2022-2023学年浙江省宁波市余姚市舜水中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市余姚市舜水中学八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.科学防控知识的图片上有图案和文字说明，图案是轴对称图形的是(    )

A. 有症状早就医 B. 防控疫情我们在一起
C. 打喷嚏捂口鼻 D. 勤洗手勤通风

2.下列长度的三条线段，首尾相接能构成三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3.如图，茗茗从点出发，先向东走米，再向北走米到达点，如果点的位置用表示，那么表示的位置是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

4.如果，那么下列结论错误的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是(    )

A.  B. ，
C. ， D. ，

6.如图，中，的垂直平分线交于，如果的周长等于，，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

8.定义新运算“”如下：当时，；当时，，若，则的取值范围是(    )

A. 或 B. 或
C. 或 D. 或

9.若一次函数都是常数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图，把一个大矩形分割成小块，其中号是正方形，其余都是矩形，且号和号全等，号的周长是号的倍，已知大矩形的面积，可以求出下列哪一个图形的面积(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.如图所示的自行车架设计成三角形，这样做的依据是三角形具有______．

12.点关于轴的对称点坐标是______．

13.命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是______命题填“真”或“假”．

14.如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是______．

15.如图，在中，是上一点，，，分别是，的中点，，则的长是______．

 

16.如图，直角坐标系中两点，点为线段上一动点，关于，的对称点分别为点、，连接，交，分别为点、，则的最大值是______ ，的度数是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解下列不等式组：

 

18.本小题分

在和中，，，，求证：．

19.本小题分

在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点的三角形叫做格点三角形，现有，两个格点，请以为边分别画出符合下列要求的格点三角形．
在图甲中画一个面积为的直角三角形；
在图乙中画一个等腰非直角三角形，且这个等腰三角形的腰长为______ ．

20.本小题分

甲、乙两人分别从，两地去同一城市，他们离地的路程千米随时间时变化的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
，两地的路程为______ 千米；
乙离地的路程千米关于时间时的函数表达式是______ ．
求当甲、乙两人在途中相遇时离地的路程？

21.本小题分

已知点位于第三象限，点位于第二象限且是由点向上平移一定单位长度得到的．
若点的纵坐标为，试求出的值；
在题的条件下，试求出符合条件的一个点的坐标；
若点的横、纵坐标都是整数，试求出的值以及线段长度的取值范围．

22.本小题分
某电器超市销售、两种型号的电风扇，型号每台进价为元，型号每台进价分别为元，下表是近两天的销售情况：

进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
求、两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

23.本小题分
如图，在中，，，于点，是的中点，是延长线上一点，满足
求证；
探究与之间的数量关系，并给出证明．

24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点．
如图，求点、点的坐标；
求证：．
在线段上，过点作，将绕点顺时针方向旋转一个角度，得到图，然后取的中点，取的中点，连接，，，得到图，请解答下列问题：
在图中，与的数量关系是______ ；
判断的形状，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．

2.【答案】 

【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
解：根据三角形的三边关系，得：
A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，能构成三角形，符合题意；
C、，不能构成三角形，不符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故选：．
本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．

3.【答案】 

【解析】解：根据如图所建的坐标系，易知表示的位置是点；
故选：．
根据题意可得：茗茗从点出发，先向东走米，再向北走米到达点，如果点的位置用表示，即向西走为轴负方向，向南走为轴负方向；则表示的位置是向西，北；即点所在位置．
本题考查了坐标位置的确定，能根据已知点的坐标确定坐标轴的位置是解决本题的关键．

4.【答案】 

【解析】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．
根据不等式的性质即可求出答案：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向变。
解：，
，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：、满足条件，不满足结论，故A选项正确，符合题意；
B、不满足条件，也不满足结论，故B选项错误，不符合题意；
C、满足条件，也满足结论，故C项错误，不符合题意；
D、不满足条件，也不满足结论，故D选项错误，不符合题意．
故选：．
能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．
本题考查命题的真假判断，正确记忆能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，



，
，
，
故选：．
根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等得到，根据三角形周长与的值即可求得结论．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
由折叠的性质可知，，
，
故选：．
根据直角三角形的性质求出，再根据折叠的性质、三角形的外角性质计算即可．
本题考查的是直角三角形的性质，折叠的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：当，即时，
，
，
，
，
；
当，即时，
，
，
，
，
；
综上所述，或，
故选：．
分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．
本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式组，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：一次函数过一、二、四象限，
则函数值随的增大而减小，因而；
图象与轴的正半轴相交则，
因而一次函数的一次项系数，
随的增大而增大，经过一三象限，
常数项，则函数与轴负半轴相交，
因而一定经过一三四象限，
故选：．
根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定，的取值范围，再根据，的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大；
一次函数图象与轴的正半轴相交，一次函数图象与轴的负半轴相交，一次函数图象过原点．

