（沪教版2020）2023-2024学年高二数学上学期 必修三 第一次月考A卷

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2023-2024学年高二数学上学期第一次月考A卷·基础知识达标测一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．线段B1C 2． 3．4． 5．12 6．7． 8． 9．10．2 11． 12．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．D  14．C  15．B  16．B三、解答题（本大题共5题，共70分）17．（12分）【解析】（1）因为，，，所以，即，又D是AB的中点，所以.（4分）（2）设与相交于点，连接，（5分）在中，为的中点，为的中点，所以，（6分）因为平面，平面，所以平面.（8分）（3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，设直三棱柱的外接球的半径为，则，即，所以三棱柱的外接球的表面积为.（12分）18．（12分）【解析】（1）取的中点为，连接，过点作平面的垂线，垂足为，连接，如图所示： 由题意易知，又平面，平面，所以.（1分）又因为，平面，所以平面；平面，所以.又，所以三点共线； 又因为，所以，，（2分）所以，因此，又，所以；所以点D到平面的距离为.（4分）（2）由（1）可知，为直线与平面所成的角，因为，，所以，因此直线与平面所成的角的大小为.（8分）（3）因为点在平面内的射影为点，且点到三边所在直线的距离相等，若点为内切圆圆心，即的内心，又因为为等边三角形，所以为的中心，即三棱锥为正三棱锥，所以，即；（10分）若点为的旁心，易知可得，（11分）又因为在中，这与且相互矛盾，不合题意；所以.（12分）19．（14分）【解析】（1）因为，所以即为底面圆的直径（2分），，（4分）所以圆柱的侧面积为.（6分）（2）连接，在直三棱柱中，因为平面，平面，所以，（9分）又平面，所以平面，（11分）则即为与平面所成角的平面角，在中，，所以，所以，即与平面所成角的大小为.（14分）20．（16分）【解析】（1）设，连接EO，（1分）∵菱形ABCD，∴O是AC中点，（2分）∵E为PA的中点，∴，∵平面ABCD，∴平面ABCD，（3分）又平面EDB，故平面平面ABCD．（4分）（2）过点O作OF垂直BE于F点，连接AF，因为平面ABCD，平面ABCD，所以，又，平面BDE，∴平面BDE，因为平面BDE，所以，（6分）又平面AOF，所以平面AOF．∴二面角的平面角为，（7分）因为底面ABCD是边长为1的菱形，则为等边三角形，所以，，又，所以，所以，（9分）在中，．（10分）（3）在底面作，垂足为H，∵平面ABCD，平面ABCD，所以，又平面PCB，所以平面PCB，（12分）由（1）知，，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以点E到平面PBC的距离就是点O到平面PBC的距离OH，（14分）在中，，，，所以，即点E到平面PBC的距离为．（16分）21．（16分）【解析】（1）连接，∵ O为的中点，∴，,且,又，O为的中点，（3分）∴，且，在中，，（5分）∴，即，又平面，∴平面.（8分）（2）取的中点M，连接，由E为的中点，知，∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，（10分）在中，，，由平面，平面,所以,（12分）∵是直角三角形斜边上的中线，∴,（13分）在中，由余弦定理可得：,由于异面直线所成角的范围为，（15分）所以异面直线与所成角的大小为.（16分）