精品解析：广东省深圳市南山区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题

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2021－2022学年度第二学期期末教学质量监测八年级数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）
1. 对称美在生活中处处可见，下列是历届冬奥会的会徽，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：A.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C.选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D.选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键．
2. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝64°，则∠BCE等于（ ）

A. 26° B. 30° C. 36° D. 64°
【答案】A
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得∠B=∠D=64°，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=64°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE=26°，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
3. 如图，∠ABD=∠CBD，AB=CB，据此可以证明BAD≌BCD，依据是（ ）

A. AAS B. ASA C. SAS D. HL
【答案】C
【解析】
【分析】依据图形可得到BD=BD，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：C
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS、HL；注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
5. 若不等式的解集是，则的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在不等式（m+2）x＞m+2的两边同除以m+2，应根据m+2＞0或m+2＜0，进行分类讨论，再由x＜1的解集求出m的取值范围．
【详解】当m+2＞0时，解得：x＞1，与题目中x＜1矛盾，故m+2＞0，即m＞-2时不符合题意；
当m+2＜0时，解得：x＜1，与题目中x的解集一致，故m+2＜0，即m＜-2时符合题意．
故m的取值范围为m＜-2．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝16，将△ABC沿CB方向向右平移得到△DEF，若四边形ABED的面积为24，则平移距离是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】先根据含30度的直角三角形的性质得到AC，再根据平移的性质得AD＝BE，AD∥BE，于是可判断四边形ABED为平行四边形，则根据平行四边形的面积公式得到BE的方程，则可计算出BE＝3，即得平移距离．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝16，
∴AC＝AB＝8，
∵△ABC沿CB向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE，AD∥BE，
∴四边形ABED为平行四边形，
∵四边形ABED的面积等于24，
∴AC•BE＝24，即8BE＝24，
∴BE＝3，
即平移距离等于3．
故选：B．
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的判定与性质．
7. 下列式子中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
8. 如图，直线经过点，则不等式的解集为（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数的图象利用数形结合的方法确定不等式的解集即可．
【详解】解：观察图象知：当时，，
故选D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据函数的图象解答，难度不大．
9. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1∶以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2∶以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；
步骤3∶连接AD，交BC延长线于点H．
下列叙述正确的是( )

A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD
C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD
【答案】A
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】解：A．如图连接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确，符合题意；
B．CA不一定平分∠BDA， 故B错误，不符合题意；
C．应该是S△ABC=•BC•AH，故C错误，不符合题意；
D．根据条件AB不一定等于AD， 故D错误，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10. 如图，四边形ABCD中．AC⊥BC，//，BD为∠ABC的平分线，BC＝6，AC＝8．E、F分别是BD、AC的中点，则EF的长为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理得到AB=10，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABD=∠ADB，求得AB=AD=10，连接BF并延长交AD于G，根据全等三角形的性质得到BF=FG，AG=BC=6，求得DG=10-6=4，根据三角形中位线定理即可得到结论．
【详解】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵BC=6，AC=8．
∴，
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=10，
连接BF并延长交AD于G，

∵，
∴∠GAC=∠BCA，
∵F是AC的中点，
∴AF=CF，
在△AFG和△CFB中，，
∴△AFG≌△CFB（AAS），
∴BF=FG，AG=BC=6，
∴DG=10-6=4，
∵E是BD的中点，
∴EF= DG=2．
故选：A．
【点睛】此题考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，共15分．请把答案填在答题卡上）
11. 当x_____时，分式有意义.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得x-5≠0，再解即可．
【详解】∵分式有意义
∴当x-5≠0即x≠5.
故答案为≠5.
【点睛】分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
12. 因式分解：= ．
【答案】．
【解析】
【详解】解：=．
故答案为．
考点：因式分解-运用公式法．
13. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为______．

【答案】5
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得出DC=DE=3，再代入BD=BC-DC求出即可．
【详解】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE=3，
∴DC=DE=3，
∵BC=8，
∴BD=BCDC=83=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
14. 如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝______．

