2023-2024学年高一数学上学期期中模拟考试期中模拟卷01（人教A版2019）

2023-2024学年高一数学上学期期中考试

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．测试范围：第一章、第二章、第三章（人教A版2019）。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．命题“,”的否定为（　　）

A．, B．,

C．, D．,

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可.

【详解】解:由题根据全称量词命题的否定可知,

“,”的否定为 “,”.

故选:A

2．已知集合，，若，则等于（    ）

A．或3 B．0或 C．3 D．

【答案】C

【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性进行求解即可.

【详解】由于，故，解得或.

当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.

经检验可知符合.

故选：C

3．已知：“”，：“”，则是的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先求得中对应的范围，然后根据充分、必要条件的知识确定正确答案.

【详解】对于，令，可得，即，故或，

解得或，故是的必要不充分条件.

故选：A

4．设函数，且，则等于（    ）

A． B．3 C． D．5

【答案】C

【分析】代入求和，找两式之间的关系，即可求解.

【详解】，即，

则.

故选：C

5．已知函数，且，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由换元法求出函数的解析式，令函数值为6，解出值即可．

【详解】令，则，

由，

可得，

则，

解得，

故选：．

6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ）

A． B．10 C． D．2

【答案】B

【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.

【详解】由图知，过点，过点，

则，有    解得，

所以，

故选：B.

7．已知函数不是常数函数，且满足以下条件：①，其中；②，则（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】D

【分析】先令，得到，再令，得到，根据函数的周期性得到函数的周期为，即可求解.

【详解】由题意令，得，又不是常数函数，

所以，再令，得，

即，则，

即，故，

所以函数的周期为，

所以，

故选：D.

8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的解析式，判断出在区间上的单调性，由此列方程组来求得正确答案.

【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.

因为当时，，所以当时，，

所以，

则当时，单调递减，

设，由，

得，

解得，

所以在区间内的“8倍倒域区间”为.

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．下列各组函数是同一组函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BCD

【分析】由同一函数的定义域、对应法则都相同，即可判断选项中的函数是否为同一函数.

【详解】A：，，定义域相同，但对应法则不同，不同函数；

B：，，定义域和对应法则都相同，同一函数；

C：与，定义域和对应法则都相同，同一函数；

D：，，，定义域和对应法则都相同，同一函数；

故选：BCD.

10．下列四个命题中，是真命题的有（    ）

A．且，

B．，

C．若，则

D．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是

【答案】BCD

【分析】运用特例法，根据不等式的性质、基本不等式、常变量分离法，结合对钩函数的单调性进行逐一判断即可.

【详解】A：当时，显然不成立，因此本命题是假命题；

B：因为方程的判别式，

且二次函数的开口向上，所以恒成立，因此本命题是真命题；

C：因为，所以当时，有，

因此本命题是真命题；

D：当时，，

设，当时，该函数单调递减，所以，

要想不等式恒成立，只需，因此本命题是真命题，

故选：BCD

11．已知函数则以下说法正确的是（    ）

A．若，则是上的减函数

B．若，则有最小值

C．若，则的值域为

D．若，则存在，使得

【答案】ABC

【分析】把选项中的值分别代入函数，利用此分段函数的单调性判断各选项.

【详解】对于A，若，，在上单调递减，故A正确；

对于B，若，，当时，，在区间上单调递减，，则有最小值1, 故B正确；

对于C，若，，当时，，在区间上单调递减，；当时，，在区间上单调递增，，则的值域为，故C正确；

对于D，若，当时，；

当时，；

当时，，即当时，，所以不存在，使得，故D错误.

故选：ABC

12．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】由条件可得是偶函数且在上单调递增，然后逐一判断每个选项即可.

【详解】由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，

所以，故A对，

若，则，得，故B错，

若，则或，因为，所以或，故C正确，

因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，所以，所以对，只需即可，故D正确.

故选：ACD.

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分

13．已知，则           .

【答案】6

【分析】结合分段函数的解析式逐步求值.

【详解】由题得.

故答案为6

【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

14．已知一元二次不等式的解集为，则的解集为      .

【答案】

【分析】由题意知是方程的两根，根据韦达定理可得出，代入解不等式即可求出结果.

