江西省吉安市2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

2023-2024学年(上)九年级数学

第一次阶段性检测

(满分120分，考试时间120分钟)

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

1.下列哪个方程是一元二次方程(     )

A.      B.      C.      D.

2.根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是(     )

A.      B.      C.      D.

3.某班学生做“用频率估计概率”的试验时，给出的某一结果出现的频率分布折线图，则符合这一结果的试验可能是(     )

A.抛一枚硬币，出现正面朝上

B.从标有1，2，3，4，5，6的六张卡片中任抽一张，出现偶数

C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

D.从一个装有6个红球和3个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

4.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，则DH⊥AB于H，则DH等于(     )

A.      B.      C.5      D.4

5.如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是(     )

A.3      B.      C.      D.4

6.如图，在菱形ABCD中，对角线.AC、BD相交于点O，延长CB至E使BE=CD，连接AE，下列结论①AE=20D；②∠EAC=90°：③四边形ADRE为菱形：④S四边形AEBO=S菱形ABCD中，正确的结论个数有(     )

A.1个      B.2个      C.3个      D.4个

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

7.方程的根为_______.

8.已知m，n是方程的两个实数根，则的值为________.

9.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在△ABD边上运动，设线段CE的长度为m，则m的取值范围是___________.

10.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A'B'C'O的一个顶点.如果两个正方形的边长都等于2.那么正方形A'B'C'O绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________.

11.若点P(x，y)中的x，y可在-2，3，4中取值，则点P落在第四象限的概率是_________.

12.已知四边形ABCD为菱形，其边长为6，∠DAB=∠DCB=60°，点P在菱形的边AD、CD及对角线AC上运动，当CP=2DP时，则DP的长为_______.

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.解方程：

(1)(公式法)：

(2)(配方法).

14.如图，在RtABC中，∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE//BC，过点C作CE∥AD，连接DE与AC交于点O，求证：四边形ADCE是菱形.

15.为了响应国家开展“中小学生课后服务”的政策，任弼时中学在课后服务活动中开设了A.书法，B.剪纸，C.足球，D.乒乓球，共四门课程供学生选修，每门课程被选到的机会均等.

(1)小军选修的课程足篮球这一事件是_______.(填序号)

①不可叮能事件    ②必然事件    ③随机事件

(2)若小军和小彬两位同学各计划选修一门课程，请用列表或画树状图的方法求两人恰好同时选修球类课程的概率。

16.如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图.

(1)在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；

(2)在图2中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个等腰三角形.

17.如图，有一道长为10m的墙，计划用总长为54m的篱笆，靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花圃ABCD.若花圃ABCD而积为72m2，求AB的长.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.为了落实“双减”工作，提高作业质战，增强作业针对性、有效性，任弼时中学设置了分层作业，并对学生每天完成书面作业时间1(min，取整数)进行了随机抽样调查.根据调查结果制成了如图所示的不完整的频数分布直方图(每组含小数据不含大数据，从左到右依次记为A，B，C.D.E，F)和扇形统计图。请根据图中信息解答下列问题：

(1)本次调查的学生人数为_______；补全频数分布直方图.

(2)下列结论正确的是_______(填序号).

①样本中，完成作业时间t中位数在75≤1<90组内；

②样本中，完成作业时间t的众数在60≤t<75内：

③时间段90≤t<120对应扇形的例心角度数为90°.

(3)中学生每犬完成作业的时间少于90min，不少于45min视为课业负担适中，请你估计该校800名学生中，课业负担适中的学生有多少人?

19.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=7cm，BC=9cm，点P从点A开始沿AB边向点B以lcm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，APBQ的面积等于6cm?

(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发同时停止，那么几秒后，PQ的长度等下7cm?

20.如图，在四边形ABCD中AD∥BC，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与四边形ABCD的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN.

(1)求证：四边形ANCM为平行四边形；

(2)当MN平分∠AMC时，

①求证：四边形ANCM为菱形；

②当四边形ABCD足矩形时，芥，AD=8，AC=，求DM的长.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.阅读材料题：

我们知道，所以代数式的最小值为0.学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值.

例如，求的最小值问题.

解：，

又：，

∴，

∴的最小值为-6.

请应用上述思想方法，解决下列问题：

(1)求代数式最小值.

(2)求代数式的最小值，并求出此时的值.

(3)设，求的最小值，并求出此时a的值.

22.如图，正方形ABCD中，AB=4，点E是对角线AC上的一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接.AG.

(1)求证：矩形DEFG是正方形；

(2)求AG+AE的值；

(3)若F恰为AB的中点，连接DF，求点E到DF的距离.

六、(本大题共12分)

23.如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。

(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD.，问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由：

(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE.已知∠CAB=30°，CB=1，求GE的长.

2023-2024学年(上)九年级数学

第一次阶段性检测参考答案

一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

1.B   2.C   3.D   4.A   5.C   6.C

二、(本大题共5小题，每小题3分，共18分)

7.，；8.2021；9.；10.1；11.；12.或2或

三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

13.烊：(1)∵

则a=l，b=-3，c=-2，

∴

∴

∴，，

(2)∵

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，，

解得：，.

