2023-2024学年甘肃省武威九中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省武威九中九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(    )

A. 三角形内角和定理
B. 三角形全等
C. 勾股定理
D. 轴对称图形

2.下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，中，，，，在数轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴的正半轴于点，则表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.一组数据，，，，，，的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为(    )

A.  B.  C.  D.

6.一次函数的图象与轴交点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在中，点、、分别是、、的中点，连接、，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.如果某函数的图象如图所示，那么随的增大而(    )

 

A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 有时增大有时减小

9.已知甲、乙两地相距米，甲从地去地，乙从地去地，图中分别表示甲、乙两人离地的距离单位：米，下列说法正确的是(    )

A. 乙先走分钟 B. 甲的速度比乙的速度快
C. 分钟时，甲乙相距米 D. 甲比乙先到分钟

10.如图，四边形是菱形，，，于，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.计算： ______ ．

12.点 ______ 填“在”或“不在”直线上

13.如图，在等腰中，，，则边上的高是______ ．

14.如果将直线沿轴向下平移个单位，那么平移后所得直线的表达式是______．

15.某校甲、乙两个升旗队队员的平均身高相等，甲队队员身高的方差是，乙队队员身高的方差是，那么两队中队员身高更整齐的是______队．填“甲”或“乙”

16.某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______ 元

17.如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时，______填“”或“”．

18.如图，在长方形中，，在上存在一点、沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么的长为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
计算：
；
．

20.本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，，，求证：．

21.本小题分

如图，平行四边形的对角线、相交于点，且，，求证：四边形是矩形．

22.本小题分
如图，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，已知米，米，，米，米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

23.本小题分
一次函数的图象过点．
求这个一次函数的解析式．
判断是否在此直线上？

24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．
求、的值；
若点在轴负半轴上，且满足，求点的坐标．

25.本小题分

如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．
求的值及的解析式；
求的面积．

26.本小题分
已知直线经过点，
求直线的函数表达式；
若直线与直线相交于点，求点的坐标；
写出不等式的解．

27.本小题分
在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点．
当点在边上时，如图，求证．
当点在边的延长线上时，如图，线段，，之间的数量关系是______，为什么？
当点在边的反向延长线上时，如图，线段，，之间的数量关系是______不需要证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．
故选：．
观察我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．
此题考查了勾股定理的证明，熟练准确的识别“弦图”是解本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：原式，所以选项符合题意；
B.与不能合并，所以选项不符合题意；
C.原式，所以选项不符合题意；
D.与不能合并，所以选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的乘法法则对、进行判断；根据二次根式的加减法对、进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：中，，，，
．
点表示，
点表示．
故选B．
先根据勾股定理求出的长，进而可而出结论．
本题考查的是勾股定理及实数与数轴，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
故选：．
根据众数的概念求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．

5.【答案】 

【解析】解：设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选A．
设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．
本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：当时，，解得，
所以一次函数的图象与轴的交点坐标为．
故选：．
计算函数值为所对应的自变量的取值即可．
本题考查了一次函数图象与轴的交点：求出函数值为时的自变量的值即可得到一次函数与轴的交点坐标．

7.【答案】 

【解析】解：点、、分别是、、的中点，
、都是的中位线，
，，
，，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，，根据平行线的性质得到，，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了函数图象，观察函数图象发现函数图象的变化趋势是解题关键．
根据函数图象，可得答案．
【解答】
解：由图象，得随的增大而增大，
故选A．

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，甲先走分钟，故本选项不合题意；
B.甲的速度为：米分，乙的速度为：米分，，故本选项不合题意；
C.分钟时，甲乙相距：米，故本选项不合题意；
D.由图象可知，甲比乙先到分钟，故本选项符合题意．
故选：．
根据图象可判断选项A、，根据题意结合图象分别求出甲乙两人的速度，进而判断选项B、．
本题考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出是解此题的关键．
根据菱形性质求出，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：四边形是菱形，

，，，
，，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
故选A．

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
根据二次根式的除法法则计算．
本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的除法法则是解题的关键．

12.【答案】在 

【解析】解：当时，，
在直线上．
故答案为：在．
求出时，的值，即可判断．
本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，
，，
，
．
故答案为：．
根据题意作出高线，根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：原直线的，；向下平移个单位长度，得到了新直线，
那么新直线的，．
新直线的解析式为．
故答案是：．
根据平移时的值不变，只有发生变化即可得到结论．
本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后值不变．

15.【答案】乙 

【解析】解：，，
，
两队中队员身高更整齐的是乙队，
故答案为：乙．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

16.【答案】 

【解析】解：单价元．
故答案为：．
根据图象知道升油花费了元，由此即可求出这种汽油的单价．
本题主要考函数的图象，根据图象信息利用等量关系：单价总价数量即可求出结果．

17.【答案】 

【解析】解：由图象知，当时，的图象在上方，
．
故答案为：．
由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
设，
，
，
，
，
故答案为：．
由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，设，由勾股定理可得出答案．
本题考查的是翻转变换、勾股定理，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

19.【答案】解：原式

．
原式，
，
． 

【解析】利用乘法分配律进行计算即可；
先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
于，于，
．
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据“”可证出≌，进而解答即可．
此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．

21.【答案】证明：，．
四边形是平行四边形，
四边形是平行四边形，且，
平行四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形得，则，然后由矩形的判定即可得出结论．
本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键．

22.【答案】解：如图，连接，

米，米，，
米，平方米，
在中，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
平方米，
平方米，
草坪每平方米元，
共需花费元．
答：用该草坪铺满这块空地共需花费元． 

【解析】连接，由勾股定理得米，求出平方米，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，求出平方米，即可解决问题．
本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．

23.【答案】解：把代入，
得，
解得，
一次函数解析式为；

当时，，
点是在此直线上． 

【解析】把点代入，得到关于的方程，然后解方程即可；
把代入中的一次函数中计算出对应的函数值，然后进行判断．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．

24.【答案】解：当时，，
点的坐标为．
将、代入，
得：，
解得：．
当时，有，
解得：，
点的坐标为．
设点的坐标为，
，即，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值；
利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出、的值；利用三角形的面积公式结合结合，找出关于的一元一次方程．

25.【答案】解：把代入一次函数，可得：，解得：
，
设的解析式为，则有，解得，
的解析式为；
如图，过作于，则，
由点、在一次函数上，
令，则，，
，

． 

【解析】把代入一次函数求出的值即可得出点坐标，设的解析式为，求出的值即可得出结论；
过作于，则，求出的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题主要考查了一次函数中两条直线的交点问题，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．

26.【答案】解：根据题意得，解得，
直线解析式为；
解方程组得，
点坐标为；
解不等式得，
即不等式的解集为． 

【解析】利用待定系数法求直线的解析式；
通过解方程组得点坐标；
解不等式得不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

27.【答案】   

【解析】证明：如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：，
理由如下：如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
解：，
理由如下：如图，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质、平行线的性质、结合图形证明即可；
仿照的方法证明即可．
本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题的关键．