2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）华侨城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）华侨城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年广东省深圳市南山外国语学校（集团）华侨城中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.如图，自由转动转盘上的指针转盘被分成六等份停在红色区域中的概率是(    )A.
B.
C.
D.
 3.一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根4.矩形、菱形、正方形的对角线都具有的性质是(    )A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直平分5.用配方法解方程，则配方正确的是(    )A.  B.  C.  D. 6.若，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.如图，四边形是菱形，对角线与相交于点，于点若，，则的长度为(    )A.
B.
C.
D. 8.如图，在长为米、宽为米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪要使草坪的面积为平方米，设道路的宽为米，则可列方程为(    )A.
B.
C.
D. 9.如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是(    )

 A.  B.  C.  D. 10.如图，正方形的边长为，，是对角线．将绕着点顺时针旋转得到，交于点，连接交于点，连接则下列结论：
四边形是菱形        ≌                 ，其中正确的结论是(    )

 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.分解因式：            ．12.一个暗箱里放有个白球和个红球，它们除颜色外完全相同．若每次将球搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，那么可以推算出的值大约是______．13.设是方程的一个根，的值为______ ．14.在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为______ ．15.如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值为______．
 三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.本小题分
解方程：
；
．17.本小题分
先化简，再求值其中是、、、中的一个．18.本小题分
为响应国家全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育活动，某校对全校学生进行了中期检测评价，检测结果分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．

参加这次调查的学生总人数为______ 人；类别所对应扇形的圆心角度数为______ ；
请补全条形统计图；
类别的名学生中有名男生和名女生，班主任想从这名学生中随机选取名学生进行约谈，请用列举法画树状图或列表求所选取的名学生恰好都是男生的概率．19.本小题分
如图，在▱中，，，点是上一点，若将沿折叠，点恰好与上的点重合，过点作交于点，连接．
求证：四边形是菱形；
当时，求点到直线的距离．
20.本小题分
随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年月份生产型无人机架，月份生产型无人机达到架．
求该公司生产型无人机每月产量的平均增长率；
该公司还生产型无人机，已知生产架型无人机的成本是元，生产架型无人机的成本是元，现要生产、两种型号的无人机共架，其中型无人机的数量不超过型无人机数量的倍，公司生产、两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少？21.本小题分
阅读下列材料：
解方程：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，解这个方程得：，．
当时，；
当时，，．
以原方程有四个根：，，，．
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
用换元法解方程：；
三边是，，，若两直角边，满足，斜边，求的面积．22.本小题分
定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
【概念理解】：
下列四边形中一定是“中方四边形”的是______ ．
A.平行四边形；
B.矩形；
C.菱形；
D.正方形．
【性质探究】：
如图，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系．
【问题解决】：
如图以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，，求证：四边形是“中方四边形”．
【拓展应用】：
如图，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
试探索与的数量关系，并说明理由．
若，求的最小值．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2.【答案】 【解析】解：由图可得，
自由转动转盘上的指针转盘被分成六等份停在红色区域中的概率是，
故选：．
根据图形和题意，可以直接写出自由转动转盘上的指针转盘被分成六等份停在红色区域中的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，写出相应的概率．3.【答案】 【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．4.【答案】 【解析】解：因为矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的对角线互相平分且垂直且平分每一组对角，
正方形的对角线具有矩形和菱形所有的性质，
所有矩形、菱形和正方形的对角线都具有的性质是对角线互相平分．
故选：．
先逐一分析出矩形、菱形、正方形的对角的性质，再综合考虑矩形、菱形、正方形对角线的共同性质．
本题主要考查了矩形、菱形、正方形的性质，解题的关键是熟知三者对角线的性质．5.【答案】 【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把移到方程的右边，然后方程两边都加，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．6.【答案】 【解析】解：，
设，，
，
故选：．
根据比例性质，设，，再代入计算即可．
本题考查了比例的性质，利用比的意义得出，是解题关键．7.【答案】 【解析】解：四边形是菱形，，，
，，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
即，
解得：，
故选：．
由菱形的性质和勾股定理得，再由，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长米，宽为米的矩形，
依题意得：．
故选：．
设道路的宽为米，则种植草坪的部分可合成长米，宽为米的矩形，根据草坪的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
根据勾股定理求得，然后根据矩形的性质得出．
【解答】
解：四边形是矩形，
，
点的坐标是，
，
，
故选：．10.【答案】 【解析】【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证明角相等的方法，属于中考常考题型．
首先证明≌，再求出、、、的度数，推出，由此可以一一判断．
【解答】
证明：四边形是正方形，