14.证明：∵AE∥BC，CE∥AD，

∴四边形ADCE是平行四边形，

∵∠BAC=90°，AD是边BC上的中线，

∴AD=BC=CD，

∴平行四边形ADCE是菱形。

15.解(1)小军选修的课程是篮球这一事件是不可能事件，

故答案为：①；

(2)画树状图如图：

共有16个等可能的结果数，其中两人恰好同时选修球类的有4种.

则两人恰好同时选修球类的概率是.

16.解：(1)如图，四边形AECF即为所求：

(2)如图，三角形AEM即为所求.

17.解：设AB的长是m，则BC的长是m.

根据题意，得，

解这个方程，得=6，=12，

当x=6时，(不合题意，舍去).

当x=-12时，符合题意。

答：AB的长是12m.

四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

18.解：(1)本次调查的学生人数为：16+25%=64(人)，

B组人数为：64-4-16-20-12-4=8(人)，

补全频数分布直方图如下：

故答案为：64；

(2)①样本中，完成作业时间1中位数在75≤t<90组内，原说法正确；

②样本中，完成作业时间t的众数在45≤t<60和75≤t<90内，故原说法错误；

③时间段90≤t<120对应扇形的圆心角度数为360°×=90°，原说法正确.

故答案为：①③；

(3)(人)

答：估计该校800名学生中，课业负担适中的学生大约有550人.

19.解：(1)当运动时间为ts时，BP=(7-t)cm，BQ=2tcm，

根据题意得：，

整理得：，

解得：=1，=6，

当t=1时，2t=2×1=2<9，符合题意：

当t=6时，2t=2×6=12>9，不符合题意，舍去.

答：出发1秒后，△PBQ的面积等于6cm2；

(2)当运动时间为ts时，BP=(7-t)cm，BQ=2tcm，

根据题意得：，

整理得：，

解得：=0，.

答：出发0秒或秒后，PQ的长度等于7cm.

20.(1)证明：∵AD∥BC，O为对角线AC的中点，

∴AO=CO，∠OAM=∠OCN，

在△AOM和△CON中，

∴△AOM≌△CON(AAS)，

∴AM=CN，

∵AM∥CN，

∴四边形ANCM为平行四边形；

(2)①证明：∵MN平分∠AMC，

∴∠AMN=∠CMN，

∵AD//BC，

∴∠AMN=∠CNM，

∴∠CMN=∠CNM，

∴CM=CN，

∴平行四边形ANCN为菱形；

②解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABN=90°，BC=AD=8，

∴，

∴AM=AN=NC=AD-DM，

在Rt△MBN中，根据勾股定理得：

AN2=AB2+BN2，

∴(8-DM)2=42+DM2.

解得DM=3.

故DM的长为3.

五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

21.解：(1)

，

又∵，

∴，

∴代数式最小值为2023；

(2)

，

∵，，

∴.

∴代数式的最小值为-57，此时，，

∴，，

∴；

(2)∵，

又∵，

∴

∴的最小值为8，此时，，即，

∴，

∵，

∴.

22.(1)证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAD=∠EAB，

∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，

∴EM=EN，

∵∠EMA=∠ENA=∠DAB=90°，

∴四边形ANEM是矩形，

∴EF⊥DE，

∴∠MEN=∠DEF=90°，

∴∠DEM=∠FEN，

∵∠EMD=∠ENF=90°，

∴△EMD≌△ENF，

∴ED=EF，

∵四边形DEFG是矩形，

∴四边形DEFG是正方形.

(2)解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，

∴DG=DE，DC=DA=AB=4，∠GDE=∠ADC=90°，

∴∠ADG=∠CDE，

∴△ADG≌△CDE(SAS)，

∴AG=CE，

∴AE+AG=AE+EC=AC=AD=.

(3)解：连接DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD=4，AB∥CD，

∵F是AB中点，

∴AF=FB，

∴DF=，

∴点E到DF的距离=DF=.

六、(本大题共12分)

23.解：(1)结论：四边形ABCD是垂英四边形.

理由：如图2，连接AC和BD，

∵AD=AB，

∴A在BD的垂直平分线上，

∵CD=CB，

∴C在BD的垂直平分线上，

∴AC垂直平分BD，

∴四边形ABCD为垂美四边形.

(2)∵AC⊥BD，

∴∠AOB=∠COD=∠AOD=∠COB=90°，

∴AB2=AO2+BO2，CD2=CO2+DO2，AD2=AO2+DO2，BC2=BO2+CO2，

∴AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，BC2+AD2=BO2+CO2+AO2+DO2.

∴AB2+CD2=AD2+BC2；

(3)连接CG、BE，

∵四边形ACFG和ABDE都是正方形，

∴∠CAG=∠BME=90°，AG=AC，AB=AE，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

∴△GAB≌△CAE(S4S)，

∴∠ABG=∠AEC，

∵∠BAE=90°，

∴∠AEC+∠AME=90°，

∵∠AME=∠BMN，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，

∴CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2.

∵∠CAB=30°，CB=1，∠ACB=90°，

∴AB=2BC=2，

∴AC=，

∴AG=AC=，

∴Rt△ACG中，，

同理可得：BE=，

∴GE2=CG2+BE2-CB2=13，

∴GE=.