2023-2024学年广东省惠州市小金茂峰学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市小金茂峰学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. x2=3B. x2+y2=0C. 2(x+3)=5xD. x+1x=0
2.用直接开平方法解方程(2x−3)2=4时，可以将其转化为2x−3=2或2x−3=−2，其依据的数学知识是( )
A. 完全平方公式B. 平方根的意义
C. 等式的性质D. 一元二次方程的求根公式
3.用配方法解一元二次方程x2−4x−5=0，此方程可变形为( )
A. (x−2)2=9B. (x+2)2=9C. (x+2)2=1D. (x−2)2=1
4.抛物线y=3(x+2)2−4的顶点坐标是( )
A. (−2,−4)B. (−2,4)C. (2,−4)D. (2,4)
5.将抛物线y=x2+1先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到新抛物线( )
A. y=(x+1)2B. y=(x+1)2+2C. y=(x−1)2D. y=(x−1)2+2
6.“五一”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
7.已知方程2x2+3x−1=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2=( )
A. −3B. −1C. −32D. −12
8.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]=1，[−1.2]=−2，[−3]=−3，则方程2[x]=x2的解为( )
A. 0或 2B. 0或2C. 2或 2D. 0或 2或2
10.已知二次函数y=−(x−h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为−1，则h的值为( )
A. 3或6B. 1或6C. 1或3D. 4或6
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.如果二次函数y=(2a−1)x2的图象开口向下，则a的取值范围是______ ．
12.已知x=−2是方程x2−ax+7=0的一个根，则a的值是______ ．
13.二次函数y=−2(x−1)2+3的图象上有两点P1(−2,y1)，P2(−1,y2)，则y1与y2的大小关系是y1 ______ y2(用“>”或“<”)．
14.如果关于x的一元二次方程3x2+x−m=0有两个实数根，那么m的取值范围是______ ．
15.若(a2+b2)2−7=0，则代数式a2+b2的值为______ ．
16.若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，则代数式p3−4p2−2q+5的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题6.0分)
解方程：x(x−2)=x−2．
18.(本小题6.0分)
已知y=k+2xk2+k−4是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减小．
19.(本小题6.0分)
阅读第(1)题的解题过程，再解答第(2)题：
(1)例：解方程x2−|x|−2=0．
解：当x≥0时，原方程可化为x2−x−2=0．
解得：x1=2，x2=−1(不合题意，舍去)
当x<0时，原方程可化为x2+x−2=0．
解得：x1=−2，x2=1(不合题意，舍去)
∴原方程的解是x1=2，x2=−2．
(2)请参照上例例题的解法，解方程x2−x−|x−1|−1=0．
20.(本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实根．
(1)求实数k的取值范围．
(2)方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1−1)(x2−1)=−1，求k的值．
21.(本小题8.0分)
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程x2−9x+18=0的两个根是3和6，则方程x2−9x+18=0就是“倍根方程”．
(1)若关于x的一元二次方程x2−6x+k=0是“倍根方程”，求k的值；
(2)若关于x的一元二次方程nx2−(3n+3m)x+8m=0(n≠0)是“倍根方程”，求该方程的根．
22.(本小题8.0分)
2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展.某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？
23.(本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，已知：点A，点B在抛物线y=2x2上，点C，点D在x轴上．
(1)求点A的坐标；
(2)连接BD交抛物线于点P，求点P的坐标．
24.(本小题10.0分)
请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以，把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−1=0；
化简，得y2+2y−4=0；故所求方程为y2+2y−4=0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求：把所求方程化为一般形式)；
(1)已知方程x2+3x−2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
(2)已知关于x的一元二次方程ax2−bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
25.(本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点A沿AB方向以每秒1个单位的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC方向以每秒2个单位的速度移动，设P，Q(P,Q不与B，C重合)两点的运动时间为x秒．
(1)当x为何值时，△PBQ的面积为8？
(2)求△DPQ的面积S与运动时间x之间的函数关系式，并求出S的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、x2=3是一元二次方程，符合题意；
B、x2+y2=0含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、2(x+3)=5x，即3x−6=0未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
D、x+1x=0不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：A．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】B
【解析】解：用直接开平方法解方程(2x−3)2=4时，可以将其转化为2x−3=2或2x−3=−2，其依据的数学知识是平方根的意义．
故选：B．
用直接开平方法解形如“(x+a)2=b(b≥0)”一元二次方程，根据平方根的定义，可得x+a=± b，即可得出答案．
