2023-2024学年江西省九江市永修县九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2023-2024学年江西省九江市永修县九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B. 为常数
C.  D.

2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 是中心对称图形

3.解方程的结果为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

4.如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是(    )

A. 当时，它是正方形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形
D. 当时，它是矩形

5.已知关于的一元二次方程有一个非零实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上若，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.把一元二次方程化成的一般形式，其中，则常数项 ______ ．

8.如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为______ ．

9.关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______ 。

10.若关于的一元二次方程的两个根分别为与，则的值为______ ．

11.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是______．

12.如图，在菱形中，，，点在边上，，点从点出发，沿着的路线向终点运动，连接，若是以为腰的等腰三角形，则的长可以是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）

13.解方程：．

四、解答题（本大题共11小题，共81.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.本小题分
如图，在中，，为的中点，，，求的长．

15.本小题分

如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点求证：．

16.本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于，若，，求的长．

17.本小题分
如图，和都是等腰直角三角形，点，，在同一直线上，且是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图保留作图痕迹．
在图中，作▱；
在图中，作正方形．

 

18.本小题分
如图，矩形绿地的长为，宽为，将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，求绿地的长、宽增加的长度．

19.本小题分
设关于的一元二次方程为在下面的四组条件中选择其中一组，的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程．
，；
，；
，；
，．
注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分．

20.本小题分
定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是______ 填序号；；．
已知是关于的“完美方程”，若是此“完美方程”的一个根，求的值．

21.本小题分
如图，在▱中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，添加下列条件之一使▱成为菱形：；，．
你添加的条件是______ 填序号，并证明．
在的条件下，若，的周长为，求菱形的边长．

22.本小题分
【阅读】
解方程：．
解：设，则原方程可化为，
解得，．
当时，即，解得；
当时，即，解得．
所以原方程的解为，．
上述解法称为“整体换元法”
【应用】
若在方程中，设，则原方程可化为整式方程：______ ．
请运用“整体换元法”解方程：．

23.本小题分

如图，在▱中，点，在对角线上，，，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是矩形．
如图，连接，，当时，判断四边形的形状，并说明理由．

24.本小题分
如图，在正方形中，为对角线上一点，连接，图中的全等三角形有______ 写出一对即可，不必证明．
如图，为延长线上一点，且，交于点判断的形状并说明理由．
如图，过点作交的延长线于点．
求证：．
若，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程不是一元二次方程，故本项不符合题意；
B.方程当时不是一元二次方程，故本项不符合题意；
C.方程符合定义，是一元二次方程，故本项符合题意；
D.方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本项不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程判断即可．
本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．

2.【答案】 

【解析】解：、菱形具有对角线互相垂直平分，平行四边形具有对角线互相平分，符合题意；
B、菱形具有对边相等，平行四边形具有对边相等，不符合题意；
C、菱形具有对角相等，平行四边形具有对角相等，不符合题意；
D、菱形是中心对称图形，平行四边形是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
利用菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解．
本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
，，
故选：．
两边直接开平方即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项A错误，符合题意；
当，平行四边形是菱形，故选项B正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项C正确，不符合题意；
当，平行四边形是矩形，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案．
本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．

5.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有一个非零实数根，
，即
，
，
，
故选：．
由关于的一元二次方程有一个非零实数根，可得，然后移项变形即可得解．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，，．
由第一次折叠可知，，，
四边形为正方形，
，
．
由第二次折叠可知，，
，
，
，
，
．
故选：．
由第一次折叠可知，，则四边为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解．
本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
常数项．
故答案为：．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
本题主要考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质证得，根据三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

9.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，
，
故答案为：．
根据题意可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程的解是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴，过点作轴，

点的坐标是，
，，
四边形是正方形，
，，
，且，
，且，，
≌
，，
点坐标为
故答案为：
如图，过点作轴，过点作轴，由“”可证≌，可得，，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

12.【答案】或或 

【解析】解：过点作于，

四边形是菱形，，，
，
，
又点在边上，，
当点在边上时，
若，则；
若，则，
，
是等腰直角三角形，
；
当点在边上时，，不可能为等腰三角形；
当点在边上，且时，如图，过点作于，

四边形是菱形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
设，
则，
，
，
解得：负值舍去，
，，
；
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
过点作于，可求得，分四种情况：当点在边上时，若，若，可分别求得的长；当点在边上时，，不可能为等腰三角形；当点在边上，且时，可求得．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及等腰三角形的性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用是解此题的关键．