【详解】因为一元二次不等式的解集为，

所以，是方程的两根，

由韦达定理得，，得到，代入，

得到，即，

令，因为，所以的解集为，

故答案为：.

15．若是偶函数且在上单调递增，又，则不等式的解集为      ．

【答案】

【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；

【详解】因为是偶函数，所以

所以，

又因为在上单调递增，

所以，

解得：，故答案为：.

16．某学校计划在运动场内规划面积为的矩形区域ABCD用于全校师生核酸检测.矩形区域内布置成如右图所示的三个检测点（阴影部分）.已知下方是两个相同的矩形检查点，每个检测点区域四周各留下宽的间隔，若上方矩形宽LO是下方矩形边长EH的一半，为使三个检测点面积之和达到最大值，则      m.

【答案】

【分析】设，，利用变量，表示三个检测点的面积和，结合矩形的面积为，利用基本不等式求其最大值，由此确定.

【详解】设，，则，，，，

所以三个检测点面积之和，因为矩形的面积为，所以，所以，

所以，令，则，，

由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，即时，三个检测点面积之和达到最大值，此时，

故答案为：.

四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；

（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．

【详解】（1）当时，，

∴；

（2）因为，所以，

所以，

所以的取值范围为：．

18．已知幂函数在上是减函数，.

(1)求的解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义，结合幂函数的单调性进行求解即可；

（2）根据幂函数的单调性进行求解即可.

【详解】（1）由函数为幂函数得，

解得或，

又函数在上是减函数，则，即，

所以，；

（2）由（1）得，所以不等式为，

设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，

所以解得，所以实数的取值范围是.

19．巴拿马运河起着连接美洲南北陆路通道的作用，是世界上最繁忙的运河之一，假设运河上的船只航行速度为（单位：海里/小时），船只的密集度为（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当时，船只的速度是船只密集度的一次函数．

(1)当时，求函数的表达式；

(2)当船只密度为多大时，单位时间内，通过的船只数量可以达到最大值，求出最大值．（取整）

【答案】(1)(2)25艘/海里，最大值为625．

【分析】（1）根据题意分段求解函数解析式，即可得答案；

（2）由（1）可得的解析式，分段求解函数最值，比较即可得答案.

【详解】（1）由题意知时，海里/小时；

当时，设，

则，解得，

故；

（2）由（1）可得，

当时，，此时；

当时，，

当时，取到最大值为625；

由于，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量可以达到最大值，

最大值为625．

20．已知函数.

(1)当时，求关于x的不等式的解集；

(2)求关于x的不等式的解集；

(3)若在区间上恒成立，求实数a的范围.

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).

【分析】（1）把代入可构造不等式，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看两边”得到原不等式的解集.

（2）根据函数，分类讨论可得不等式的解集.

（3）若在区间上恒成立，即在区间上恒成立，利用换元法，结合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.

【详解】（1）当时，则，

由，得，

原不等式的解集为；

（2）由，

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为；

当时，原不等式的解集为.

（3）由即在上恒成立，得.

令，则，

当且仅当 ，即时取等号.

则，.故实数a的范围是

21．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)求实数和的值；

(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；

(3)若，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)函数在上是增函数；证明见解析

(3)

【分析】（1）由条件可得，先求出的值，然后根据，可求出.

（2）根据定义法判断函数单调性的步骤进行判断即可.

（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得出满足的不等式，从而得出答案.

【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，

所以得，

又因为，所以，

经检验，当，时，是奇函数，

所以，

（2）由（1）可知，设

所以

因为，所以，，

所以，即，

所以函数在上是增函数．

（3）由函数是定义在上的奇函数且，

则，

所以，解得，

所以的取值范围是.

22．已知函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若函数在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)单调减区间为

(2)或

【分析】（1）代入，将表达为分段函数判断即可；

（2）将函数取绝对值可得函数单调性，结合题意可得函数在上最大值，最小值，再结合函数函数单调性与最值分析临界条件可得，进而求解绝对值不等式即可.

【详解】（1）当时，，

由二次函数单调性知在单调递减，在单调递减，

∴的单调递减区间为

（2）当时，，

故在上单调递减，在单调递增，在上单调递减，

又函数在上既有最大值又有最小值，则最大值，最小值.

当且时，有，解得，故，

当且时，由，解得，故，

∵，

∴，

∴，