，，，
是由旋转得到，
，，
在和中，
，
≌，故正确；
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形是菱形，故正确；
，故正确；
，，
，
，
，故错误．
故选：．11.【答案】 【解析】解：，
，
．
故答案为：．
两项的数字公因式为，字母公因式为，故公因式为，提公因式后，用平方差公式进一步因式分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式．注意公因式包括数字、字母，公因式选择应完整．因式分解应该分解到不能再分解为止．12.【答案】 【解析】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
所以推算出的值大约是，
故答案为：．
在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．13.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
由是方程的一个根，可得，再整体代入法进行计算即可．
本题考查的是一元二次方程的解的含义，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键．14.【答案】 【解析】解：依题意得：，
故答案为：．
根据参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛场，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】 【解析】解：连接．

在中，，，，
，
，
，
，
，
，
的最大值为，
故答案为．
连接根据直角三角形斜边中线的性质求出，利用三角形的三边关系即可解决问题．
本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 【解析】利用因式分解法解方程即可．
此题主要看了因式分解法解方程，解题的关键是会根据方程的特点选择因式分解的方法．17.【答案】解：
，
，
由分式有意义可得、或，
当时，原式． 【解析】先化简分式，再由分式有意义可得，代入求解即可．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是正确化简分式．18.【答案】   【解析】解：参加这次调查的学生总人数为人．
类别的人数为人，
类别所对应扇形的圆心角度数为．
故答案为：；．
补全条形统计图如图所示．

画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选取的名学生恰好都是男生的结果有种，
所选取的名学生恰好都是男生的概率为．
用类别的学生人数除以其所占的百分比可得参加这次调查的学生总人数；用参加这次调查的学生总人数分别减去类别，，的学生人数，可求出类别的学生人数，再用乘以类别的学生所占的百分比，即可求出答案．
根据求出的类别的学生人数补全条形统计图即可．
画树状图得出所有等可能的结果数以及所选取的名学生恰好都是男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．19.【答案】证明：将沿折叠，点恰好与上的点重合，
，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
解：，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
在中，，
，
解得，
，
设点到直线的距离为，
，
解得，
点到直线的距离为． 【解析】由折叠的性质得出，，，再根据平行线的性质可得，进而可证四条边相等；
先由题意得出四边形是矩形，再利用勾股定理求出，的长，最后利用等面积法即可求解．
本题考查矩形的性质，菱形的判定，平行线的性质，勾股定理，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．20.【答案】解：设该公司生长型无人机每月产量的平均增长率为，根据题意可得：
，
解得：，不合题意舍去，
答：该公司生长型无人机每月产量的平均增长率为；
设生产型号无人机架，则生产型号无人机架，需要成本为元，
依据题意可得：，
解得：，
，
，
当的值增大时，的值减小，
为整数，
当时，取最小值，此时，
，
公司生产型号无人机架，生产型号无人机架成本最小． 【解析】此题主要考查了一元二次方程应用以及一次函数应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，找到产量前后变化的平衡关系，列出方程，解答即可．
直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
根据题意求出的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．21.【答案】解：设，原方程可变形为，
，，
当时，或，
当时，方程无解，
故原方程有两个根：，；
设，则原方程为，
解得：或，
即，，由斜边，舍去，
的周长为；
由勾股定理得，
则
解得：，
因此的面积． 【解析】先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，，再把和分别代入得到关于的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解；
首先设，求得方程的解，得出的数值，根据勾股定理可得，再利用完全平方公式整理得到，然后根据三角形的面积公式求解即可．
本题考查了换元法解一元二次方程，勾股定理的运用．我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．22.【答案】 【解析】解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，
一定是“中方四边形”的是正方形；
故答案为：；
，理由如下：
四边形是“中方四边形”，
四边形是正方形，
，，
，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，．
如图，设四边形的边、、、的中点分别为、、、，连接交于，连接交于，

四边形各边中点分别为、、、，
、，，分别是、、、的中位线，
，，，，，，，，
，，，，
四边形是平行四边形，
四边形和四边形都是正方形，
，，，
，
≌，
，，
又，，
，
平行四边形是菱形，
，
．
又，，
，
，
又，，
．
菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”．
如图，记、的中点分别为、，

四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点，
四边形是正方形，
，，
，
，分别是，的中点，
，
；
如图，连接交于，连接、，

当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长，
的最小值，
由性质探究知：，
又，分别是，的中点，
，，
，
的最小值，
由拓展应用知：；
又，
，
的最小值为．
由正方形对角线相等且互相垂直可得答案；
由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论；
如图，取四边形各边中点分别为、、、并顺次连接成四边形，连接交于，连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得≌，推出▱是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论；
如图，记、的中点分别为、，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；
如图，记、的中点分别为、，连接交于，连接、，当点在上即、、共线时，最小，最小值为的长，再结合的结论即可求得答案．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键．