13.【答案】解：，，，
，
，
，． 

【解析】本题考查了解一元二次方程的方法公式法．
原方程是一元二次方程的一般形式，先由系数求得根的判别式，再利用求根公式求解．

14.【答案】解：，为的中点，
是边上的中线，
，
，
，
， 

【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

15.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
． 

【解析】根据矩形的性质可以得到，根据平行四边形的判定和性质可以得到，从而可以得到．
本题考查矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出．

16.【答案】解：四边形是菱形，
，
．
，
，
，
．
，
． 

【解析】由四边形是菱形，，根据菱形的性质可得，再根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得，再根据勾股定理求得，进而利用面积即可求得的长．
本题考查了菱形的性质及勾股定理，根据菱形的面积公式菱形的面积等于两条对角线乘积的一半求得是解题的关键．

17.【答案】解：如图，▱为所作；
如图，正方形为所作．
 

【解析】延长和，它们的交点为点，则四边形满足条件；
延长交于点，然后分别延长和，它们相交于点，则四边形满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和正方形的判定．

18.【答案】解：设绿地的长、宽增加的长度各为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：绿地长、宽增加的长度各为． 

【解析】设绿地的长、宽增加的长度为，由题意：将此绿地的长、宽各增加相同的长度后，绿地面积增加了，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】解：这个方程有两个不相等的实数根，
，
，
，
选时，不符合，
均可．
选解方程，则这个方程为，
，
，；
选解方程，则这个方程为，
，
，． 

【解析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得，由此可知、的值可在中选取，然后求解方程即可．
本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于，方程无解．

20.【答案】 

【解析】解：，
，，，
，则方程不是“完美方程”；
，
，，，
，则方程不是“完美方程”；
 ，
，，，
，则方程是“完美方程”；
故答案为：．
是关于的“完美方程”，
，
，
原方程为．
是此“完美方程”的一个根，
，即，
解得：或．
根据“完美方程”的定义进行求解即可；
根据“完美方程”的定义得到，则原方程为，再由是此“完美方程”的一个根，得到，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，正确理解题意是解题的关键．

21.【答案】 

【解析】解：．
证明：，，
，
在和中
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
如图，连接，

由知≌，
，
在和
，
≌，
，
在菱形中，，
，
，
，
，
，，
的周长为，





．
即菱形的边长为．
可证≌，可得，即可求证；
连接，可证≌，可得，再证，，即可求解．
本题考查了菱形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：，
变形为：，
则可化为：，即，
故答案为：；
设，则原方程变形为，
，
或，
解得，，
当时，即，解得；
当时，即，解得．
原方程的解为．
将原方程变形为只含有的形式，再将代入，化为整式方程即可；
根据“整体换元法”，设，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解．
本题主要考查解一元二次方程的方法，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，利用整体换元法解方程是解答本题的关键．

23.【答案】证明：在▱中，，，
．
又，
≌，
．
，
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形．
四边形是正方形．
理由：由知，，
四边形是平行四边形，
，
．
，
．
在矩形中，，
，
，
矩形是正方形． 

【解析】由平行四边形的性质可得，，从而得出，推出≌，得到再证出，从而得到最后结果；
先证得是平行四边形，得出，从而得出进一步得出最后可得出是正方形．
本题考查四边形综合题、平行四边形的性质及判定、矩形的性质与判定、正方形的判定和性质，全等三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会特殊四边形的有关性质及判定．

24.【答案】≌ 

【解析】解：正方形，
，，而，
≌，
故答案为：≌；
解：为等腰三角形．理由如下：
四边形是正方形，
，
．
由同理可得：≌，
，
．
，
，
．
，
，
，
为等腰三角形．
证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，．
，

四边形是正方形，
，，而，，
，四边形是正方形，
，．
，
，
．
又，
≌，
．
≌，
，
．
解：≌，
，
设，则，
，，
，
．
，，
，
．
先证明，，结合，从而可得结论；
先证明，由同理可得：≌，可得，则，再证明，可得，可得，可得，从而可得答案；
如图，过点分别作，，垂足分别为，，证明，四边形是正方形，再证明≌，可得，结合，可得结论；
先证明，设，则，，，建立方程，从而可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，熟练的利用正方形的性质进行证明是解本题的关键．