数学选择性必修 第二册4.1 数列的概念课文配套课件ppt

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一、教学目标1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题。2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同。3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式。二、教学重难点1、教学重点 理解递推公式的含义.2、教学难点会用递推公式解决有关问题，用数列的前n项和与通项的关系求通项公式
1、数列中的每一个数叫做这个数列的 。2、各项依次叫做这个数列的 (首项)， … ， …3、数列的一般形式可以写成： a1，a2，a3，…，an，…，简记为 。
一、数列的概念与一般形式：
注意：{ an }与an 区别与联系 { an }表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ； an 只是表示数列{ an }中的第 n 项，
①一些数列的通项公式不是唯一的；②不是每一个数列都能写出它的通项公式.
数列 {an} 的第n项 an 与序号 n 之间的关系式叫数列的通项公式
2、求数列通项公式的一般方法：①由各项的特点，找出各项共同的构成规律。②通过观察、猜想归纳出数列中的项an与序号n之间的关系， 写出一个满足条件的最简捷的公式。
二、数列的通项公式：
1、常用数列①an = n （1, 2, 3, 4, … ） ②an = 2n （2, 4, 6, 8, … ）③an = 2n+1 （ 3, 5, 7, 9, … ） ⑤an = 2n （2, 4, 8, 16, … ）④an = 2n-1 （1, 3, 5, 7, 9, … ） ⑥an = n2 （1, 4, 9, 16, 25, … ） ⑦an = n(n+1) ⑧an = (2n-1)(2n+1)2、关于 (-1)n 即符号3、常数数列：an = c
例4. 图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式.
当不能明显看出数列的项的取值规律时, 可以尝试通过运算未寻找规律, 如依次取出数列的某一项, 减去或除以它的前一项,再对差或商加以观察.
于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.
换个角度观察图中的4个图形，可以发现，
a1=1, 且每个图形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1个无色小三角形.
这样, 例4中的数列的前4项满足a1=1, a2 =3a1 , a3 =3a2, a4 =3a3 , 由此猜测这个数列满足公式：
1、定义：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 .
如果已知数列的第1项或前几项，以及递推公式，就能求出数列的每一项.
总结：递推公式也是给出数列的一种方法，根据数列的递推公式，可以逐次写出数列的所有项.
在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一. 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn,，即Sn =a1+a2+...+an 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. 显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是我们有
已知数列{an}的前几项和公式为Sn =n2+n,你能求出{an}的通项公式吗？
解：因为a1=S1=2， an=Sn-Sn-1 = n2+n -[(n-1)²+(n-1)] =2n(n≥2),并且当n=1时，a1=2×1=2依然成立.所以{an}的通项公式是an=2n.
解:根据 Sn=a1＋a2＋a3＋ … ＋an-1 ＋an ； 与 Sn-1=a1＋a2＋a3＋ … ＋an-1 (n≥2) .
当n=1时，a1=S1=1+5=6;
1 已知数列{an}的前n项和公式为Sn =n2+5 ，求{an}的通项公式 .
解:当n≥2时, an=Sn-Sn-1= (n2+5) -[(n-1)2+5]=2n-1. ①
将n=1代入①式得，2-1=1≠6=a1
所以当n=1时，①式不成立.
(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子， 那么数列{an}的通项公式为 an＝Sn－Sn－1；
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式的步骤：
(1)当n＝1时，a1＝S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.
如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的式子，那么数列{an}的通项公式要分段表示为
1.已知数列{an}满足 a1 = 1，an = an－1＋1 (n ≥ 2)， 写出这个数列的通项公式.
解：（1）由递推式可得，
a2－a1 = 1，a3－a2 = 1，…an－an－1 = 1
把以上 n-1 个式子相加,得 an －a1 = n －1
∴数列的通项为 an = n.
总结：一般递推关系为an+1= f (n)+an，即an+1 - an = f (n)时，可用累加法求通项公式.
1. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式. （1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = lg2 (n＋1)
解：（1）当 n ≥ 2 时，
2. 已知数列 {an} 的前 n 项和公式 Sn ，求数列{an}的通项公式. （1）Sn = 2n2－n＋1，　 （2）Sn = lg2 (n＋1)
解： （2）当 n ≥ 2 时，
总结：已知Sn求出an依据的是Sn的定义：Sn=a1+a2+…+an，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式.
1.递推公式：（1）初始值；2）递推关系式
（1）已知数列的递推公式，求前几项并猜出通项公式
（2） 已知数列的递推公式，用累加法求通项公式
（3） 已知数列的递推公式，用累乘法求通项公式