的面积=．
故选：C．
【点睛】此题主要考查勾股定理这一知识点，比较简单，熟练掌握勾股定理的计算方法是解题的关键．
9．B
【分析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．
【详解】解：图1的面积关系表示为：
，为平方差公式；
图2的面积表示为：
，
化简得：，为勾股定理；
故选：B．
【点睛】题目主要考查平方差公式及勾股定理的图形表示，理解题意，根据图形表示出面积等式是解题关键．
10．C
【分析】利用角平分线的性质得到ED=CD，从而BC=BD+CD=DE+BD=12，即可求得△BDE的周长．
【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ED=CD，
在Rt△ADE和△RtADC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴AC=AE，
∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20．
故选：C．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
11．A
【分析】根据勾股定理即可求得．
【详解】解：A、，故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是根据勾股定理代数验证．
12．C
【分析】根据勾股数：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数，进而判断得出答案．
【详解】A．不是正整数，故此选项不合题意；
B．0.3，0.4，0.6三个数不是正整数，故此选项不合题意；
C．9，12，15都是正整数，且，故此选项符合题意；
D．5，6，7都是正整数，但，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股数，正确掌握勾股数的定义是解题关键．
13．D
【分析】根据勾股数的定义；满足的三个正整数，称为勾股数，分别对各组数据进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴5，12，14不是勾股数，故不符合题意；
B、∵，∴6，8，12不是勾股数，故不符合题意；
C、∵，∴4，5，6不是勾股数，故不符合题意；
D、∵，∴7，24，25是勾股数，故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，除了验证两小边的平方和是否等于最长边的平方外，还必须每一个数都是正整数．
14．D
【分析】把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形求出路径，比较即可解答．
【详解】解：把正四棱柱展开为平面图形，分两种情形：
如图1中，，
如图2中，，
∵ ，
∴爬行的最短路径是10cm．
故选:D
【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，涉及了勾股定理的应用，解题的关键是将问题进行转化，然后根据勾股定理求解．
15．C
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可．
【详解】解：①∠A=∠B-∠C，可得：∠B=90°，是直角三角形；
②a2=（b+c）（b-c），可得：a2+c2=b2，是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C=3：4：5，可得：∠C=75°，不是直角三角形；
④a：b：c=5：12：13，可得：a2+b2=c2，是直角三角形；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．
16．B
【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2＋BC2，代入计算即可．
【详解】解：由勾股定理得，AB2＝AC2＋BC2，
∴S3＝S1＋S2＝2＋5＝7，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．
17．B
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】解：∵由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴2=12，
∴=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
18．C
【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故当CM⊥AB时，CM最小，利用等积法求出CM的长度即可
【详解】∵BC=6，AC=8，AB=10
∴
∴△ABC为直角三角形
∴∠C=90°
又∵MP⊥BC，MN⊥AC
∴四边形PCNM为矩形
∵Q为PN的中点，
∴CQ=CM
∴当CM⊥AB时，CM最小，即CQ最小
∵
∴
∴CM=4.8
∴CQ=2.4
故答案：C
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理的应用，等积法的应用，知道CM⊥AB时最小是解决本题的关键．
19．C
【分析】先根据等腰三角形底边上的垂线是中线，计算出BD，再根据勾股定理计算出AD．
【详解】解：在中，，,
∴点D是BC的中点,
∴,
在中, ,
∴,
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形和直角三角形的相关知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．C
【分析】分4为直角边和4为斜边时两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：当4为直角边时，
由勾股定理得，
解得x=5，
当4为斜边时，
由勾股定理得，
解得x=，
综上，x=5或x=，
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出x的值，注意存在两种情况．
21．C
【分析】根据勾股数的定义，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、0.32+0.42=0.52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、1+2=3，不能构成三角形，不符合题意；
C、52+122=132，是勾股数，符合题意；
D、（）2+32=42，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理及勾股数的定义，熟练掌握各定义是解题的关键．
22．A
【分析】过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】解：沿过A的圆柱的高剪开，得到矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=＝15cm，
故答案为A．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
23．C
【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案．
【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示，
∵圆柱的底面周长为12cm，
∴ AB =6cm，
∵BC=10cm，DC=2cm，
∴DB=8，
在 Rt△ABD 中，( cm )，
即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm，
故选： C ．
【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图．
24．A
【分析】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=12cm，BC=9cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求．
【详解】解：如图所示：
∵圆柱的高等于9cm，底面上圆的周长等于24cm，
∴AC=12cm，BC=9cm，
∴，
∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm．
故选：A．
【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
25．C
【分析】利用三角形的内角和定理、直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
