第2章一元二次方程章末复习教案（湘教版九年级上册）

章末复习

1.一元二次方程的相关概念.

2.灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程.

3.能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况.

4.能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题.

5.构造一元二次方程解决简单的实际问题.

6.通过灵活运用解方程的方法，体会几种解法之间的联系与区别，进一步熟练根据方程特征找出最优解法.

7.通过实际问题的解决，进一步熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的作用.

【教学重点】

运用知识、技能解决问题.

【教学难点】

解题分析能力的提高.

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识及之间的关系.

二、释疑解惑，加深理解

1.一元二次方程的概念：

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.

2.直接开平方法：

对于形如（x+n）2=d(d≥0)的方程，可用直接开平方法解.

直接开平方法的步骤是：把方程变形成（x+n）2=d(d≥0)，然后直接开平方得x+n=d和x+n=-d，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解.

3.配方法：

通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种方法称为配方法.

用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0；

（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；

（3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a；

（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.

4.公式法：

求根公式

（b2-4ac≥0）

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

用公式法解一元二次方程的一般步骤：

首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解.

5.因式分解法：

利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解.

6.一元二次方程的根的判别式：

我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac

⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，.

⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根

⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.

7.一元二次方程的根与系数的关系：

当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即：

8.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：

实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.

【教学说明】通过对重点知识的回顾为本节课的学习内容做好铺垫.

三、典例精析，复习新知

1.（1）方程是一元二次方程，则m是多少？

分析：首先根据一元二次方程的定义得，m2-2m-1=2；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m+1≠0来求m的值.

【答案】 m=3.

（2）若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m等于（    ）

A.1           B.2           C.1或2           D.0

分析：首先得出m2-3m+2=0；再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得m-1≠0来求m的值.

【答案】 B

【教学说明】此时要注意二次项系数不为0，在讨论含字母系数的一元二次方程问题时，命题者常利用a≠0设计陷阱.

2.用适当的方法解一元二次方程

分析：方程（1）选用因式分解法；方程（2）选用直接开平方法；方程（3）选用配方法；方程（4）选用公式法.

解：（1）x1=0,x2=3;(2)x1=,x2=;(3)x1=11,x2=-9;(4)x1=,x2=-3.

3.若(x2+y2)2-4(x2+y2)-5=0,

则x2+y2=_________.

分析：用换元法设x2+y2=m得m2-4m-5=0，解得m1=5，m2=-1

对所求结果，还要结合“x2+y2”进行取舍，从而得到最后结果.

【答案】 5

4.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两不相等的实数根，则k的取值范围是（    ）

A.k>-1         B.k>-1且k≠0         C.k<1         D.k<1且k≠0

分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)k=4k+4＞0得k＞-1，再由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义中a≠0这一条件得k≠0.

【答案】 B

5.某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个.市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个.若销售利润率不得高于100％，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？

分析：如果这种台灯售价上涨x元，那么每个台灯获利(40＋x-30)元，每月平均销售数量为(600-10x)个，销售利润为(40＋x-30)和(600-10x)的积.用一元二次方程解决实际问题时，所求得的结果往往有两个，而实际问题的答案常常是一个，这就需要我们仔细审题，看清题目的要求，进而作出正确的选择.

解：设这种台灯的售价上涨x元，根据题意，得

(40＋x-30)(600-10x)=10000.

即x2-50x+400=0.

解得x1=10，x2=40.

所以每个台灯的售价应定为50元或80元.

当台灯售价定为80元时，销售利润率为，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为，符合要求.

答：每个台灯售价应是50元.

6.如图，要设计一个矩形的花坛，花坛长60m，宽40m，有两条纵向甬道和一条横向甬道，横向甬道的两侧有两个半圆环形甬道，半圆环形甬道的内半圆的半径为10m，横向甬道的宽度是其它各甬道宽度的2倍.设横向甬道的宽为2x m.(π的值取3)

(1)用含x的式子表示两个半圆环形甬道的面积之和；

(2)当所有甬道的面积之和比矩形面积的15多36m2时，求x的值.

解：（1）两个半圆环形甬道的面积=π（10+x）2-π×102=3x2+60x（m2）；

（2）依题意，得40×x×2+60×2x-2x2×2+3x2+60x=×60×40+36，

整理，得x2-260x+516=0，解得x1=2，x2=258（不符合题意，舍去），

∴x=2；

答：x的值为2.

【教学说明】列方程解应用题注重考查了能力问题，表面文字比较复杂,但认真阅读，抓住实质，问题就迎刃而解了.

四、复习训练，巩固提高

1.一元二次方程x2-2x-1=0的根的情况为（    ）

Ａ.有两个相等的实数根

Ｂ.有两个不相等的实数根

Ｃ.只有一个实数根

Ｄ.没有实数根

分析：b2-4ac=(-2)2-4×(-1)=8

【答案】 B

2.关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+|a|-1=0的一个根为0，则实数a的值为（    ）

A.-1           B.0           C.1           D.-1或1

分析：把x=0代入方程得：|a|-1=0，∴a=±1.

∵a-1≠0，∴a=-1.故选A.

【答案】 A

3.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为________.

分析：设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两根为x1，x2，得

【答案】 1

4.若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是_____________.

分析：∵关于x的一元二次方程有实根，∴Δ=4-4a≥0，解之得a≤1.

【答案】 a≤1

5.若关于x的一元二次方程x2-4x+k-3=0的两个实数根为x1、x2，且满足x1=3x2，试求出方程的两个实数根及k的值.

分析：根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件x1=3x2联立组成方程组，解方程组即可.

解:由根与系数的关系得:x1+x2=4①，

x1·x2=k-3②

又∵x1=3x2③，联立①、③，解方程组得.∴k=x1x2+3=3×1+3=6.

方程两根为x1=3,x2=1;k=6.

6.某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.

（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为_______万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）

分析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.

解：（1）27-（3-1）×0.1=26.8.

（2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x-1）×0.1=（27.1-0.1x）万元，

若x≤10,则（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12

解得x1=6,x2=-20(不合题意，舍去)

若x>10,则（28-27.1+0.1x）x+x=12

解得x3=5(与x>10矛盾，舍去),x4=-24(不合题意，舍去)

答：公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.

7.如图①，要设计一幅宽20cm，长60cm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为4∶3，如果要使所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？

分析：由横、竖彩条的宽度比为4∶3，可设每个横彩条的宽为4x，则每个竖彩条的宽为3x.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到长方形ABCD.

(1)结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB=______cm；AD=______cm；长方形ABCD的面积为______cm2；

(2)列出方程并完成本题解答.

分析：（1）一条竖纹宽度为3x，长方形宽减去两条竖纹宽度，即为AB长度，同理，长方形长减去两条横纹宽度，即为AD长度；长方形面积为20×60×（1-）=800；

（2）在（1）的基础上，根据所有彩条所占面积为原长方形图案面积的三分之一列方程求解即可.

解：（1）由题意得，AB=（20-6x）cm，AD=（60-8x）cm，长方形面积为60×20×（1-）=800cm2.

（2）由题意列方程得（20-6x）（60-8x）

=×1200，

解得，x1=，x2=10（舍去）.

答：每个横彩纹的宽度为cm，每个竖彩纹宽度为cm.

五、复习训练，巩固提高

1、回顾整理今日收获.

2、你还有哪些困惑和疑问？

布置作业：教材“复习题2”中第3、4、5、11、12题.

通过画知识框图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系；让学生对典型例题、自身错题进行整理，从而使学生抓住本章的重点、突破学习的难点.