小学数学人教版六年级上册8 数学广角——数与形单元测试一课一练

六年级上册数学分层训练A卷-第八单元数学广角——数与形

（满分：100分，完成时间：60分钟）

一、选择题（满分16分）

1．按下图方式摆放桌子和椅子，如果用x表示桌子张数，用y表示可坐人数，下面式子能表示可坐人数与桌子张数的关系的是（   ）

A．y＝2x（x＋2） B．y＝2x＋2

C．y＝4x D．y＝4x＋1

2．根据下面给出的信息，231可以用（   ）表示。

A．B．C．D．

3．有一组图，它的排列规律如下图，第7个图形由（   ）个●组成。   

A．21 B．25 C．28 D．32

4．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（   ）根小棒。

A．151 B．179 C．180 D．181

5．下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，据此规律，的值是（   ）。

A．86 B．104 C．114

6．按△△☆☆◇◇◇△△☆☆◇◇◇……的规律排序，第50个图形是（   ）。

A．△ B．☆ C．◇

7．与1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1表示相同结果的算式是（   ）。

A．（5＋3）2 B．42 C．52＋32 D．52－32

8．小马设计了一个游戏，输入一个数后电脑会自动输出一个数，如下图：

根据以上规律，当小马输入数字5时，输出的数字是（   ）。

A． B． C．

二、填空题（满分16分）

9．摆1个三角形要3根小棒，摆2个三角形要5根小棒（如图），摆n个三角形要(        )根小棒，现在有49根小棒，可以摆(        )个这样的三角形。

10．一张餐桌可以坐6个人（如下图所示），照这样坐，18张餐桌共可坐(        )人。

11．用小棒摆正六边形（如下图）。

(1)摆5个正六边形需要(        )根小棒；用101根小棒能摆(        )个正六边形。

(2)摆个正六边形需要(        )根小棒。

12．3×6＝18

33×66＝2178

333×666＝221778

3333×6666＝22217778

的积里有(        )个2，(        )个8。

13．找规律，写答案。

0.1÷11＝0.0090909……

0.2÷11＝0.0181818……

0.3÷11＝0.0272727……

0.5÷11＝(      )

找一找，这个商的小数点后第2022个数字是(        )。

14．找规律，写得数。

1×5＋4＝9＝3×3；2×6＋4＝16＝4×4；3×7＋4＝25＝5×5；4×8＋4＝36＝6×6；…；10×(        )＋4＝(        )＝(        )×(        )；…；(        )×(        )＋4＝(        )＝(        )×32。

15．我们把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”，把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”。观察下图可以发现：任何一个大于1的正方形数都可以看做两个相邻的三角形数的和。

那么正方形数36可以看做(          )和(          )这两个相邻三角形数的和。

16．用棱长1厘米的正方体，依次拼摆出下面的长方体。照这样的摆法，由5个正方体拼摆出的长方体表面积是(        )平方厘米；由n个正方体拼摆出的长方体表面积是(        )平方厘米。

三、判断题（满分8分）

17．。(      )

18．摆1个△用3根小棒，摆2个△用5根小棒，摆3个△用7根小棒。照这样，摆5个△用11根小棒。(      )

19．…＝1。(      )

20．如图，第五个点阵中点的个数是17个。(      )

四、作图题（满分12分）

21．(6分)下面的每一个图形都是由△、口、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数找出规律，画出表示“23”和“12”的图形。

22．(6分)观察下列图形的变化规律，在空格内画出适当的图形。

五、解答题（满分48分）

23．(6分)牛牛突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单：

如图所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，请写出第45组是什么？

24．(6分)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：

（1）第8个图形中有多少颗黑色棋子？

（2）第几个图形中有303颗黑色棋子？

25．(6分)先找规律填数，再计算每相邻两个数的比的比值，比值用小数表示。（除不尽的保留三位小数）你能发现什么规律？

2，3，5，8，13，21，34，(        )，(        )……

26．(6分)如图，一张方桌可以坐4人，两张方桌可以坐6人，3张方桌可以坐8人，22张方桌可以坐多少人？坐18人需要几张方桌？

27．(6分)

