2023-2024学年山东省济南五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济南五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省济南五中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 3.把方程化成的形式，则，的值是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.如果，那么的值为(    )A.  B.  C. 或 D. 或5.用配方法解一元二次方程，配方正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.如图，小正方形的边长均为，则下列图中的三角形阴影部分与相似的是(    )

 A.  B.  C.  D. 7.在的空格中，分别填上“”或“”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是(    )A.  B.  C.  D. 8.如图、中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图、中的两个三角形，下列说法正确的是
(    )

 A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有相似 D. 只有相似9.如图，在▱中，点是边的中点，交对角线于点，则：等于(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：10.使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的长方形，求这个长方形的两边长．设墙的对边长为，可得方程(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是______ ．12.关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______ ．13.在一个不透明的布袋中，有红球、黑球、白球共个，它们除颜色外其他都相同小明从中任意摸出一个球，查看色后放回并摇匀，通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黑球的频率分别稳定在和，则他估计布袋中白球的个数约是______ 个14.如图，点、分别在、上，且，若，，，则的长为______．
 15.如图，点在的边上，若要使与相似，可添加的一个条件是______只需写出一个．
16.如图，已知点、是线段的两个黄金分割点，若线段的长厘米，则线段长______厘米．
三、解答题（本大题共8小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解下列方程：
；
；
；
．18.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求的取值范围；
设是方程的一个实数根，且满足，求的值．19.本小题分
我校为了进行学雷锋爱心义卖活动，决定在操场划分一块面积为平方米的矩形场地若矩形场地的一边靠墙墙长米，另外三边由总长为米的围绳围成，并且在垂直于墙的边上各设置了一个开口宽为米的入口和出口如图请根据方案计算出矩形场地的边长各是多少米？
20.本小题分
在一个口袋中有个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，随机地摸出一个小球记下标号后放回，再随机地摸出一个小球记下标号，求两次摸出小球的标号之和等于的概率．21.本小题分
百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天销售这种童装盈利元，那么每件童装应降价多少元？22.本小题分
如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点．
求证：∽；
若，，求的长．
23.本小题分

如图，点、、在一条直线上，与相交于点，．
求证：；
若，求的度数：
若连接，求证：∽．
24.本小题分
中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为秒．
填空：        ，        用含的代数式表示；
是否存在的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是二元一次方程，故错误；
B、方程去括号得：，
整理得：，为一元一次方程，故错误；
C、是分式方程，故错误；
D、，符合一元二次方程的形式，正确．
故选D．
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
一元二次方程有三个特点：
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是；
是整式方程．
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．2.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】
解：根据题意得且，
解得且．
故选C．3.【答案】 【解析】解：



，
故选：．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．4.【答案】 【解析】解：当时，根据比例的等比性质得到：；
当时，，．
因而的值是或．
故选D．
分两种情况讨论．，利用比例的等比性质得出；，利用分式的性质得出．
利用等比性质时，注意运用的条件：各式分母的和不等于．5.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
故选：．
移项，系数化成，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．6.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】
解：根据题意得：，，，
：：：：：：，
A、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
B、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似；
C、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与相似；
D、三边之比为：：，图中的三角形阴影部分与不相似．
故选：．7.【答案】 【解析】【分析】
让填上“”或“”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率．此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；能构成完全平方式．
【解答】解：能够凑成完全平方公式，则前可是“”，也可以是“”，但前面的符号一定是：“”，
此题总共有、、、四种情况，
能构成完全平方公式的有种、，
所以概率是．
故选：．8.【答案】 【解析】【分析】
在图中，根据三角形内角和定理求出，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；在图中，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．
本题考查的是相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：

在图中，，
则，，
∽；
在图中，，，
．
又，
∽．
故选：．9.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出∽是解题关键．
根据题意得出∽，进而得出，利用点是边的中点得出答案即可．
【解答】
解：▱，
，
∽，
，
点是边的中点，
，
．
故选D．10.【答案】 【解析】解：设墙的对边长为，可得方程：．
故选：．
根据铁丝网的总长度为，长方形的面积为，来列出关于的方程，由题意可知，墙的对边为，则长方形的另一对边为，则可利用面积公式求出即可．
本题主要考查长方形的周长和长方形的面积公式，得出矩形两边长是解题关键．11.【答案】 【解析】解：把代入得，
解得．
故答案为：．
把代入原方程得到，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．12.【答案】且 【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
即的取值范围为且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．13.【答案】 【解析】解：根据题意得：个．
故答案为：．
由红球与黑球的频率确定出白球的频率，用频率估计概率，用摸到白球的概率乘以即可估算出白球数．
此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是要计算出口袋中白色球所占的比例，再计算其个数．14.【答案】 【解析】解：在和中，
，，
∽，
，
又，，，
．
故答案为：．
根据已知条件可知∽，再通过两三角形的相似比可求出的长．
本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是证出∽，是一道基础题．15.【答案】 【解析】解：要使与相似，还需具备的一个条件是或等，
故答案为：．
两组对应角相等，两三角形相似．在本题中，两三角形共用一个角，因此再添一组对应角即可
此题考查了相似三角形的判定．注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．16.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据黄金分割的定义得到，然后利用进行计算．
【解答】
解：点、是线段的两个黄金分割点，
，
．
故答案为．17.【答案】解：，
．
，；
，
，
，
，
，
解得，；
，

或，
解得，；
，
，
，
或，
解得，． 【解析】直接开平方法解方程；
根据配方法，可得答案；
根据因式分解法，可得答案；
根据因式分解法，可得答案．
本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的题目选择不同的方法．18.【答案】解：根据题意得，解得；

是方程的一个实数根，则，则，
则即，
解得：舍去或．
故的值为． 【解析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
是方程的一个实数根，则，则，代入，求得的值．
本题考查了方程的根的定义以及根的判别式，中注意求得的要满足中的范围．19.【答案】解：设矩形场地的长为米，则宽为米，
由题意得：，
，
，
，
解得：或舍去，
，
矩形场地的长为米，宽为米． 【解析】设矩形场地的长为米，则宽为米，根据题意列出相应的一元二次方程即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．20.【答案】解：由题意画树形图如下：

从树形图看出，所有可能出现的结果共有个，这些结果出现的可能性相等，标号之和等于的结果共有种．
所以标号之和等于． 【解析】用树状图列举出所有情况，看两次摸出小球的标号之和等于的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．21.【答案】解：设每件童装应降价元，则
，
即：，
解得：，，
要扩大销售量，减少库存，
舍去．
答：每件童装应降价元． 【解析】设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出元，根据平均每天销售这种童装盈利元，即销量每件的利润元，列出方程求解即可．
本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出平均每天就可多售出的件数，再根据题意列出现在一天可售出的件数及每件盈利的总钱数，找出题中的等量关系列出方程求解即可．22.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
又，
，
，
∽；
解：，，，
，，
是的中点，
，
∽，
，
即，
，
． 【解析】由正方形的性质得出，，，得出，再由，即可得出结论；
由勾股定理求出，得出，由∽得出比例式，求出，即可得出的长．
本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．23.【答案】证明：．
∽；
，
，
即；
解：∽，
，
，，
；
证明：连接，
∽，
，
，
即，
．
∽． 【解析】根据相似三角形的性质定理得到，结合图形，证明即可；
根据相似三角形的性质即可得到结论；
根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】   【解析】解：由题意，得：，．
故答案为：，．
存在，理由如下：
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
存在的值，使得的面积等于，．
根据路程速度时间就可以表示出，再用就可以求出的长．
利用的结论，根据三角形面积公式建立方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．