2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟九年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.某学校开设了劳动教育课程小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等小明恰好选中“烹饪”的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.甲、乙、丙、丁四名同学参加竞定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

3.已知一组数据，，，，，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5.若一元二次方程有实数解，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

6.如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

7.已知的半径为，线段的长为，则点在 ______填“内”、“外”或“上”．

8.一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数是______．

9.如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系： ______ 填“”，“”或“”

10.某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设计、现场展示的综合成绩按照：：比例确定某同学本次比赛的各项成绩分别为理论知识分，创新设计分，现场展示分，则该同学的综合成绩是______ 分

11.设、，是方程的两个根，则 ______ ．

12.某街道年用于绿化投资万元，预计年用于绿化投资达到万元，设这两年绿化投资的平均增长率为，由题意可列方程为______ ．

13.如图，，是的切线，，是切点若，则 ______ ．

14.已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值是          ．

15.一条弦把圆分成：两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．

16.在矩形中，，，点是平面内一动点，且满足，为的中点，点运动过程中线段长度的取值范围是            ．
 

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解一元二次方程：
；
；
．

18.本小题分

如图，在中，直径与弦相交于点，，．
求的大小；
已知圆心到的距离为，求的长．

19.本小题分
嘉嘉与淇淇两位同学解方程的过程如下：

嘉嘉的解法______；淇淇的解法______；填“正确”或“不正确”
请你选择合适的方法尝试解一元二次方程．

20.本小题分
如图是一个管道的横截面，圆心到水面的距离是，水面宽．
求这个管道横截面的半径．
求的度数．

21.本小题分
杨老师为了了解所教班级学生课后复习的具体情况，对本班部分学生进行了一个月的跟踪调查，然后将调查结果分成四类：：优秀；：良好；：一般；：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图．

请根据统计图解答下列问题：
本次调查中，杨老师一共调查了______名学生，其中类女生有______名，类男生有______名；
补全上面的条形统计图和扇形统计图；
在此次调查中，小平属于类．为了进步，她请杨老师从被调查的类学生中随机选取一位同学，和她进行“一帮一”的课后互助学习．请求出所选的同学恰好是一位女同学的概率．

22.本小题分
某公司有，，三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为元、元、元阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为，为了选择合适的型号，通过网络调查，获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．

阳阳已经对，型号汽车数据统计如表， ______ ， ______ ， ______ ；
为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．

 

23.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不等实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．

24.本小题分
如图，在中，，在上取一点，以为直径作，与相交于点，作线段的垂直平分线交于点，连接．
求证：是的切线；
若，，的半径为，求线段的长．

25.本小题分
一款服装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价元，那么平均每天可多售出件．
设每件衣服降价元，则每天销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示；
每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元；
商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由．

26.本小题分
如图，平面直角坐标系中，与轴相切于点，与轴相交于、两点，且，连接．
求证：；
求的长；
如图，经过、两点，与轴的正半轴交于点，与的延长线交于点，且在轴上直接写出的值______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：共有“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”门兴趣课程，
明恰好选中“烹饪”的概率为．
故选：．
直接利用概率公式可得答案．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

2.【答案】 

【解析】解：，，，，
丁的方差最小，
成绩最稳定的是丁，
故选：．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

3.【答案】 

【解析】解：把数据从小到大的顺序排列为：，，，，，
中位数为．
故选：．
将这组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题主要考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4.【答案】 

【解析】解：
故选：．
大扇形面积减去小扇形面积得阴影部分的面积．
本题考查了扇形面积公式，比较简单．

5.【答案】 

【解析】解：一元二次方程有实数解，
，且，
解得：且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式列得不等式并计算即可．
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，特别注意二次项系数不能为．

6.【答案】 

【解析】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为个，
故选：．
根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论．
本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键．

7.【答案】内 

【解析】解：的半径为，线段的长为，
，
点在内．
故答案为：内．
设的半径为，点到圆心的距离，根据点在圆内进行判断即可．
本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内点与圆的位置关系可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心的距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．

8.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，
由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：甲转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率；
乙转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率．
所以．
故答案为：．
利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率即可．
此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：某事件的概率某事件所占有的面积与总面积之比．

10.【答案】 

【解析】解：该同学的综合成绩是：分，
故答案为：．
计算该同学各项成绩的加权平均数，即可求解．
此题主要考查了加权平均数的求法，解题的关键是理解各项成绩所占比例的含义，以及求加权平均数的方法．

11.【答案】 

【解析】解：、，是方程的两个根，
．
故答案为：．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
根据题意可知，这是一道增长率问题，然后根据题目中的数据，列出相应的方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