（1）像这样摆下去，第n个图形需要__________根小棒。

（2）当n＝35时，计算第（1）题式子中需要的小棒数。

28．(6分)观察下列顺序排列的等式，猜想第21个等式应该是多少？

9×0＋1＝1

9×1＋2＝11

9×2＋3＝21

9×4＋5＝41

……

29．(12分)两个非0数a、b，小明为了验证是不是等于，想出了两种办法验证：

（1）例举具体数据进行验证；

（2）用数形结合方法验证：

画一个大正方形，边长是a＋b的和，如图，那么大正方形面积边长×边长可以表示为（a＋b）×（a＋b），也就是。也可以用①②③④四块面积相加求和，看结果是不是等于。

请你分别用上面（1）（2）两种方法来验证：是不是等于。

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

把每幅图左右两边人数单独看，每张桌子代表2人，则坐的人数=2×桌子张数+2，据此解答即可。

【详解】

因为坐的人数=2×桌子张数+2，如果用x表示桌子张数，用y表示可坐人数，则：y＝2x＋2。

答案：B

【点评】

考查数与形、用字母表示数，解答的关键是找到题中的规律。

2．A

【解析】

【分析】

观察可知，○表示100，△表示10，☆表示1，231由2个百、3个十、1个1组成，据此用对应图形表示出各数位上的数即可。

【详解】

2个百用○○表示，3个十用△△△表示，1个1用☆表示，231可以用○○△△△☆表示。

答案：A

【点评】

关键是理解不同图形表示的计数单位，根据整数的组成用图形表示出这个数。

3．C

【解析】

【分析】

第1个图形有●：1个；

第2个图形有●：3个，3＝1＋2；

第3个图形有●：6个，6＝1＋2＋3；

……

规律：第n个图形中●的个数＝1＋2＋3＋…＋n＝n×（n＋1）÷2；

据此求出第7个图形中●的个数。

【详解】

第7个图形：

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7

＝7×8÷2

＝56÷2

＝28（个）

答案：C

【点评】

通过数与形的结合，从已知的图形和数据中找到规律，并按规律解题。

4．A

【解析】

【分析】

观察图形，第一个六边形需要6根小棒，第二个六边形需要（6＋5）根小棒，第三个六边形需要（6＋5×2）根小棒，依次类推，计算出第30个六边形需要的小棒数。

【详解】

摆30个六边形需要的小棒数：

6＋5×（30－1）

＝6＋5×29

＝6＋145

＝151（根）

答案：A

【点评】

此题的解题关键是利用数与形的结合，通过观察图形，把图形中变化的规律转化成算式，多多练习，培养数感。

5．A

【解析】

【分析】

看图观察发现，右上角和左下角的数的积，加上左上角的数等于右下角的数，并且右上角和左下角的数为连续的偶数，由于第三个正方形中右上角的数是8，所以第四个正方形中左下角的数是8，右上角的数是10。用8乘10，再加上6，可以求出m的值。

【详解】

8×10＋6

＝80＋6

＝86

所以，m的值是86。

答案：A

【点评】

考查了数与形，有一定观察总结能力是解题的关键。

6．A

【解析】

【分析】

看图形规律，△△☆☆◇◇◇为一组重复出现，所以用50除以7，求出商和余数，余数是几，第50个图形就是第一组图形的第几个。

【详解】

50÷7＝7……1，“△△☆☆◇◇◇”中第一个图形是△，所以第50个图形也是△。

答案：A

【点评】

考查了图形的排列规律，有一定观察力是解题的关键。

7．C

【解析】

【分析】

先求出1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1的结果，然后观察算式的规律，1、3、5、7、9构成了等差数列，1＋3＋5＋7＋9＝52，5＋3＋1＝32，依此即可求解。