【答案】110°
【解析】
【分析】根据多边形的外角和即可求得∠D的外角，再根据一个内角与于它相邻的外角的关系即可求解．
【详解】解：如图所示：

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，
∴∠5=360°-290°=70°，
∴∠CDE=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和的性质，熟练掌握多边形的外角和等于360°及一个内角与于它相邻的外角互补关系是解题的关键．
15. 对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下：，例如：．若x*y＝2，则的值为______．
【答案】1011
【解析】
【分析】根据新运算法则可得，即，代入原式化简即可求解．
详解】解：由题意得：
x*y＝2，即，则：，
则，
故答案为：1011．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，理解新运算法则，将已知化为未知的形式进行化简是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，其中，第16题8分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共计55分）
16. （1）解不等式：
（2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．

【答案】（1）x≥15；（2）x≤1，数轴见解析
【解析】
【分析】（1）依次移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】：（1）3x﹣2≥x+1，
移项得，3x﹣x≥1+2，
合并同类项得，2x≥3，
系数化为1得，x≥1.5；
（2），
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
17. 计算时，小明、小亮两位同学的解法如下：
小明：
①
②
小亮：
③
④

（1）判断：小明、小亮两位同学的解题过程有无错误？若无误，请直接跳到下一问；若有误，则找出最先出错的式子：______（填序号）．
（2）请任选一种自己喜欢的解法，完成解答．
【答案】（1）① （2）选小明的解法，解答见解析
【解析】
【分析】（1）逐步分析两位同学的做法，找出出错的式子．
（2）任选其一，利用通分，化简即可解出答案．
【小问1详解】
解：小明：
①
②
故最先出错的式子为小明的解题过程中的①；
故答案：①
【小问2详解】
解：选第一种解法，过程如下：



＝
＝
＝
【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，关键在于熟练掌握分式混合运算的法则和步骤．
18. 如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．

（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．（直接写出答案）
【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）(0,-1)
【解析】
【分析】（1）将AB、AC分别绕A点旋转180°，找到B1、C1点，连接B1、C1，即可；
（2）根据C(-2,2)和C2(-2,-4)，可知相对于△ABC向下平移了6个单位，即将A、B点均向下平移6个单位即可确定A2、B2，则连接A2B2、A2C2、C2B2即可；
（3）根据图形先确定C1的坐标，再结合C1(2,2)和C2(-2,-4)利用中点坐标公式即可求出旋转中心的坐标．
【小问1详解】
作图如下：
【小问2详解】
作图如下：
【小问3详解】
根据上述图形可知C1坐标为(2,2)，
∵C1(2,2)和C2(-2,-4)，且C1(2,2)和C2(-2,-4)关于某点中心对称，
∴对称中点的坐标为：，即为：，
故答案：．
【点睛】本题考查了图形的旋转、平移以及根据旋转对称求旋转中心的坐标等知识，掌握平移、旋转的性质特点以及中点坐标公式是解答本题的关键．
19. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠ABC的平分线交AD于点E，与CD的延长线交于点F，BC＝FC．

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB＝5，BC＝8，CE⊥AD，求平行四边形ABCD面积．
【答案】（1）见解析；
（2）32
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质可得∠ABF＝∠FBC，由等腰三角形的性质可得∠ABF＝∠F＝∠FBC，可证AB∥CD，即可得结论；
（2）由等腰三角形的性质可求AE＝AB＝5，可得DE＝3，由勾股定理可求CE的长，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵BC＝CF，
∴∠FBC＝∠F，
∴∠ABF＝∠F
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABF＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝5，
∴DE＝3，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
在Rt△CDE中，，
∴，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×CE＝32．
故平行四边形ABCD面积为32．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．
20. 我们学习了一元一次不等式（组）的解法，请阅读学习一元二次不等式的解题思想方法，并以此解决后面的问题．
课题学习：如何解一元二次不等式？
例题：解一元二次不等式．
解：将分解因式