本题考查了用直接开平方法解一元二次方程的理论依据，解题的关键是知道用直接开平方法解一元二次方程的理论依据就是平方根的意义．
3.【答案】A
【解析】【分析】
移项，配方，再变形，即可得出选项．
本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
【解答】
解：x2−4x−5=0，
x2−4x=5，
x2−4x+4=5+4，
(x−2)2=9，
故选A．
4.【答案】A
【解析】解：抛物线y=3(x+2)2−4的顶点坐标是(−2,−4)，
故选：A．
已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数顶点式，y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2+1先向左平移1个单位可得到抛物线y=(x+1)2+1；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=(x+1)2+1再向上平移1个单位可得到抛物线y=(x+1)2+2．
故选：B．
根据函数图象平移的法则“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程得，
12x(x−1)=28，
解得x1=8，x2=−7(不合题意，舍去)．
答：参加聚会的人数是8人．
故选：B．
设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手(x−1)次，且其中任何两个人的握手只有一次，因而共有12x(x−1)次，列方程解答即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系是关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵方程2x2+3x−1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=−32．
故选：C．
根据根与系数的关系x1+x2=−ba解答．
本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了一次函数、二次函数图象与性质．
首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【解答】
解：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a>0，b>0；此时对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴为直线x=−b2a<0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误．
B、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a<0，b<0；此时对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口应该向下，故不合题意，图形错误．
C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a<0，b>0；此时对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴为直线x=−b2a>0，位于y轴的右侧，当ax2+bx=bx+a，可求得x=±1，可知抛物线与直线相交的两点的横坐标分别是−1和1，故符合题意，
D、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a>0，b>0；此时对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口应该向上，故不合题意，图形错误．
故选C．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键．
根据x2≥0，可得x≥0，分4种情况讨论：①0≤x<1时，解得x=0；②1≤x<2时，解得x= 2或x=− 2(舍)；③2≤x<3时，解得x=2或x=−2(舍)；④x≥3时，方程无解．
【解答】
解：∵x2≥0，
∴x≥0，
①0≤x<1时，x2=0，解得x=0；
②1≤x<2时，x2=2，解得x= 2或x=− 2(舍)；
③2≤x<3时，x2=4，解得x=2或x=−2(舍)；
④x≥3时，方程无解；
综上所述：方程的解为x=0或x=2或x= 2，
故选：D．
10.【答案】B
【解析】解：当h<2时，有−(2−h)2=−1，
解得：h1=1，h2=3(舍去)；
当2≤h≤5时，y=−(x−h)2的最大值为0，不符合题意；
当h>5时，有−(5−h)2=−1，
解得：h3=4(舍去)，h4=6．
综上所述：h的值为1或6．
故选：B．
分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况考虑：当h<2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h<2、2≤h≤5和h>5三种情况求出h值是解题的关键．
11.【答案】a<12
【解析】解：∵二次函数y=(2a−1)x2的图象开口向下，
∴2a−1<0，
∴a<12．
故答案为：a<12．
根据二次函数图象开口方向即可判断；
本题主要考查二次函数图象与系数的关系，正确理解题意是解题的关键．
12.【答案】−112
【解析】解：把x=−2代入方程x2−ax+7=0得4+2a+7=0，
解得a=−112，
即a的值为−112．
故答案为：−112．
把x=−2代入一元二次方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】<
【解析】解：把x=−2代入y=−2(x−1)2+3得：y1=−2(−2−1)2+3=−15，
把x=−1代入y=−2(x−1)2+3得：y2=−2(−1−1)2+3=−5，
∵−15<−5，
∴y1故答案为：<．
直接求出y1与y2的值，然后比较大小即可．
本题主要考查了比较二次函数值的大小，解题的关键是根据函数关系式求出二次函数的值．
14.【答案】m≥−112
【解析】解：∵方程有两个实数根，
∴△=b2−4ac=12−4×3×(−m)=1+12m≥0，
解得：m≥−112，
故答案为m≥−112．
若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
15.【答案】 7
【解析】解：∵(a2+b2)2−7=0，
∴(a2+b2)2=7，
∵a2+b2≥0，
∴a2+b2= 7，
故答案为： 7．
移项整理后，直接开平方即可求解．
此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
16.【答案】−2
【解析】解：∵若p、q是方程x2−3x−1=0的两个不相等的实数根，
∴p2−3p−1=0，p+q=3，
∴p2=3p+1，
∴p3−4p2−2q+5
=p(p2−3p−1)−p2+p−2q+5
=−p2+p−2q+5
=−3p−1+p−2q+5
=−2p−2q+4
=−2(p+q)+4
=−2×3+4
=−2，
故答案为：−2．
根据一元二次方程的解的定义得到p2−3p−1=0，再根据根与系数的关系得到p+q=3，然后利用整体思想计算即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降次消元是解题的关键．