【详解】

1＋3＋5＋7＋9＋5＋3＋1

＝（1＋9）×5÷2＋（5＋1）×3÷2

＝25＋9

＝52＋32

＝34

答案：C

【点评】

考查了等差数列求和的规律，发现规律，利用规律是解题的关键。

8．C

【解析】

【分析】

观察表中的数字可得出如下规律：输入的数字作为输出分数的分子，输出的分数分母之差为一个按顺序排列的奇数。据此规律作答。

【详解】

当小马输入数字5时，输出的分数，分子是5

分母的规律是：5－2＝3，10－5＝5，17－10＝7，下一个奇数应为9，17＋9＝26

所以，当小马输入数字5时，输出的数字是。

答案：C

【点评】

考查数字的排列规律，将分数拆分开来，分别寻找分子和分母的规律，最后在组合得出结论。

9．2n＋1     24

【解析】

【分析】

搭一个三角形需3根火柴，搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒，搭3个三角形中间少用2根……搭n个三角形中间少用（n－1）根，需要[3n－（n－1）]＝2n＋1根火柴棒，进而求出有49根火柴，可以摆几个这样的三角形。

【详解】

搭一个三角形需3根火柴；

搭2个三角形中间少用1根，需要5根火柴棒；

搭3个三角形中间少用2根，需要7根火柴棒；

所以要连摆n个三角形，要用（2n＋1）根火柴棒。

（49－1）÷2

＝48÷2

＝24

【点评】

注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径，也可以只分析数字3，5，7，9，11…，得出结论。

10．74

【解析】

【分析】

观察可知，坐的人数＝餐桌数量×4＋2，据此列式计算。

【详解】

18×4＋2

＝72＋2

＝74（人）

【点评】

数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

11．(1)26     20

(2)

【解析】

【分析】

（1）观察可知：摆一个正六边形要5×1＋1＝6根小棒；摆2个正六边形要5×2＋1＝11根；摆3个正六边形要5×3＋1＝16根；摆5个正六边形要5×5＋1＝26根；101根小棒可以摆（101－1）÷5＝20个。

（2）摆n个正六边形要5n＋1根小棒。

(1)

摆5个正六边形需要（26）根小棒；用101根小棒能摆（20）个正六边形。

(2)

摆个正六边形需要（5n＋1）根小棒。

【点评】

考查了观察能力了推理归纳能力。从图形的摆放中发现规律，利用规律是解答的关键。

12．2021     1

【解析】

【分析】

观察算式可知，两个n位数相乘，如果一个因数各个数位上的数字都是“3”，另一个因数各个数位上的数字都是“6”，则它们的积为2n位数，从高位起有（n－1）个2，第n位上的数字是“1”，第n～（2n－1）位上的数字是7，个位上是8，据此解答即可。

【详解】

根据分析可知，

2022－1＝2021（个）

所以，的积里有2021个2，1个8。

【点评】

解答此题时需要通过观察找出规律再进行计算，数位较多，解答时注意细心。

13．0.0454545……     4

【解析】

【分析】

仔细观察题中的式子可以发现：除数不变，被除数乘几，商也乘几，据此求出0.5÷11＝0.0454545……；这个商的小数点后第2022个数字（总数位数循环节的位数。

