2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市雁塔区高新一中九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知点在双曲线上，则下列各点也在此双曲线上的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.已知四条线段，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

3.一张正方形纸片在太阳光下的影子不可能是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 线段

4.一个口袋中有红球、白球共个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了次球，发现有次摸到白球．请你估计这个口袋中有个白球．(    )

A.  B.  C.  D.

5.已知点，，都在反比例函数是常数的图象上，且，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，小明晚上由路灯下的点处走到点处时，测得自身影子的长为米，他继续往前走米到达点处即米，测得自己影子的长为米，已知小明的身高是米，那么路灯的高度是(    )

 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，已知正方形，点为的中点，连接交于，则：的值为(    )

A.
B.
C.
D.

9.如图，，，，，，若在边上有点，使与相似，则这样的点有个．(    )

A.  B.  C.  D.

10.在矩形中，点为边上一点，将沿翻折得到，的延长线交边于点，过点作交于点，连接，分别交，于点，现有以下结论：连接，则垂直平分；四边形是菱形；；若，则其中正确的结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.若，则______．

12.大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为______ ．

13.如图，与位似，点为位似中心，面积为，面积为，则的值为______ ．

14.数学兴趣课上，小红用四根长为，，，的木棍中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是______ ．

15.有一个底面为正三角形的直三棱柱，三视图如图所示，则这个直棱柱的体积为______．

 

16.如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若，，则的值为______ ．

17.如图，正方形的边长为，点是边上一点，以为对角线作正方形，连接，则面积的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.本小题分
月日，第十九届亚洲运动会开幕式在浙江省杭州市举行在比赛中，运动员们奋勇争先，捷报频传运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，请你画出它的三视图．

19.本小题分

小明在如图网格纸中作了，三个顶点的坐标分别为，，请你以点为位似中心在网格纸中画出一个，使得它与小明作的位似，且相似比是：．

20.本小题分
如图，点、、在一条直线上，与相交于点，．
求证：；
若，的周长等于，求的周长．

21.本小题分
如图，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如表所示与长方体相同重量的长方体均满足此关系．

根据数据，求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式及的值；
现想将另一长、宽、高分别为，，，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上若该玻璃桌面能承受的最大压强为，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．

 

22.本小题分
西安作为十三朝古都，文化底蕴无比深厚．西安市仅不同分类的博物馆就多达三百多座，其中精彩纷呈的高校博物馆，为人们打开了一扇扇了解人类文明发展的窗口，也成为广大青少年的打卡圣地．小丽和班内同学准备利用周六、周日两天时间从以下个大学博物馆：西安交通大学西迁博物馆、西北工业大学航空博物馆、陕西师范大学教育博物馆、西北大学历史博物馆、长安大学地质博物馆，随机选取个，周六、周日各参观一个，请你解决下列问题：
请求出小丽周六去西安交通大学西迁博物馆的概率；
请用列表法或画树状图的方法，求小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的概率．

23.本小题分
如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点、、、在同一水平面上求灯泡到地面的高度．

 

24.本小题分
已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，已知点的坐标为，反比例函数的图象经过的中点，且与交于点，设直线的解析式为，连接，．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
点为轴正半轴上一点，若的面积等于的面积，求点的坐标；
点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，是否存在点、使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

25.本小题分
问题初探：
如图，已知与都是等腰三角形，顶角，且、的中点均为请写出与间的数量关系，并证明；
问题深入：
如图，已知与都是等边三角形，、的中点均为，请写出与间的数量关系，并证明；

拓展创新：
如图，在和中，，，，点在内部，直线与交于点，直接写出线段，，之间的数量关系______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在双曲线上，
，
只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上．
A、因为，所以该点不在双曲线上．故A选项不符合题意；
B、因为，所以该点不在双曲线上．故B选项不符合题意；
C、因为，所以该点不在双曲线上．故C选项不符合题意；
D、因为，所以该点在双曲线上．故D选项符合题意．
故选：．
求得的值，然后由给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．

2.【答案】 

【解析】解：四条线段、、、是成比例线段，
：：，
即：：，
．
故选：．
根据成比例线段的定义得到：：，然后利用比例的性质求的值．
本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比即它们的长度比与另两条线段的比相等，如  ：：即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

3.【答案】 

【解析】解：一张正方形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是梯形，
故选：．
根据平行投影的性质求解可得．
本题主要考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的性质．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
个，
答：估计这个口袋中有个白球．
故选：．
用球的总个数乘以摸到白球的频率即可．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．

5.【答案】 

【解析】解：，
反比例函数是常数的图象在第一、三象限，
如图所示，当时，，
故选：．
先判断，可知反比例函数的图象在第一、三象限，再利用图象法可得答案．
本题考查反比例函数的图象和性质，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
∽，
，即，
，
∽，
，即，
，解得，
，解得，
即路灯的高度为．
故选B．
由可判断∽，根据相似三角形的性质得，同理可得，然后解关于和的方程组即可得到的长．
本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．

7.【答案】 

【解析】解：根据题意画树状图如下：

由树状图可知共有种等可能结果，其中能配成紫色的有种结果，
那么可配成紫色的概率是；
故选：．
将转盘中蓝色划分为圆心角为度的两部分，将转盘中红色也划分为圆心角为度的两部分，画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解即可．
本题考查列表法与树状图法求概率，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，证明∽，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】
解：四边形为正方形，
，，，
∽，
，
点为的中点，
，
，
，，
，，
：：．

