（沪教版2020）2023-2024学年高二数学上学期 必修三 第一次月考B卷

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2023-2024学年高二数学上学期第一次月考B卷·重点难点过关测（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．测试范围：第10章、第11章（沪教版2020必修第三册）。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知某食品罐头的体积是常量，其包装是金属材质的圆柱形，假设该圆柱形的高和底半径分别为和，为了使制作包装的金属材料最省，的值为          .【答案】2【解析】设食品罐头的体积是为常数）．由题意可得，圆柱的表面积．当且仅当，即时等号成立，此时．．故答案为：2．2．正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，则此四棱锥相邻两个侧面所成二面角的大小是           .【答案】【解析】由题意，可作图如下：图中平面，，，连接，由正四棱锥的侧棱与底面所成角为60°，则，设，则，在中，，在正四棱锥中，，且，易知，故，在中，由余弦定理，得，，则，即，同理可得，由，，且平面，平面，则为二面角的平面角，在中，由余弦定理，得，故此四棱锥相邻两个侧面所成二面角的大小是.故答案为：.3．棱长为1的正四面体ABCD中，对棱AB、CD之间的距离为         ．【答案】【解析】设AB，CD的中点为E，F，连接AF，BF，因为ABCD为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1，则AF=BF=，于是得EF⊥AB，同理可得EF⊥CD，即EF的长即为AB、CD之间的距离，此时，EF＝＝＝，即AB、CD之间的距离为.故答案为：4．在正四棱柱中，对角线，且与底面ABCD所成角的余弦值为，则异面直线与所成角的大小为      ．【答案】【解析】如图，在正四棱柱中，因为平面，所以即为与底面ABCD所成角的平面角，则，解得，所以，所以，因为且，所以四边形为平行四边形，所以，所以即为异面直线与所成角的平面角，在中，，所以，所以，即异面直线与所成角的大小为.故答案为：.5．已知异面直线、所成的角为，过空间定点与、成角的直线共有3条，则的大小是      .【答案】【解析】分别将直线平移得到，使得经过点，如图所示， 设所成角的角平分线为，过点垂直于所在平面的直线为，因为异面直线、所成角为，所以直线所成角为，所以，当直线经过点且直线在直线所在平面，垂直于直线时，直线与直线所成角相等，为时，成角为，即；当直线在直线平面内时，若直线绕着点旋转，此时直线与直线所成角相等，且所成角从变化到，再从变化到，此时满足条件的直线有两条，所以，，解得.所以，过空间定点与、成角的直线共有3条时，.故答案为：.6．已知，，则与的位置关系是          .【答案】平行或异面或相交或重合【解析】由题设可得如下四种情况：∴与的位置关系是平行、异面、相交、重合都有可能.故答案为：平行或异面或相交或重合7．如图所示，在中，，，.在三角形内挖去半圆（圆心在边上，半圆与相交于，与相切于点，与相切于点），则图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为           .【答案】【解析】由题意，在中，，连接，作图如下：由半圆与相切于点，与相切于点，则，在中，，绕旋转成圆锥，底面为以为圆心，以为半径，圆锥的高为，圆锥的体积.半圆绕旋转可得以为球心，为半径的球，球的体积为，则阴影部分绕旋转后，其体积.故答案为：.8．已知球的表面积为，点在球的表面上，且，，，则球心到平面的距离为      .【答案】【解析】如图所示，设球心在平面的投影为，则球心到平面的距离为，∵球的表面积为，则球的半径满足，解得，即，则，即为的外心，∵，，，由余弦定理得，由正弦定理得，外接圆半径，故，即球心到平面的距离为.故答案为：9．2021年10月，麻省理工大学的数学家团队解决了维空间中的等角线问题.等角线是一组直线，这组直线中任意两条直线所成的角都相等.三维空间中，最大的等角线组有6条直线，它们是连接正二十面体的12个相对顶点形成的6条直线.已知棱长为1的正二十面体，其外接球半径为，则三维空间最大等角线组中，任意两条直线形成的角的大小为        （用反三角函数表示）.【答案】【解析】如图，根据正二十面体的结构，取等角线组中两条线段，及相应的对棱围成一个矩形，矩形对角线交点为，是正二十面体外接球球心，，棱，，．故答案为：.　10．如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为           .【答案】【解析】如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线=.故答案为：11．二面角是，其内一点P到的距离分别为和，则点P到棱l的距离为         ．【答案】【解析】如图，过分别作，则，设点P到棱l的垂足为，则可得平面，则，所以，则，在中由余弦定理可得，所以，由题意可得在以为直径的圆上，所以由正弦定理可得.故答案为：.12．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，，用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个三棱柱，则的取值范围是  ． 【答案】【解析】①拼成一个三棱柱时，全面积有三种情况，将上下底面对接，其全面积为．边可以合在一起时，其全面积为．边合在一起时，其全面积为．②拼成一个四棱柱，有四种情况，其中全面积有三种情况，就是分别让边长为，，所在的侧面重合，其上下底面积之和都是，但侧面积分别为，显然，三个四棱柱中全面积最小的值为．由题意得，解得，所以的取值范围为．故答案为： 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线m、n，平面，满足且，则“”是“”的（     ）条件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】因为，所以，若，则， 即“”是“”的必要条件；如图，在长方体中，设面为面、面为面，则，且与面不垂直，即“”不是“”的充分条件.所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.14．如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（　　）A． B．平面ABCDC．