吉林省长春外国语学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年吉林省长春外国语学校八年级（上）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列运算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.一个三角形的面积是，它的一边长是，那么这条边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知，则代数式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.因式分解： ______ ．

10.已知，则的值为______ ．

11.若，则的值为______ ．

12.等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为          ．

13.如图，是的角平分线，于点，，，，则长是______．

14.如果是完全平方式，则______．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分
计算：
；
；
；
．

16.本小题分
化简：
；
；
；
．

17.本小题分
因式分解：
；
；
；
．

18.本小题分
先化简，再求值：，其中，．

19.本小题分

已知：如图，点、在上，，，，求证：．

20.本小题分
某同学在计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，请求出正确的结果．

21.本小题分
如图，是由小方格组成的网格纸，每个方格的边长都是个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点，点、、、均在格点上．
在图中，作出向右平移个单位长度的三角形；
在图中，作出绕点沿顺时针方向旋转得到的三角形；
在图中，请在线段上找到一点，连结和，使的值最小请保留作图痕迹．

 

22.本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

23.本小题分

如图所示，长方形中，，点从点出发，沿边向做往返运动，每秒移动，动直线与边重合，交于点，于点直线与点同时出发，沿方向移动，每秒移动，移动秒，当直线与边重合时，移动全部停止．
用含的代数式表示的长度；
当为何值时，点在直线上；
连结，，直接写出当为何值时，与全等．

24.本小题分
【感知】已知，，求的值．
解：，，即．
，，
【探究】参考上述过程，解答下列问题：
若，，则 ______ ；
如图所示，若，，求的值；
若满足，求的值；
如图，在长方形中，，，，是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，直接写出图中阴影部分的面积和为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
利用立方根的定义即可求解．
本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数的立方等于，即的三次方等于，那么这个数就叫做的立方根，也叫做三次方根．读作“三次根号”其中，叫做被开方数，叫做根指数．

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
故A不符合题意；
与不是同类项，不能合并，
故B不符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D符合题意，
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘多项式分别判断即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法，单项式乘多项式，熟练掌握这些知识是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：
，
故选：．
根据单项式乘多项式，积的乘方运算求解即可．
本题考查了单项式乘多项式，积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：由题意，三角形的面积边高，高面积边．又一个三角形的面积是，它的一边长是，这条边上的高为故选：．
依据题意，由三角形的面积公式可得高，进而计算可以得解．
本题主要考查了整式的除法的应用以及三角形的面积计算公式，解题时要熟练掌握并理解是关键．

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据完全平方公式解答即可．
本题考查完全平方公式、求代数式的值．能够根据完全平方公式整体代换是求解本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得，
可以理解成是平角的角平分线，
，是的平分线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
不是的垂直平分线，故不能证明，
综上所述：，，不符合题意，符合题意，
故选：．
由尺规作图的痕迹可得，，是的平分线，根据同角的余角相等可判断，根据角平分线的性质可判断，证得≌可判定，由于不是的垂直平分线，不能证明．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，是的平分线．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了代数式求值和完全平方公式：，要注意把看成一个整体．根据完全平方公式的逆用，先整理出完全平方公式的形式，再代入数据计算即可．
【解答】
解：原式，
，
，
．
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提公因式即可解答．
本题考查了提公因式法，掌握提取公因式法是解题关键．

10.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
先根据积的乘方得出，再代入求出答案即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，能正确根据积的乘方进行变形是解此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：
，
，
解得，
故答案为：．
根据多项式乘多项式运算可得：，进一步可得，即可求出的值．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】本题给出了一个底角为，根据等腰三角形两底角相等，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．
解：等腰三角形两底角相等，
，
顶角为．
故答案为．

本题考查等腰三角形的性质．找出角之间的关系利用三角形内角和求角度是解答本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：过作于，
是的角平分线，，
，
，
的面积为，
的面积为，
，
，
故答案为：
根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出的面积，求出面积，即可求出答案．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

14.【答案】或 

【解析】解：是完全平方式，
，
解得：或．
故答案为：或．
利用完全平方公式的结构特征求出的值即可．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

15.【答案】解：原式；
原式；
原式；
原式． 

【解析】根据同底数幂的乘法与去绝对值的方法进行解题即可．
根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算即可．
根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算即可．
先根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算，再按照有理数的加减法法则进行计算即可．．
本题考查同底数幂的乘法与除法，掌握同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键．

16.【答案】解：

；



；


；


． 

【解析】利用单项式乘单项式法则计算；
利用多项式乘多项式法则计算；
利用平方差公式计算；
先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则，再合并同类项．
本题考查了整式的运算，掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式法则及乘法公式是解决本题的关键．

17.【答案】解：原式；
原式
；
原式
；
原式
． 

【解析】利用提公因式法因式分解即可；
提公因式后利用平方差公式因式分解即可；
提公因式后利用完全平方公式因式分解即可；
利用十字相乘法因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．

18.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】根据多项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项、多项式除以单项式的原式法则把原式化简，把、的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．

19.【答案】证明：，
，
即，
又，，
≌，
． 

【解析】要证明，可以证明它们所在的三角形全等，即证明≌，已知两边由得出，及夹角，由可以证明．
本题考查了全等三角形的判定及性质；证明两边相等时，如果这两边不在同一个三角形中，通常是证明它们所在的三角形全等来证明它们相等，是一种很重要的方法．

20.【答案】解：计算一个多项式乘以时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，
这个多项式为：，
正确的计算结果是：． 

【解析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
本题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．

21.【答案】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
如图，点即为所求． 

【解析】根据平移的性质即可在图中，作出向右平移个单位长度的三角形；
根据旋转的性质即可在图中，作出绕点沿顺时针方向旋转得到的三角形；
作点关于直线的对称点连接，交线段于点，连结和，即可使的值最小．
本题考查了作图旋转变换，平移变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握旋转的性质和平移的性质．

22.【答案】解：；
． 

【解析】根据得出结论即可；
根据得出结论即可．
本题主要考查同底数幂的乘除法，熟练掌握同底数幂的乘除法的计算是解题的关键．

23.【答案】解：当直线运动到时，秒，
当时，移动全部停止．
当时，；
当时，．
综上，．
直线与的距离为．
当点在直线上时，或，
解得或．
当为或时，点在直线上．

当≌时，，．
，，
，
，解得．
当≌时，，且，即，且需要同时满足．
，且，
这种情况不成立．
综上，当时，与全等． 

【解析】分别写出当时和时长度关于的代数式即可；
写出直线与的距离关于的代数式，令与该距离相等，求解的值即可；
分别求解当≌和当≌时对应的值即可．
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握其判定定理是本题的关键．

24.【答案】   

【解析】解：，
，即．
．
故答案为：．
大正方形的面积各部分图形面积之和，
．
，，
，即，
．
令，，
，．
，即，
，即．
令，，则，阴影部分的面积和为．
，
，即．
，即，
，
阴影部分的面积和为．
故答案为：．
利用完全平方和公式将展开，得，将，代入求解即可；
根据图，写出各部分图形的面积，根据大正方形的面积各部分图形面积之和，得，将，代入求解即可；
令，，得，，求的值转化为求的值．将利用完全平方和公式展开，得，将，代入，求出即可；
令，，则，阴影部分的面积和为根据，得，即利用完全平方差公式将展开，得，将，代入，求出即可．
本题考查完全平方公式的几何背景等，掌握并熟练运用它进行解题是本题的关键．