【详解】

0.5÷0.1＝5

0.5÷11＝0.0090909……×5＝0.0454545……

0.5÷11的商是一个循环小数，这个循环小数的循环节是45，

（2022－1）÷2

＝2021÷2

＝101（组）……1（位）

余数1表示一个循环里的第1个数即4；所以这个商的小数点后第2022个数字是4。

【点评】

能发现题中的规律并利用规律求出0.5÷11的结果以及熟练掌握求循环小数第几位上数字是多少的方法是解题的关键。

14．14   144   12   12   30   34   1024   32

【解析】

【分析】

注意观察，在每个算式中，第二个数比第一个数大4，第四个数等于第二个数减去2的差的平方数，比如1×5＋4＝9＝3×3中，5＝1＋4，（5－2）2＝9，据此解答。

【详解】

10＋4＝14，（14－2）2＝144；

所以10×14＋4＝144＝12×12；

32×32＝1024，32＋2＝34，34－4＝30；

所以30×34＋4＝1024＝32×32。

【点评】

此题主要通过观察，找到数字之间的规律，解决实际问题。

15．15     21

【解析】

【分析】

由题意知：4＝22、9＝32、16＝42……正方形数是完全平方数。三角形数是从1开始的连续自然数的和，分别是：

1，

1＋2＝3

1＋2＋3＝6

1＋2＋3＋4＝10

1＋2＋3＋4＋5＝15

……

36以内的三角形数有：1、3、6、10、15、21、28、36，找到相邻的两个三角形数相加等于36即可；据此解答。

【详解】

由分析可知：36＝15＋21，所以正方形数36可以看做15和21这两个相邻三角形数的和。

【点评】

能根据题意，找出正方数和三角形数之间的规律，是解答的关键。

16．22     4n＋2

【解析】

【分析】

棱长为1厘米的正方体的一个面的面积是1平方厘米，且相邻的2个正方体拼组在一起减少了2个小正方体的面：

第一个长方体的表面积是：6个小正方体的面，可以写成1×4＋2；

第二个长方体的表面积是：10个小正方体的面，可以写成2×4＋2；

第三个长方体的表面积是：14个小正方体的面，可以写成3×4＋2；

第五个长方体的表面积是：22个小正方体的面，可以写成5×4＋2；

…

则第n个长方体的表面积是：4n＋2个小正方体的面。

【详解】

根据题干分析可得：

第五个长方体的表面积是：

5×4＋2

＝20＋2

＝22（平方厘米）

第n个长方体的表面积是：4n＋2个小正方体的面。

【点评】

主要考查了找规律，解答此题关键是首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。

17．√

【解析】

【分析】

从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方，据此解答即可。

【详解】

答案：√。

【点评】

考查数与形，解答的关键是掌握题中相加数字的和的规律。

18．√

【解析】

【分析】

根据小棒数量＝三角形数量×2＋1，计算即可。

【详解】

5×2＋1

＝10＋1

＝11（根）

答案：√

【点评】

数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

19．√

【解析】

【分析】

根据算式可知，后面一个数是前一个数的，如果把一条线段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半的一半表示，这样不断地取下去，最终相当于取了整条线段。所以…＝1，据此解答即可。

【详解】

…＝1，说法正确；

答案：√。

【点评】

采用了数形结合的思想，使题目形象化，再利用极限思想得到结果。

20．√

【解析】

【详解】

第一个点阵中点的个数：1个

第二个点阵中点的个数：1＋4＝5（个）

第三个点阵中点的个数：1＋4＋4＝9（个）

……

第n个点阵中点的个数：1＋4（n﹣1）＝（4n－3）（个）

……

第五个点阵中点的个数：

4×5－3

＝20－3

＝17（个）

答：第五个点阵中点的个数是23个．所以原说法正确．

答案：√

21．见详解

【解析】

【分析】

根据图形和数字的排列规律可发现，△＝1，○＝2，□＝3，十位上的数代表的图形在外，个位上的数代表的图形在内，据此推理即可。

【详解】

据图可得△＝1；

 据图和可得○＝2；

 据图可得：□＝3；

所以；。

【点评】

数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。

22．

【解析】

【分析】

每幅图中的小圆圈都是以最中心的一个向三个方向延伸，每次都是每个方向增加1个，并且每个方向上的小圆圈都是黑白交替排列的；第四幅图，在第三幅图的基础上，每个方向增加一个白色的小圆圈。

