人教版六年级数学上册【课本】六年级（上）第04讲 对应计数

第四讲 对应计数

有9个球排成一行：

我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如：

可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙．插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中．8个空隙选两个，共有种方法．

如果要把三堆小球分别装入颜色为红、黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢？其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28．这样我们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插板法”．

“插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题．
 

例1．          把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法？如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法？

【分析】

 

「分析」题目的第一问与我们上面的小球插板问题非常相似，如何用“插板法”求解呢？第二问允许有的“小朋友没有分到苹果”，还能不能用“插板法”呢？
 

练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟．如果每只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方法？
 

例2． 某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择．请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？

「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？

练习2、8名同学做同一道单选题，它有A、B、C、D四个选项，每个同学都选了其中一个选项．老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？

 

例3． 在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？

「分析」要把“L”型放入的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有8种情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？
 

练习3、在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？

 

例4． （1）一只青蛙沿着一条直线跳跃4次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
（2）如果这只青蛙在一个方格边长为1分米的方格纸上沿格线跳跃4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
「分析」（1）青蛙在直线上跳跃4次后要回到起点，如果一直往一个方向跳，显然是不行的．那么青蛙应该怎么跳呢？
（2）青蛙在方格表上跳跃4次后要回到起点，现在青蛙有哪些跳跃的方向，每个方向上各应该跳跃多少次呢？

练习4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？


 

 对应法是一种很巧的计数方法，但如何建立对应关系，是其中的难点．之前几道题，对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能找出隐藏的对应关系．
 

例5． 常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？

 「分析」由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场．如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号，那么常昊胜的4场比赛编号，就决定了整个比赛流程．而常昊获胜的比赛可以是哪4场呢？


 

例6． 海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？

「分析」你能用插板法求解这道题吗？


 

作业

1. 一部电视连续剧共8集，电视台要在周一到周四这4天内按顺序播完，其中可以有若干天不播，共有多少种安排播出的方法？165
    
2. 现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做．共有多少种安排做题的方案？91
    
3. 阿呆在玩PSP格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS电脑），谁先胜三场谁就获得胜利．如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛的胜负）10
    
4. 在的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？
   80
   
    
5. （1）有8个鸡蛋，每天至少吃1个，一共吃了5天，有多少种不同的吃法？35
   （2）有8个鸡蛋，每天至少吃2个，一共吃了3天，有多少种不同的吃法？6
       （注：这8个鸡蛋看作完全相同）