三棱锥的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】D【解析】对于选项A，在正方体中，平面，平面，所以，即，四边形为正方形，则，又，平面，平面，所以平面，平面，所以，故A正确.对于选项B，在正方体中, 平面平面，平面，所以平面ABCD，故B正确.对于选项C，连接交于点，设三棱锥的高为，，平面，平面，，所以点B到直线的距离即为，，又因为平面，即平面，所以AO为三棱锥的高，在中，，所以，（定值），故C正确.对于选项D，设异面直线AE，BF所成的角为，连接交于点，当点与重合时，因为，此时点与点重合，连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，所以，即为异面直线AE，BF所成的角，在中，，，，因为，所以为直角三角形，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为.当点与重合时，，此时点与点重合，，即，即为即为异面直线AE，BF所成的角，在中，，，，，所以异面直线AE，BF所成的角的正弦值为,异面直线AE，BF所成的角不是定值，故D错误.故选：D.15．已知是半径为1的球面上的三点，若，则的最大值为（   ）A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】设球心为，连接，由，所以和均为等边三角形，所以，所以，当且仅当共面时取等号，如图所示，此时取得最大值，在中，由余弦定理得，所以，所以的最大值为，故选：C.16．如图，已知四边形ABCD，ADEF，AFGH均为正方形，先将矩形EDHG沿AD折起，使二面角的大小为30°，再将正方形沿折起，使二面角的大小为30°，则平面与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，作，．在平面内，由平面．在平面内，由面．又因为与全等，设平面ABCD为平面α，平面为平面β，平面为平面γ.由面积射影定理知：，同理可得，所以，故有．故选：B. 三、解答题（本大题共5题，共70分）17．（12分）已知空间四边形，分别在上.(1)当四边形是平面四边形时，试判断与三条直线的位置关系，并说明理由；(2)已知当，，异面直线所成的角为，当四边形是平行四边形时，试判断点在什么位置时，四边形的面积最大，试求出最大面积并说明理由.【解析】（1）与三条直线平行，或者相交于一点；因为四边形是平面四边形，所以可得或者相交；如图所示：①当时，因为平面，平面，所以平面；又平面，平面平面，所以；所以，即与三条直线平行；（3分）②当相交时，设交点为，即，因为平面，所以点平面，因为平面，所以点平面，又因为平面平面，因此，所以与三条直线相交于一点.（6分）（2）当四边形是平行四边形时，则可知.因为平面，平面，所以平面.（7分）又平面，平面平面，所以.（8分）同理可得，所以即为异面直线所成的角或其补角，则或.（9分）则平行四边形的面积为，在中，，在中，.（10分）所以，当且仅当时，取得最大值为，（11分）即当分别为的中点时，四边形的面积最大，最大值为.（12分）18．（12分）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，圆柱OO1的表面积为24π，OA＝2，∠AOP＝120°．(1)求三棱锥A1﹣APB的体积．(2)求异面直线A1B与OP所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解析】（1），，故.（1分），则，，，（2分），（4分）.（6分）（2）如图所示，为的中点，连接，为的中点，为中点，则，（8分），，，（10分）在中，.故异面直线A1B与OP所成角的大小为.（12分）19．（14分）如图，在四棱锥中，底面，，． (1)求证：平面平面；(2)试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；(3)在(2)的条件下，求二面角的余弦值．【解析】(1)∵，∴．∵平面，平面，∴．（2分）∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（4分）(2)作于点， ∵在中，，∴，∴平面．（5分）设，则．．（7分）由，得，解得，即，故为的中点.（8分）(3)连接、，与交于点，连接， 由(2)可知平面，∴．易知为正方形，∴．∵，∴平面，故．∴是二面角的平面角．由平面，可知平面平面．∴二面角与平面角互余．（11分）设二面角的平面角为，则，在中，，，∴二面角的余弦值为．（14分）20．（16分）如图在四面体ABCD中，△ABC是边长为2的等边三角形，△DBC为直角三角形，其中D为直角顶点，．E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形． (1)求证：BC∥平面EFGH(2)试探究当二面角从0°增加到90°的过程中，线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积；(3)设（），且△ACD是以CD为底的等腰三角形，当为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为?【解析】（1）四边形EFGH为平行四边形，.而面面BCD，面BCD.而面ABC，面面，.（2分）而面面EFGH，面EFGH.（4分）（2）在平面BCD上的投影满足，即在平面BCD上的投影在线段BC的中垂线上.如图所示，将补成边长为2的正三角形，当二面角为角时，即点在平面BCD上，此时为，当二面角为角时，此时为BC中点，故DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域为，而，故线段DA在平面BCD上的投影所扫过的平面区域的面积为.（8分）（3），且为等腰三角形，.取BC中点，由题意得:,，满足，根据勾股定理可知，平面（9分）而多面体ADEFGH的体积恰好为，即多面体ADEFGH的体积恰为四面体ABCD体积的一半.连接AH、AG，设点到平面的距离为，点到平面的距离为， ，（12分）设点到平面的距离为，，，（14分），整理得，解得舍去).（16分）21．（16分）如图，是半球的直径，为球心，，，依次是半圆上的两个三等分点，是半球面上一点，且. (1)证明：平面平面；(2)若点在底面圆内的射影恰在上，求点到平面的距离.【解析】（1）连接，如图，是半圆上的两个三等分点， 则有，（2分）∵，∴都是正三角形，∴，四边形是菱形，，（4分）∵，平面，∴平面，平面∴平面平面.（6分）（2）由(1)知，平面PON，所以平面平面OMNB，平面PON∩平面OMNB=ON，（8分）则点P在底面圆内的射影在ON上，又点P在底面圆内的射影在BM上，点P在底面圆内的射影是ON与MB的交点Q，，故，（10分）在中，由余弦定理，可得，故，故，在中，，（12分）故，故.（14分）由，可得，即，所以，点到平面的距离为.（16分）