17.【答案】解：x(x−2)−(x−2)=0，
(x−2)(x−1)=0，
x−2=0或x−1=0，
所以x1=2，x2=1．
【解析】先移项得到x(x−2)−(x−2)=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18.【答案】解：(1)∵y=(k+2)xk2+k−4是二次函数，
∴k2+k−4=2且k+2≠0，∴k=−3或k=2．
∵函数图象有最高点，∴抛物线的开口向下，
∴k+2<0，解得k<−2，∴k=−3．
(2)由(1)知k=−3，∴y=−x2，
∴顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴，
当x>0时，v随x的增大而减小．

【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的定义以及其性质，利用函数图象有最高点，得出二次函数的开口向下是解决问题的关键．
(1)根据二次函数的定义得出k2+k−4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2<0，即可得出k的值；
(2)利用(1)中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2(a≠0)的二次函数顶点坐标为(0,0)，对称轴是y轴即可得出答案．
19.【答案】解：(2)当x−1≥0时，即x≥1时，
原方程可化为：x2−x−(x−1)−1=0，
整理得：x2−2x=0，
解得：x1=0(不合题意，舍去)，x2=2；
当x−1<0时，即x<1时，
原方程可化为：x2−x+(x−1)−1=0，
整理得：x2−2=0，
解得：x1= 2(不合题意，舍去)，x2=− 2；
∴原方程的解是x1=2，x2=− 2．
【解析】仿照第(1)题的解题过程，分两种情况：当x−1≥0时，当x−1<0时，分别进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，绝对值，解一元二次方程−因式分解法，理解例(1)的解法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+3x+k−2=0有实根，
∴Δ=32−4(k−2)≥0，
解得k≤174；
(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2=−3，x1x2=k−2，
∵(x1−1)(x2−1)=−1，
∴x1x2−(x1+x2)+1=−1，
∴k−2+3+1=−1，
解得k=−3，符合题意．
故所求k的值为−3．
【解析】(1)利用一元二次方程根的判别式计算即可；
(2)利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca.也考查了根的判别式．
21.【答案】解：(1)设这个方程的两个根分别为a和2a，
则a+2a=−−61=6，
解得a=2，
即这个方程的一个根为2，
将x=2代入方程x2−6x+k=0得：4−12+k=0，
解得k=8．
(2)设这个方程的两个根分别为β和2β，
由题意得：β+2β=3n+3mn①β⋅2β=8mn②，
整理得：(m−n)2=0，
∴m=n，
将m=n代入①得：β+2β=3n+3nn=6，
解得β=2，
∴2β=2×2=4，
所以该方程的根为x=2或x=4．
【解析】(1)设这个方程的两个根分别为a和2a，根据一元二次方程的根与系数的关系可求出a=2，再将x=2代入方程即可得；
(2)设这个方程的两个根分别为β和2β，根据“倍根方程”的定义可得m=n，由此即可得．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，理解“倍根方程”的概念是解题关键．
22.【答案】解：(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：150(1+x)2=216，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为300−10(y−40)=(700−10y)个，
根据题意得：(y−30)(700−10y)=3960，
整理得：y2−100y+2496=0，
解得：y1=48，y2=52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y=48．
答：该品牌头盔的售价应定为48元/个．
【解析】(1)设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量=4月份的销售量×(1+该品牌头盔销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为(y−30)元，月销售量为(700−10y)个，利用月销售利润=每个头盔的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)由题意可设A(a,2a)，则B(−a,2a)，
∵点A在抛物线y=2x2上，
∴2a=2a2，
∴a=1或a=0(舍去)，
∴A(1,2)；
(2)设直线BD的解析式y=kx+b，
∵B(−1,2)，D(1,0)，
∴−k+b=2k+b=0，解得k=−1b=1，
∴直线BD为y=−x+1，
由y=−x+1y=2x2解得x=−1y=2或x=12y=12，
∴P点的坐标为(12,12).
【解析】(1)根据题意设A(a,2a)，则B(−a,2a)，代入抛物线的解析式即可求得a=1，得到A(1,2)；
(2)根据待定系数法求得直线BD的解析式，然后与抛物线解析式联立成方程组，解方程组即可求得P点的坐标．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，表示出正方形各个点的坐标是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设所求方程的根为y，则x=−y，
把x=−y代入方程x2+3x−2=0得y2−3y−2=0，
即所求方程为y2−3y−2=0；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，
把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得a⋅1y2−b⋅1y+c=0，
整理得cy2−by+a=0，
即所求方程为cy2−by+a=0，
【解析】本题主要考查了一元二次方程的根．本题是一道材料题，是一种新型问题，解题时，要提取材料中的关键性信息．
(1)设所求方程的根为y，则x=−y，然后把x=−y代入方程x2+3x−2=0得到新方程；
(2)设所求方程的根为y，则y=1x，然后把x=1y代入方程ax2−bx+c=0得到关于y的一元二次方程即可．
25.【答案】解：(1)根据题意，得BQ=2x，BP=6−x，则12⋅2x⋅(6−x)=8．
解得x1=4，x2=2，
∵P，Q不与B，C重合，
∴x=4不符合题意，舍去．
答：当x的值为2时，△PBQ的面积为8；
(2)根据题意，得S=6×8−12x×8−12(8−2x)×6−12×2x×(6−x)．
整理，得S=(x−2)2+20．
所以该抛物线的开口向上，顶点坐标是(2,20)．
所以S的最小值是20．
【解析】(1)根据题意得到BQ=2x，BP=6−x，运用三角形的面积公式列出方程并解答．
(2)S=矩形ABCD的面积−三个直角三角形的面积，据此列出函数关系式，利用配方法求其最小值即可．
本题考查了一元二次方程的应用，矩形的性质，以及函数的应用，本题关键知道分段来求．