高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.1 指数课时作业

人教A版（2019）必修第一册《4.1 指数》提升训练

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线交于，两点，以线段为直径的圆交轴于，两点，设线段的中点为，若点到的准线的距离为，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）计算的结果为     

A.  B.  C.  D.

3.（5分）

A.  B.  C.  D.

4.（5分）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是

A.  B.
C.  D.

5.（5分）已知，，则的值为

A.  B.  C.  D.

6.（5分）把根式化成分数指数幂是

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知，且，则的值为

A. 或 B.  C.  D.

8.（5分）若，，则等于

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）下列判断正确的有

A.  B.
C.  D. 与是同一个函数

10.（5分）下列表达式中不正确的是

A.  B.
C.  D.

11.（5分）在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是

A.  B.
C.  D.

12.（5分）下列各式中一定成立的有 
 

A.  B.
C.  D.

13.（5分）下列各式中，不正确的是

A.  B.
C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）计算________

15.（5分）计算：的结果是______．

16.（5分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，且，为的中点，则点到平面的距离为__________，若，则__________. 
 

17.（5分）若，则______.

18.（5分）计算： ______ ．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）化简或求值： 
； 
已知，，求的值．

20.（12分）不用计算器求下列各式的值． 
； 
计算：．

21.（12分）计算：

22.（12分）求值： 
 
 

23.（12分）求值：； 
化简：．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查抛物线和圆的综合应用，属于一般题. 
先求出抛物线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理和弦长公式求出，求出圆半径和，进而可求的值.解：因为点到的准线的距离为，所以，则抛物线的方程为设，，联立方程组消去得，所以，，从而设以线段为直径的圆的半径为，则又，所以，从而 
故选 

 

2.【答案】C;

【解析】

 
此题主要考查指数与指数幂的运算，属于基础题. 
根据题意利用指数与指数幂的运算法则即可求得结果. 
 
解： 
 
故选
 

3.【答案】A;

【解析】解：， 
故选： 
直接利用分数指数幂的运算性质求解． 
此题主要考查了分数指数幂的运算性质，是基础题．
 

4.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查根式与分数指数幂的互化根据性质，即可求出结果. 
 
解：选项，，所以不正确； 
选项，，所以不正确； 
选项，，所以正确； 
选项，，所以不正确. 
故选
 

5.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查了指数的运算，属于基础题. 
根据指数的运算性质即可求解. 
 
解： 
 
故选
 

6.【答案】B;

【解析】解：， 
故选：． 
根据指数幂的运算法则即可求出． 
该题考查了指数幂的运算，属于基础题．
 

7.【答案】D;

【解析】解析 法一，， 
由可得， 
． 
法二 令 
 
得． 
，， 
， 
于是即， 
故选：． 
法一：由，和互为倒数，分别求出及，得出结果． 
法二：将所求的看作整体，也将已知看作整体，平方后作差，结合条件得出结果． 
该题考查分数指数幂的化简，求值．分别采用方程思想和整体思想．属于基础题．
 

8.【答案】A;

【解析】 
该题考查了指数幂的运算性质，属于基础题，直接根据指数幂的运算性质化简即可． 
 
解：，， 
则 
 
， 
故选A． 
 

 

9.【答案】BC;

【解析】解：对于，，所以选项A错误； 
对于，根据元素与集合之间的关系知，，所以选项B正确； 
对于，，且， 
所以，即，选项C正确； 
对于，的定义域是，的定义域是， 
两函数的定义域不同，不是同一函数，所以选项D错误． 
故选：． 
根据题意，对选项中的命题分析，判断正误即可． 
此题主要考查了根式的化简以及命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
 

10.【答案】AB;

【解析】解：对于选项A： ，所以选项A错误， 
对于选项B：，所以选项B错误， 
对于选项C：，当且仅当，即时等号成立，所以选项C正确， 
对于选项D：，所以选项D正确， 
故选：． 
利用有理数指数幂的运算性质可知AB错误，D正确，由基本不等式可知C正确． 
此题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
 

11.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查根式和分数指数幂的运算，属于基础题，熟练掌握运算性质及根式的意义是做题的关键. 
 
解：由于，故错误； 
由于代入，，而，所以错误； 
由于，所以正确； 
由于 ，所以错误. 
所以不正确的是 
故答案为
 

12.【答案】BD;

【解析】 
此题主要考查了指数幂的运算，属于基础题. 
根据指数幂的运算逐个运算后作答. 
 
解：，选项错误； 
B.，选项正确； 
C.，选项错误； 
D.，选项正确. 
故选 

 

13.【答案】ABC;

【解析】【解析】 
， 
， 
， 
，故选、、 

 

14.【答案】;

【解析】

此题主要考查了指数与指数幂的运算，根据运算法则凑成完全平方，然后开方即可.

解：，

故答案为
 

15.【答案】;

【解析】解： 
 
． 
故答案为：． 
直接由有理指数幂的运算性质计算得答案． 
该题考查了有理指数幂的化简求值，是基础题．
 

16.【答案】;;

【解析】【分析】 
本题考查了利用空间向量求空间中点到平面的距离，空间距离的求解，属于中档题. 
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再由公式可得解；由，，可求出的坐标，再根据向量的模即可解答.【解答】 
解：因为，，所以直线，，两两互相垂直以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 
则，，，，，， 
设平面的法向量为，则令，得，所以点到平面的距离；因为，所以，故 

 

17.【答案】-m;

【解析】解：， 
， 
故答案为： 
利用有理数指数幂及根式的运算性质求解． 
此题主要考查了有理数指数幂和根式的运算，是基础题．
 

18.【答案】9;

【解析】解：，  
，  
故答案为：． 
，即可求得．  
该题考查有理数指数幂的化简求值，考查有理数幂的运算，考查计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：（1）原式=×+=+4=2+4=6． 
（2）∵5m=2，5n=3， 
∴54m-3n====．;

【解析】 
利用有理数指数幂的运算性质求解． 
此题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题．
 

20.【答案】解：（1）原式====． 
（2）原式=-1++=-1+8+=10．;

【解析】 
利用指数幂的运算性质即可得出． 
该题考查了指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：原式=（1+）+|1-|=1++-1=2．;

【解析】 
利用有理数指数幂的运算性质求解． 
此题主要考查了有理数指数幂的运算性质，同时考查了学生的计算能力，是基础题．
 

22.【答案】解： 
 
 
 
 
 
 
;

【解析】此题主要考查了有理数指数幂的化简求值，是基础题． 
直接根据运算性质计算得答案； 
直接根据运算性质计算得答案． 

 

23.【答案】解：（1） 
= 
= 
=2×3=6； 
（2）化简： 
= 
=-9a．;

【解析】 
化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值；  
直接利用有理指数幂的运算性质化简求值． 
该题考查有理指数幂的化简求值，考查根式与分数指数幂的互化，是基础题．