2024保定部分高中高二上学期10月月考试题数学含答案

2022级高二上学期10月考试

数学试题

第I卷（选择题）

一、单选题

1．已知直线与直线平行，则等于（    ）

A．3或 —2 B．—2 C．3 D．2

2．已知双曲线的实轴长为4，其焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

3．已知等差数列中，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．已知分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（      ）

A． B． C． D．2

5．实数满足,则的取值范围是（    ）

A．  B．C．    D．

6．在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，，，则下列等式不成立的是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知抛物线分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点A，若，则双曲线的标准方程为（    ）

A． B．C． D．

8．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为-1的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（    ）

A．6 B． C．     D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．直线的倾斜角为120°

B．经过点，且在轴上截距互为相反数的直线方程为

C．直线恒过定点

D．直线，，则或0

10．已知双曲线的焦点分别为，则下列结论正确的是（    ）

A．渐近线方程为

B．双曲线与椭圆的离心率互为倒数

C．若双曲线上一点满足，则的周长为28

D．若从双曲线的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6

11．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC，CC1的中点，则以下四个结论正确的是（    ）

A．        B．

C．直线B1Q与AD1所成角的余弦值为

D．Q到平面AB1P的距离为

12．已知F是抛物线的焦点，P是抛物线上一动点，Q是上一动点，则下列说法正确的有（    ）

A．的最小值为1 B．的最小值为

C．的最小值为4 D．的最小值为

三、填空题

13．圆心在直线上，且过两圆和的交点的圆的方程为.

14．在棱长为4的正方体中，E，F分别为棱，的中点，G为棱上的一点，且，则点G到平面的距离为．

15．已知抛物的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若，则P到准线l的距离为.

16．已知是椭圆的左，右焦点，上两点满足，则的离心率为．

四、解答题

17．已知两圆和．

求(1)取何值时两圆外切？

(2)当时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

18．记为数列的前n项和，已知.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设k为实数，且对任意，总有，求k的最小值.

19．四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点．

(1)求异面直线DE与PA所成角的余弦值；

(2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离．

20．如图，在四棱锥中，面．，四边形满足，，，点为中点，点为边上的动点

（Ⅰ）求证：平面．

（Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，说明理由．

21．已知椭圆的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为.

(1)求椭圆的离心率；

(2)已知椭圆的左､右顶点分别为，且，点是上任意一点（与不重合），直线分别与直线交于点为坐标原点，求.

22．已知双曲线：的离心率为，且焦点到渐近线的距离为1.

(1)求双曲线的方程；

(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.

数学答案

1C   2B  3A 4A  5A  6C  7C  8D  9AC  10CD  11  ABD 12AC

13．14．15.516．

17. (1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：

，

则圆心分别为，半径分别为和，

当两圆外切时，满足；

（2）当时，有，则，所以两圆相交，

则两圆的公共弦所在直线的方程为：，即，

圆心到直线的距离，

所以公共弦长．

18．(1)（1）数列的前n项和，则，

于是，

即，因此，而，解得，

所以数列是首项，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知，即，于是，

因此，而恒有成立，

所以不等式恒成立时，，即的最小值为2.

19. (1）由题意，两两互相垂直，以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，

菱形中，，所以,

在中，

因为底面ABCD ，所以PB与底面ABCD所成的角为，所以，

则点A、B、D、P的坐标分别是，

E是PB的中点，则，于是，.

设的夹角为θ，则有.∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；

（2）连接，分别是的中点，，平面PAD，平面PAD，平面PAD.

因为，,设平面PAD的法向量，

则，令，则，所以，又，

则点E到平面PAD的距离.

20．（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示．

则，，，

点为中点，故

故，

又，

所以

所以，，为共面向量，平面，

所以平面．

（Ⅱ）设，

依题意可知平面的法向量为，，

设平面的法向量为，则，

令，则．

因为二面角的余弦值为，

所以，

即，解得或．

所以存在点符合题意，

当或时，二面角的余弦值为．

21．（1）根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左､右焦点的坐标分别为，

由题意可知，即，

又，所以，即，

可得椭圆的离心率.

（2）由，得，即，

所以椭圆的方程为.

如图所示：

设，则，即，

又，则直线的方程为，

直线的方程为；

因为直线分别与直线交于点，

可得，

所以.

即.

22．（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线的方程为，

所以焦点到渐近线的距离为.

因为，所以，，

所以双曲线的方程为.

（2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，又渐近线方程为：，

此时，.

当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且斜率，

联立方程组得，

由，得，

联立方程组得.

不妨设直线与的交点为，则.

同理可求，所以.

因为原点到直线的距离，