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，，
设，则．
若：：，则∽，
则，
解得：，
；
若：：，则∽，
则，
解得：或，
或，
所以这样的点存在的个数有个．
故选：．
根据已知分两种情况∽或∽来进行分析，求得的长，从而确定存在的个数．
此题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．

10.【答案】 

【解析】解：连接，将沿翻折得到，
垂直平分，故正确；
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
由折叠可知：，
，
，
即
，
四边形是菱形；故正确；
，
，
又，
∽，
，
又，
；故正确；
，
可设，，
由可知：，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，故错误，
即：正确的有，
故选：．
根据折叠的性质得出垂直平分，判断出正确；
由平行线的性质可得，由题意可知：，所以，由于，即，从而可知，又易证四边形是平行四边形，所以四边形是菱形；判断出正确；
通过证明∽，可得；故正确；
可设，，由可知：，，从而求出，，由于，从而可证∽，∽，求出，，从而可求出，从而可得，判断出错误，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
直接利用比例的性质得出，进而代入求出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确用一个未知数代替另一个未知数是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，
，
．
故答案为：
先利用黄金分割的定义计算出，然后计算即得到的长．
本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：与位似，
∽，，
面积为，面积为，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
根据位似变换的概念得到∽，，根据相似三角形的性质得到，再根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：从长为，，，的四条线段中任任意选取三条作为边，所有等可能情况有：，，；，，；，，；，，，共种，
其中能构成三角形的情况有：，，：，，共种，
则能构成三角形，
故答案为：．
列举出所有等可能的情况，找到可以组成三角形的情况的个数，即可求出概率．
此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关关系，其中概率所求情况数与总情况数之比．

15.【答案】 

【解析】解：该几何体是底面为正三角形的直三棱柱，
底面等边三角形的高为，
等边三角形的边长为，
底面面积，
直三棱柱的高为，
直棱柱的体积．
故答案为：．
根据三视图的特点和柱体体积公式计算即可．
此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征以及面积的计算方法是解决问题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
∽，
：，
，
：，
点在函数的图象上，点在函数的图象上，
，，
，解得，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，易得∽，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得：，继而根据反比例函数系数的几何意义即可求得答案．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，反比例函数系数的几何意义，得到：是解本题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交的延长线于点，
设，则，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
四边形和四边形都是正方形，
和都是等腰直角三角形，
，
∽，
，，
，是等腰直角三角形，
，
的面积

，
，
的面积有最大值，最大值为，
故答案为：，
由正方形的性质得出和都是等腰直角三角形，得，，得出∽，过点作交的延长线于点，设，则，由∽，求出，根据三角形面积公式及二次函数的性质即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，掌握正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象与性质等知识是解决问题的关键．

18.【答案】解：如图所示：
 

【解析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图象是俯视图，据此作答．
此题主要考查了三视图，关键是把握好三视图所看的方向．属于基础题，中考常考题型．

19.【答案】解：如图，即为所求．
 

【解析】利用位似变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．

20.【答案】解：，
∽，
，
，
即．
由知∽，
，
又，
∽，
，
，
．
答：的周长为． 

【解析】证明∽即可；
证明∽得到，再代入求值即可求解．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

21.【答案】解：由表格可知，压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，
设，将代入得：
，
解得，
，
当时，，
，
答：，；
这种摆放方式不安全，理由如下：
由图可知，
将长方体放置于该水平玻璃桌面上，，
，
这种摆放方式不安全． 

【解析】用待定系数法可得函数关系式，令可得的值；
算出，即可求出，比较可得答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．

22.【答案】解：小丽周六去西安交通大学西迁博物馆的概率为；
列表如下：

由表可知，共有种等可能结果，其中小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的结果有种，
小丽在周末两天可以去陕西师范大学教育博物馆参观的概率为． 

【解析】直接利用概率公式求解可得；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：由题意可得：，
则∽，
故，
即，
解得：；
，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为． 

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出的长，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．

24.【答案】解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
点的坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为：，
由题意得，点的横坐标为，
则点的纵坐标为：，
点的坐标为；
设点的坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
由题意得：，
解得：，
的面积等于的面积时，点的坐标；
当为平行四边形的边时，，，
点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，
点的纵坐标为，
当时，不合题意，舍去
当时，，
则点的坐标为，
当为平行四边形对角线时，
点的坐标为，点的坐标为，
的中点坐标为，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，
解得：，
点的坐标为，
综上所述：以点，，，为顶点的四边形为平行四边形时，点的坐标为或． 

【解析】根据矩形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；
根据三角形的面积公式计算即可；
分为平行四边形的边、为平行四边形的对角线两种情况，根据平行四边形的性质计算即可．
本题考查的是反比例函数的性质、平行四边形的性质以及三角形的面积计算，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

25.【答案】 

【解析】解：．
证明如下：
如图所示，连接、．

为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，．
为等腰直角三角形，点为斜边的中点，
，．
，，
．
在与中，
，
≌，
．
．
证明：如图所示，连接、．

为等边三角形，点为边的中点，
，．
为等边三角形，点为边的中点，
，．
．
，，
．
在与中，
，，
∽，
，
即．
，，
，
，，
，
∽，
，
过点作交于点，

，，
，
∽，
，
则，，
在中，，
．
即．
故答案为：．
如图所示，连接、，由全等三角形的判定定理证明≌；
如图所示，连接、，由等边三角形的性质和锐角三角函数的定义推知，结合即可证明∽，相似比为；
证明∽，由相似三角形的性质得出，过点作交于点，证明∽，由相似三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了旋转变换的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．