【详解】

如图：

【点评】

也可以先考虑数量上的变化规律，再考虑颜色的排列规律。

23．鱼宫

【解析】

【分析】

观察表格可知，第一排是按照水、煮、鱼⋯⋯3个一组循环排列的；第二排是按照宫、保、鸡、丁⋯⋯4个一组循环排列的，用45分别除以3和4，余数是几就从左边数几即可。

【详解】

45÷3＝15（组）

45÷4＝11（组）⋯⋯1（个）

答：第45组上面的字是鱼，下面的字是宫。

【点评】

考查循环数列，明确上、下几个字为一组是解题的关键。

24．（1）27颗（2）100个

【解析】

【分析】

第1图形有黑色棋子的颗数：6＝1×3＋3；

第2图形有黑色棋子的颗数：9＝2×3＋3；

第3图形有黑色棋子的颗数：12＝3×3＋3；

第4图形有黑色棋子的颗数：15＝4×3＋3；

……

第n图形有黑色棋子的颗数：n×3＋3。

【详解】

（1）8×3＋3

＝24＋3

＝27（颗）

答：第8个图形中有27颗黑色棋子。

（2）（303－3）÷3

＝300÷3

＝100（个）

答：第100个图形中有303颗黑色棋子。

【点评】

解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，再灵活运用规律解答。

25．55     89

【解析】

【分析】

根据题意可知，依据数据的变化，可以发现：前两个数据相加等于后一个数据，据此解答，求比值时，用前项÷后项＝比值，据此解答。

【详解】

2、3、5、8、13、21、34、（55）、（89）……

比值分别为：0.667，0.6，0.625，0.615，0.619，0.618，0.618，0.618……

我发现：前两项之和等于后一项。

【点评】

此题考查是的找规律，正确找出规律并用规律解决问题是解题关键。

26．46人； 8张

【解析】

【分析】

观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．则有n张桌子时，有4＋2（n－1）＝2n＋2人；由此即可计算当n＝22时，求出2n＋2的值；当2n＋2＝18人时，求得桌子张数n的值。

【详解】

第一张桌子可以坐4人；

拼2张桌子可以坐4＋2×1＝6人；

拼3张桌子可以坐4＋2×2＝8人；

故n张桌子拼在一起可以坐4＋2（n－1）＝2n＋2。

当n＝22时，

2n＋2

＝2×22＋2

＝46（人）

当2n＋2＝18时，n＝8。

【点评】

此题考查了平面图形的规律变化，解答此题关键是观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题。

27．（1）2n ＋1；

（2）71根

【解析】

【分析】

（1）观察图形可知：摆1个三角形需要3根小棒，可以写作：2×1＋1；摆2个需要5根小棒，可以写作：2×2＋1；摆3个需要7根小棒，可以写成：3×2＋1；……摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒。

（2） 根据第一小题的分析可知，摆n个三角形需要：（2n ＋1）根小棒，当n＝35时，把数据代入计算，即可求当n＝35时，需要小棒的数量。

【详解】

（1）根据分析可知，像这样摆下去，第n个图形需要（2n＋1）根小棒。

（2）35×2＋1

＝70＋1

＝ 71（根）

答：摆35个三角形需要71根小棒。

【点评】

认真观察图形，并从中找出图形变化的规律，是解答此题的关键。

28．201

【解析】

【分析】

观察下列等式，发现9×0＋1＝10×0＋1＝1，9×1＋2＝10×1＋1＝11，9×2＋3＝10×2＋1＝21，9×4＋5＝10×3＋1＝41，发现第n个等式为：9×（n－1）＋n＝10×（n－1）＋1。据此解答即可。

【详解】

由分析得，

第21个等式应为9×（21－1）＋21

＝10×（21－1）＋1

＝201

【点评】

此题考查的找规律，先分别观察左右两边的式子，根据特点找出规律，用规律计算。

29．不相等；过程见详解

【解析】

【分析】

（1）假设a是1，b是4，求值时，要先先字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。

（2）根据正方形面积＝边长×边长，长方形面积＝长×宽，表示出大正方形面积，以及2个小正方形面积＋2个长方形的面积和，比较即可。

【详解】

（1）假设a是1，b是4

（1＋4）²

＝5²

＝25

1²＋4²

＝1＋16

＝17

25≠17，所以与不相等。

（2）（a＋b）×（a＋b）＝

a²＋b²＋a×b×2＝ a²＋b²＋2ab

所以所以与不相等。

【点评】

数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。