人教版六年级数学上册【详解】六年级（上）第07讲 不定方程仅答案

第七讲 不定方程

例题：

例题1. 答案：14或10
详解：由于方程两边除以3的余数相同，，，所以除以3余2．又因为，所以是不超过7的自然数，只能取2或5．当时，，；当时，，．所以张明共买了14支或10支铅笔．

例题2. 答案：26
详解：设买了大盒鸡蛋盒，小盒鸡蛋盒，则．考虑方程两边除以16的余数，得：除以16的余数是4．首先要求是4的倍数，所以是4的倍数，验证4、8、12、……发现满足除以16的余数是4的最小值是12，相应的的值是14，即．由于且，所以方程没有其它自然数解，采购员一共买了盒鸡蛋．

例题3. 答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有人和人．则两队植树棵数分别为棵和棵．由分析得：．将0、1、2、……代入方程验证是否是自然数，可以求出方程的值最小的一组自然数解，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“值增加13且同时值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是，，，……），每次“值增加13且同时值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有人．

例题4. 答案：8
详解：设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？
由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米．

例题5. 答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只
详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了只、只和只．依题意，得：．要求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问题．我们选择“消去”：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得：，即，它的所有自然数解是、、、．它们对应的值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所有自然数解是：、、和．所以我们有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．

例题6. 答案：12
详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有包、包、包和包，则．把系数都化成整数，得：．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数分为一组，其余未知数分为另一组：．也就是．令，则．它的自然数解只有，所以阿奇共买了12包奶糖．

练习：

1. 答案：（1）有三组解：；；；（2）有一组解：
   简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）考虑方程两边除以11的余数．
2. 答案：有四种购买方案：12个大蛋糕，4个小蛋糕；8个大蛋糕，11个小蛋糕；4个大蛋糕，18个小蛋糕；0个大蛋糕，25个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花元
   简答：求不定方程的自然数解即可．
3. 答案：4台
   简答：的最小自然数解为，最少需要大空调1台，小空调3台．
4. 答案：3
   简答：注意是7的倍数．
5. 答案：（1）有三组解：、、；（2）1；2；6
   简答：（1）消去可解；（2）求的正整数解即可．

作业：

1. 答案：（1）；（2）；
   简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）消去未知数y，转化成二元一次不定方程．
    
2. 答案：12
   简答：由，得：，所以参加活动的共有人．
    
3. 答案：17
   简答：设留下来的数中有x个1.21和y个1.3，则．由于总和的百分位是8，说明8或18．仅当相应的y是整数，求得，所以应该划去个1.3．
    
4. 答案：（1）10；（2）7
   简答：（1）设买了冬菜包x个，豆香包y个．由，得：，所以樱木同学一共买了个包子；（2）由，得：、、或，所以羊肉串最多有7串．
    
5. 答案：甲51；乙53；丙49
   简答：设甲、乙、丙三个班分别有x人、y人、z人，则由已知可得：，即，所以可知x是除以10余1的数，y是除以9余8的数．又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51，此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53，则z为49．