【详解】解：、，
，故是直角三角形；
、，，
，故是直角三角形；
、，
，故不是直角三角形；
、，
，故是直角三角形．
故选：．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理，当三角形的三边长a、b、c满足或三内角中有一个是直角的情况下，能判定三角形是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
26．D
【分析】根据勾股定理的逆定理判断A和C，根据三角形的内角和定理判断B和D即可．
【详解】解：A、∵a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝102＝100，
∴a2+b2＝c2，
∴能判定△ABC为直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴不能判定△ABC为直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，正确掌握勾股定理的逆定理及三角形内角和定理并运用是解题的关键．
27．C
【分析】利用三角形内角和定理和勾股定理逆定理进行计算可得答案．
【详解】解：、，即，
，故能判定是直角三角形；
、设，，，，
，故能判定是直角三角形；
、，
，故不能判定是直角三角形；
、，
，
，故能判定是直角三角形．
故选：．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
28．(1)∠ACB＝90°
(2)海港C受台风影响，理由见解析
(3)台风影响该海港持续的时间为小时
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解；
（2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解；
（3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解．
【详解】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；
（2）解：海港C受台风影响，理由：
过点C作CD⊥AB，
∵△ABC是直角三角形，
∴AC×BC＝CD×AB，
∴×300×400＝×500×CD，
∴CD＝240（km），
∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，
∴海港C受台风影响；
（3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km，
由（2）得：CD⊥AB，CD=240km，
∴EF=2ED，
∵ED＝＝100（km），
∴EF＝200km，
∵台风的速度为28千米/小时，
∴200÷28＝（小时）．
答：台风影响该海港持续的时间为小时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
29．18米
【分析】根据AB和AC的长度，构造直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的长，即可由BD=BC+CD求解．
【详解】解：由题意可知：，米，米，米；
在中，根据勾股定理，得，
即，，
∴（米）
∴（米）；
答：发生火灾的住户窗口距离地面18米．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．24m2
【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答．
【详解】
解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴SRt△ADC＝＝6m2．
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴SRt△CAB＝＝30m2，
∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
31．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵，，，
∴在中，．
∴的长为．
（2）在中，，，
∵，
，
∴，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理．熟练掌握勾股定理的逆定理以及勾股定理是解题的关键．
32．立柱AB段的长度为9米
【分析】延长FC交AB于点G，则CG⊥AB，AG=CD=1 m，GC=AD=15 m，设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】解：延长FC交AB于点G，
则CG⊥AB，AG=CD=1m，GC=AD=15m，
设BG=x m，则BC=（26-1-x）m，
在Rt△BGC中，
∵BG2+CG2=CB2，
∴x2+152=（26-1-x）2，
解得x=8，
∴BA=BG+GA=8+1=9（m），
∴AB的长度为9m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题的关键．
33．FH的长是5 cm．
【分析】根据勾股定理建立方程进行作答.
【详解】解：∵ 翻折，
∴ BF＝PF，CH＝PH．
设FH＝x cm，则PH＝(9－x) cm．
在Rt△PFH中，∠FPH＝90°，
∴ FH2＝PH2＋PF2 ．
∴ x2＝(9－x)2＋3 2．
∴ x＝5．
∴ FH的长是5 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是本题解题关键.
34．6
【分析】由勾股定理可求AB的长，由折叠的性质可得AC=AE=6cm，∠DEB=90°，由勾股定理可求DE的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴，
∵将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，
∴AC=AE=6cm，∠DEB=90°
∴BE=10-6=4cm
设CD=DE=x，
则在Rt△DEB中，
，
解得：，
即DE=3.
∴△BDE的面积为：.
【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握折叠的性质是本题的关键．
35．(1)25
(2)234
【分析】（1）连接BD，在Rt△BCD中，由勾股定理即可求BD；
（2）由勾股定理的逆定理可得∠BAD＝90°，再由＝＋即可求解；
【详解】（1）解：如图，连接BD，
在Rt△BCD中，BC＝15，CD＝20，∠C＝90°，
∴＝＋＝＋＝625，
∴BD＝25．
（2）在△ABD中，AB＝24，AD＝7，
∴＝576，＝49，
∴＋＝576＋49＝625．
由（1）知，＝625，
∴＋＝，
∴∠BAD＝90°．
∴＝＋＝×15×20＋×7×24＝234．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
36．(1)等腰直角三角形，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得，进而得到垂直平分，利用垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质可得，最后利用三角形内角和定理求得，从而判定的形状；
（2）如图作辅助线，构建全等三角形，证明，得，，由等腰三角形三线合一的性质得，最后由勾股定理和等量代换可得结论．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形．理由如下：
∵，，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）证明：如图，在上取点，使，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（1）知：，，
∴，
∴在中，，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，勾股定理等知识．正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
37．13
【分析】在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，可求得的值．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
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