10.【答案】 

【解析】解：设号的长为，宽为，和的面积为；
由题意可知号的边长为，面积为；
号的长为，宽为，面积为；
号的长为，宽为，面积为；
大长方形的长为，宽为，面积为．
又因为已知，所以可求．
故选：．
首先设号的长和宽，再根据题意表示号的边长，进而得出号和号的边长，然后表示出面积，最后比较各图形的面积与大长方形面积可得答案．
本题主要考查了列代数式，根据各图形之间的关系表示出面积是解题的关键．

11.【答案】稳定性 

【解析】【分析】
本题考查的是三角形的稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
根据三角形具有稳定性解答．
【解答】
解：自行车的主框架采用了三角形结构，这样设计的依据是三角形具稳定性．

12.【答案】 

【解析】解：点关于轴的对称点坐标是．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

13.【答案】假 

【解析】写出这个命题的逆命题，根据全等三角形的判定判断即可．
解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．

14.【答案】 

【解析】解：因为直线与相交于点，
将点代入得，
解出，
所以点的坐标为，
因为当时，，
所以关于的方程的解是，
故答案为：．
首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．

15.【答案】 

【解析】解：如图，连结．

，是的中点，
．
在中，，是的中点，，
．
故答案为：．
连结由，是的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．利用等腰三角形三线合一的性质得出是解题的关键．

16.【答案】   

【解析】解：连接，，，，

，，，
，，
由轴对称知：，，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
的最大值为：，
，，，
，
，
，
，
故答案为：，．
添加辅助线，构造等边三角形，再根据轴对称的性质求解．
本题考查了坐标与图形的变化对称，掌握对称的性质是解题的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，
则；
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

18.【答案】证明：，

，
在和中，
，
≌
． 

【解析】根据证明三角形全等即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等．

19.【答案】 

【解析】解：如图甲中，即为所求；
如图乙中，即为所求，．
故答案为：．
利用数形结合的思想作一个腰为的等腰直角三角形即可；
根据等腰三角形的定义作出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】   

【解析】解：，两地的路程为千米，
故答案为：；
设乙离地的路程千米关于时间时的函数表达式是，
则，
解得，
乙离地的路程千米关于时间时的函数表达式是，
故答案为：；
设甲离地的路程千米关于时间时的函数表达式是，
把代入得：，
解得，
甲离地的路程千米关于时间时的函数表达式是，
联立方程组得，
解得，
答：当甲、乙两人在途中相遇时离地的路程为千米．
根据函数图象中的数据可以解答本题；
根据图中数据，用待定系数法求出函数解析式即可；
先求出甲离地的路程千米关于时间时的函数表达式，再联立方程组，解方程组即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用待定系数法求出一次函数解析式．

21.【答案】解：
，．

由得：，又点位于第二象限，所以；
取，得点的坐标为．

因为点位于第三象限，
所以，
解得：．
因为点的横、纵坐标都是整数，所以或或或；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以． 

【解析】点的纵坐标为，即；解可得的值；
根据题意：由得：；进而根据又点位于第二象限，所以；取符合条件的值，可得的坐标；
根据点位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，可得；
解而求其整数解可得的值以及线段长度的取值范围．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

22.【答案】解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元．
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，
依题意，得：，
解得：．
答：种型号的电风扇最多能采购台．
依题意，得：，
解得：．
，
．
为整数，
，，．
共有三种采购方案，
方案：采购种型号电风扇台，种型号电风扇台；
方案：采购种型号电风扇台，种型号电风扇台；
方案：采购种型号电风扇台，种型号电风扇台． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近两天的销售情况表，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论；
根据总利润每台利润数量结合总利润不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合的结论及为整数，即可得出各采购方案．

23.【答案】证明：，，
，
，
于点，
，
，
，
，
，
．
解：，
证明：，
，
是的中点，
，
，
作交的延长线于点，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】由，，于点，得，，则，，由，得，所以；
先由，是的中点，推导出，作交的延长线于点，则，所以，则，再证明≌，得，所以．
此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线及证明是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】解：直线：，
令，则，解得，
点的坐标为，
联立直线：与直线：得，
，解得，
点的坐标为；
证明：点的坐标为，点的坐标为，
，，
；
解：如图，

，
，
，
，，
，
由旋转得，
，
，
≌，
，
故答案为：；
解：是等腰三角形，理由如下：
的中点，的中点，
，，
≌，
，，
，
，
≌，
，
是等腰三角形．
由直线：，令，可得点的坐标，联立直线：与直线：，可得点的坐标；
根据点、点的坐标即可得出结论；
证明≌，根据全等三角形的性质可得答案；
证明≌，根据全等三角形的性质可得答案．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相关性质．