∵
∴
根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，
则有：（1）或（2）
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
∴的解集为或．
即：一元二次不等式的解集为或．
课题总结：解一元二次不等式的过程，体现了数学的化归思想及分类讨论思想．
问题解决：
（1）解一元二次不等式
（2）类比一元二次不等式的解题思想方法，直接写出分式不等式的解集为：______．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）类比例题解题过程，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”分类讨论，求出不等式组的解集即可；
（2）类比例题，根据有理数的除法法则“两数相除，异号得负”分类讨论，求出不等式组的解集即可．
【小问1详解】
将分解因式

∵
∴
根据有理数的乘法法则：“两数相乘，同号得正”，
则有：（1）或（2）
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
∴的解集为或．
即：一元二次不等式的解集为或．
【小问2详解】
由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”，
则有：（1）或（2）
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：无解
∴的解集为．
即：一元二次不等式的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．
21. 南山荔枝，中国国家地理标志产品，品种多样，其中糯米糍是最受大家喜爱的品种．某水果店上午购进了一批总价为4800元的糯米糍，很快销售一空．下午，水果店老板又补购了2000元的糯米糍，单价每斤比上午便宜了4元，并且下午的补货量恰好是上午的一半．
（1）糯米糍上午的进价是多少元/斤？
（2）上午和下午按相同的价格出售，若售完总利润率不低于20%，则销售单价至少为多少元/斤？
【答案】（1）24元/斤 （2）27.2元/斤
【解析】
【分析】（1）设上午的进价为x元每斤，则下午的进价为(x-4)元每斤，根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设销售单价为a元每斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【小问1详解】
设上午的进价为x元每斤，则下午的进价为(x-4)元每斤，
根据题意有：，
解得：x=24，
经检验，x=24是原方程的根，
即上午的进货价格为24元/斤；
【小问2详解】
根据（1）可知，上午进货价为24元每斤，则下午的进货价为(24-4)元每斤，
上午进货量为：斤，下午进货为：斤，
设销售单价为a元每斤，
则根据题意有：，
解得：，
即销售单价至少为27.2元每斤．
【点睛】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，明确题意并列出相应的分式方程以及一元一次不等式是解答本题的关键．
22. 如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6cm，点D从点O出发，沿射线OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，连接DE、BE，设点D运动了ts．


（1）点D的运动过程中，线段AD与BE的数量关系是______，请以图1情形为例（当点D在线段OA上时，点D与点A不重合），说明理由．
（2）当6 （3）当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、B、E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出此时t的值______．
【答案】（1）AD＝BE，理由见解析；
（2）2+4，理由见解析；
（3）2或14．
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质得到∠DCE＝60°，DC＝EC，进而证得△ACD≌△BCE，即可得到结论；
（2）当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE＝AD，于是得到C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，根据等边三角形的性质得到DE＝CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
（3）存在，①当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，②当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，求得∠BED＝90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC＝60°，求得∠CEB＝30°，求得OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，于是得到t＝2÷1＝2s；③当6＜t＜10时，不存在直角三角形．④当t＞10时，可得到t＝14．
【小问1详解】
解： AD＝BE，理由如下：
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°＝∠DCE，AC＝BC，
∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，
故答案为：AD＝BE；
【小问2详解】
存在，当6＜t＜10时，
由（1）知，BE＝AD，
∴△BDE周长C△BDE＝BE+DB+DE＝AD＋DB＋DE＝AB+DE＝4+DE，
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△BDE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD最短，△BDE的周长最小，
在等边三角形△ABC中，∠ACB＝60°，BC＝AB＝4cm，
当CD⊥AB时，BD＝AB＝2（cm），
∴CD＝（cm），
∴△BDE的最小周长＝CD+4＝（2+4）（cm）；
【小问3详解】
存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意，
②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转60°得到CE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DEC＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4cm，
∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2cm，
∴t＝2÷1＝2（s）；
③当6＜t＜10时，不存在直角三角形．
④如图，当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4cm，
∴OD＝14cm，
∴t＝14÷1＝14（s），
综上所述：当t＝2或14s时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形，
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形周长的计算、直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．