13.【答案】 

【解析】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．

14.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于．
把代入方程即可得到一个关于的方程，即可求得的值．
【解答】
解：根据题意将代入得：且
解得：
故答案是：．

15.【答案】或 

【解析】解：
连接、，
一条弦把圆分成：两部分，如图，
弧的度数是，弧的度数是，
，
，
，
故答案为：或．
根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案．
本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

16.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，点和圆的位置关系等知识点，灵活运用所学知识点得出点的运动轨迹是解本题的关键．
连接，取的中点，连接，可知为的中位线，则可得，进而可知点在以为圆心，以为半径的圆上运动，在矩形中，根据进而得出答案．
【解答】
解：连接，取的中点，连接，，

为的中点，
为的中位线，
，
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，
在矩形中，，
的取值范围为，
即，
故答案为：．

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，，
，；
，
，，，
，
，
，． 

【解析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程公式法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：，．
，
由圆周角定理得：，
；

过作于，
过，
，
圆心到的距离为，
，
，，
． 

【解析】根据三角形外角性质求出，根据圆周角定理得出，即可求出答案；
过作于，根据垂径定理求出，根据三角形中位线求出，代入求出即可．
本题考查了圆周角定理，垂径定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．

19.【答案】不正确  正确 

【解析】解：嘉嘉的解法不正确，琪琪的解法正确，
故答案为：不正确，正确；

，
，
，
或，
解得：，．
根据等式的性质即可得出答案；
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．

20.【答案】解：如图，连接，

，，
，
，
是等腰直角三角形，
在中，，
这个管道横截面的半径为；
在等腰直角中，，
在等腰直角中，，
，
． 

【解析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．

21.【答案】解：；；；
补全图形如下：

因为类的人中，女生有人，
所以所选的同学恰好是一位女同学的概率为． 

【解析】解答：杨老师调查的学生总人数为人，
类女生人数为人，类男生人数为人，
故答案为：、、；
见答案；
见答案．
【分析】
由类别人数及其所占百分比可得总人数，用总人数乘以类别百分比，再减去其中男生人数可得女生人数，同理求得类别男生人数；
根据中所求结果可补全图形；
根据概率公式计算可得．
此题考查了概率公式的应用以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】     

【解析】解：型号汽车的平均里程为：，
个数据按从小到大的顺序排列，第，个数据均为，所以中位数为；
出现了六次，次数最多，所以众数为；
故答案为：，，；
选择型号汽车．理由如下：
型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于，且只有的车辆能达到行程要求，故不建议选择；，型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过，其中型号汽车有符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且型号汽车比型号汽车更经济实惠，故建议选择型号汽车．
根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为，三种型号电动汽车出租的每辆车每天的费用即可作出判断．
本题考查的是折线统计图，平均数、众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．

23.【答案】解：根据题意得，
整理得，
解得；
根据根与系数的关系得，
，
，解得，，
，
． 

【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可；
根据根与系数的关系得到，再利用得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值．

24.【答案】证明：如图，连接，
，
，
是的中垂线，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
即，
是半径，
是的切线；
解：如图，连接，
是的中垂线，
，
设，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
即． 

【解析】根据线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可；
利用线段中垂线的性质以及勾股定理列方程求解即可．
本题考查切线的判定，线段的中垂线以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，线段中垂线的性质以及勾股定理是正确解答的前提．

25.【答案】   

【解析】解：设每件衣服降价元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元．
故答案为：，；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又需要让利于顾客，
．
答：每件服装降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元；
商家不能达到平均每天盈利元，理由如下：
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：．
，
此方程无解，
即不可能每天盈利元．
根据每件服装降价元，那么平均每天可多售出件，可得结论；
设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价元；
商家不能达到平均每天盈利元，设每件服装降价元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润每件的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出此方程无解，即不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；牢记“当时，方程无实数根”．

26.【答案】 

【解析】证明：如图，连接，
，
，
与轴相切于点，
轴，
，
，
，
；
解：如图，过点作，

，
连接，
与轴相切于点，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
，
在中，根据勾股定理得，；
解：如图，作点关于轴的对称点，则，，

，
由知，，
，
，
即，
又，
，
≌，
，
，
的值为．
故答案为：．
连接，利用切线的性质推出，得到，再推出，可得出结论；
如图，过点作于，证四边形是矩形，在中，利用勾股定理求出的长，再求出的长，在中，利用勾股定理即可求出的长；
如图，作点关于轴的对称点，求出的长，证≌，推出，即求出结果．
本题是综合题，考查了圆的有关性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是弄清图形变化过程中的不变性，容易受原图的影响，把当作的直径．